5. APPLICATIONS
5.3. Etude des nervures
5.3.2. Dimensionnement des nervures
5.3.2.1. Hypothèses et principe de calcul
La nervure étant sollicitée en en flexion simple, nous faisons les hypothèses suivantes :
au cours de la déformation d’une nervure sous l’action d’un système quelconque de forces extérieures, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (Navier Bernoulli) ;
il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton (l’armature subit la même déformation que le béton l’entourant) ;
la résistance du béton tendu est négligée (les contraintes de traction sont uniquement équilibrées par les armatures en rônier) ;
le dimensionnement des armatures se fait à l’ELU ;
le raccourcissement relatif du béton est limité à 3,5 ‰ ;
l’allongement relatif des armatures les plus tendues, supposées concentrées en leur centre de gravité, est limité à
rn (en supposant un comportement élastique comme dans les travaux de BOUCHER J. (2006)) obtenu par la relation suivante :. e rn rn
rn rn
f
E
où
f
e rn. est la limite élastique du rônier,E
rn son module d’élasticité longitudinal en traction et
rn,
son coefficient de sécurité, pris égal à 2 compte tenu de la variation des propriétés mécaniques du bois suivant certains paramètres ; la section totale d’un groupe de tiges, tendues ou comprimées, disposées en plusieurs lits peut être remplacée par la section d’une tige située au centre de gravité du groupe ;
règle des trois pivots. On admet que le diagramme des déformations passe par l’un des pivots A et B.
124
Mahutin Anicet HOUNSA
Figure 5.4 : Diagramme des trois pivots
Dans la région 1, pivot A, l’allongement des armatures en rônier est maximum
. e rn rn
rn rn
f
E
.
La section est soumise à la traction simple ou à la flexion simple ou composée.
Dans la région 2, pivot B, le raccourcissement du béton sur la fibre extrême est maximum
bc3,5‰
.La section est soumise à la flexion simple ou à la flexion composée.
Pour la vérification d’une section à l’état limite ultime, il suffit d’apporter la preuve qu’aucune des déformations limites n’est dépassée, c’est-à-dire
qu’au niveau du rônier le plus tendu, rn e rn.
rn rn
f
E
;
que sur la fibre extrême la plus comprimée de la section
bc 3,5‰
. comportement simplifie du béton en flexion simple, à l’ELU
Bien que le diagramme des contraintes dans le béton soit de type parabole-rectangle ; il sera simplifié et ramené à un diagramme rectangulaire de même surface et de même centre de gravité comme le montre la figure suivante :
125
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Figure 5.5 : Diagramme des contraintes-déformation
On fera a priori les hypothèses suivantes dont on vérifiera, par la suite le bien-fondé : Le béton a atteint son raccourcissement ultime (pivot B)
bu 3,5‰
et sa contrainte limite ultime 0,85 281,5
Pour ces hypothèses, on est au pivot B et c’est d’ailleurs le cas le plus fréquent.
Le diagramme rectangulaire simplifié permet d’écrire :
. extérieur, l’application du principe fondamentale de la statique permet de tirer y comme suit :
L’allongement
rn des armatures en rônier est alors calculé à partir du diagramme des déformations où les triangles sont semblables, donnant l’équation dite « des déformations » :rn bu
d y
y avec
d 0,9 et h
bu 3,5‰
. (5.2)b b
126
Mahutin Anicet HOUNSA
si
rn 9‰
(on est bien au pivot B)On reporte
rn sur le diagramme contraintes-déformations du rônier et on en déduit si, pour cet allongement
rn, la contrainte dans le bois est bien 30,50MPa (supposée à priori) :Si oui : il y a compatibilité contraintes-déformations ; les hypothèses émises sont donc cohérentes et on pourra continuer le calcul.
Si non : il n’y a pas compatibilité car on trouve pour
rn calculé, une contrainte
rndifférente de e rn.
rn
f
; on procède alors par itération en recalculant une nouvelle valeur de y par l’équation des forces (avec la valeur
rn trouvée) et un nouveau
rn par l’équation des déformations et ainsi de suite ; mais, en général, cette itération est rapidement convergente. si
rn 9‰
Cela signifie que le bois a atteint son allongement ultime avant que le béton n’atteigne son raccourcissement ultime
bu. On est donc au pivot A (domaine1) avec une section de bois insuffisante.Et l’on augmente la section des armatures en rônier
A
rn , en le recalculant par l’équation des forces :127
Mahutin Anicet HOUNSA
Détermination de la section tendue théorique
La position de l’axe neutre est une étape fondamentale dans l’étude des sections en T ; elle détermine la section utile de béton (partie comprimée) :
si
M
u M
tu, la table est partiellement comprimée.Dans ce cas, la table seule est surabondante pour équilibrer le moment agissant et
0,8 y h
0. Le calcul revient donc à celui d’une section rectangulaire de largeur égale à celle de la table de compression b.Le moment
M
tu équilibré par la table seule, dans l’hypothèse où la table serait uniformément comprimée à la contraintef
bu sur sa hauteurh
o, est :( )
2
o
tu o bu
M bh dh f
si
M
u M
tu, la table est entièrement comprimée.Dans ce cas, la table seule ne suffit pas pour équilibrer le moment agissant et
0,8 y h
0.
La section est alors décomposée en deux sections fictives comme l’indique la figure ci-dessous :
Figure 5.6 : Décomposition de la section en T
1 2
rn rn rn
A A A
Vérification de la nécessité d’armatures comprimées
Les armatures comprimées sont nécessaires lorsque
bu
lu. Elles ne sont pas nécessaires lorsque
bu
lu : c’est le cas le plus fréquent.La valeur numérique de
lu ne résulte pas d’un simple calcul.il est nécessaire d’avoir recours au calcul automatique (voir l’organigramme de la figure 5.7).128
Mahutin Anicet HOUNSA
Figure 5.7 : Organigramme de calcul du moment limite ultime (PERCHAT M. et HUEBER M.)
La Figure 5.8 permet de conduire le calcul des poutres en T sans armatures comprimées.
129
Mahutin Anicet HOUNSA
Figure 5.8 : Organigramme de dimensionnement d’une poutre en T à l’E.L.U.
(PERCHAT M. et HUEBER M.) Condition de non-fragilité
Il faut vérifier que la section
A
rn trouvée satisfait à la condition de non-fragilité. Cette condition s’obtient en écrivant que le moment résistant ultime du béton armé, le rônier étant supposé soumis à une contrainte égale à sa limite d’élasticité, est au moins égal au moment résistant ultime du béton non armé.Le moment résistant ultime du béton non armé est :
28 5.6
rb t
M I f
v
b
130
Mahutin Anicet HOUNSA Avec I
v , le module de résistance de la section de la nervure et
v
la distance du centre de gravité de la section à la fibre la plus tendue.Le moment résistant ultime du béton armé est :
.min . 5.7
ru rn e rn
M A f z La condition de non-fragilité s’exprime par :
si les armatures transversales sont droites
où :
b
0 est la largeur de l’âme ;.
f
e rt est la limite élastique du bois rotin ;
rt le Coefficient partiel de sécurité sur le bois rotin ;131
Mahutin Anicet HOUNSA
28
f
t est la Résistance caractéristique à la traction du béton à 28 jours ;0
k ,s’il y a reprise de bétonnage et k1sinon.
5.3.2.2. Calcul des armatures longitudinales en rônier et transversales en