Vers une horloge, variance d'Allan

En se plaçant au champ magnétique, dit magique, 3,23 G, il a été remarqué dans la référence [Harber et al., 2002] que la fréquence de la transition |1, −1i ↔ |2, 1i présente un minimum ce qui permet de la rendre peu sensible aux uctuations du champ magnétique, mais son utilisation pour en faire une horloge est écartée car sa stabilité n'atteindrait pas celle d'une fontaine atomique [Harber et al., 2002]. L'idée de la réalisation d'une horloge avec des atomes piégés a été reprise dans les références [Treutlein et al., 2004, Treutlein, 2008]. Grâce à l'utilisation du champ ma- gique, ainsi qu'à des temps d'interrogations de Ramsey de plusieurs secondes, une stabilité de 1, 7·

6. Trop de points expérimentaux rendent la mesure longue et donc la probabilité d'une dérive de l'expérience augmente.

−2000 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 6.6  Franges de Ramsey pour IBvar = 0, 0A. Population dans les deux niveaux |1, −1i

(en bleu) et |2, 1i (en rouge) en fonction de la fréquence des deux impulsions de Rabi fosc [Hz].

La durée des impulsions π/2 est de 500 µs et le temps de Ramsey est de 10 ms. Les cercles correspondent aux données expérimentales et les lignes sont des ajustements sinusoïdaux.

−2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 0.4

0.6 0.8 1

Figure 6.7  Franges de Ramsey pour IBvar = 0, 0 A. Population dans le niveau |1, −1i en

fonction de la fréquence des deux impulsions de Rabi fosc [Hz]. La durée des impulsions π/2

est de 500 µs et le temps de Ramsey est de 2 ms. Les cercles bleus correspondent aux données expérimentales et la ligne rouge est un ajustement avec l'équation (2.61).

10−11à une seconde, avec un plancher de bruit de icker de fréquence à 8·10−13, atteint en 1000 se- condes, a été réalisée. Cette idée ainsi que l'ajout de la compensation des variations de la fréquence de transition à travers le nuage, dues à des variations de la densité, par un léger décalage (environ 10 mG), du champ au fond du piège, en-dessous du champ magique [Lewandowski et al., 2002], est reprise dans la référence [Rosenbusch, 2009]. La découverte de l'identical spin rotation ef- fect (ISRE) [Deutsch et al., 2010, Deutsch, 2011, Kleine Büning et al., 2011] a permis de réa- liser des temps de cohérence de l'ordre de la minute. L'utilisation de cet eet dans une hor- loge à atomes piégés [Lacroûte et al., 2010, Ramirez-Martinez et al., 2011] permet une stabilité de fréquence de 1, 5 · 10−12 _{à une seconde, s'intégrant à 7 · 10}−14 _{en 1000 secondes, mais au}

prix un oscillateur local avec un bruit très faible à basse fréquence. Récemment ces perfor- mances ont été portées à 7, 2 · 10−13 _{à une seconde avec un plancher de bruit de icker de}

fréquence de 8·10−14_{atteint après 100 secondes d'intégration. Une analyse de l'inuence des dif-}

férents paramètres expérimentaux sur la stabilité d'une telle horloge se trouve dans les références [Reinhard, 2009, Deutsch, 2011, Szmuk et al., 2015].

Ici nous ne cherchons pas à réaliser une horloge aussi stable. Nous allons seulement mesurer la variance d'Allan [Allan, 1966, Riehle, 2006, Riley, 2008] de la référence de fréquence fournie par les atomes pour caractériser la stabilité de notre expérience.

Soient : τ0la durée d'une mesure élémentaire de fréquence (un cycle préparation-interrogation-

détection des atomes) et yi le ième échantillon de mesure de la fréquence relative sur la durée

τ0. En supposant qu'il n'y a pas de temps mort entre les mesures, la variance d'Allan avec des

échantillons sans recouvrement est alors dénie par [Riley, 2008] :

σ_y2(τ = nτ0) = 1 2(Mn− 1) M_Xn−1 i=1 h yn_in+1− yn(i−1)n+1 i2 (6.13)

où Mn = E(N/n) est le nombre d'échantillons disponibles de mesure de fréquence relative

moyennée sur le temps τ = nτ0 (réalisé sans recouvrement des mesures élémentaires yi), avec

E(X)la partie entière et X le nombre total d'échantillons yi. Les moyennes des échantillons de

fréquence relative yi s'écrivent :

yn_j+m = 1 n

n+j−1_X k=j

yk+m (6.14)

Pour diminuer le bruit sur la mesure de la variance d'Allan, il est possible d'utiliser la variance d'Allan avec recouvrement des échantillons, elle est dénie par [Riley, 2008] :

σ_y2(τ = nτ0) = 1 2(N + 1− 2n) N−2n+1_X j=1  yn_{j+n− y}n_j2 (6.15) Les deux variances d'Allan dénies précédemment ne permettent pas de distinguer entre le bruit de icker sur la phase et le bruit blanc de phase. Pour ces types de bruits, elles ont toutes les deux un comportement en σ2

y(τ )' 1/τ2. Pour les distinguer il est utile de calculer la variance

d'Allan modiée, elle est dénie par [Riley, 2008] :

σ2_y(τ = nτ0) = 1 2n2_{(N− 3n + 2)} N−3n+2_X j=1    j+n_X−1 i=j  yn_{j+n− y}n_j2    (6.16)

Nous avons représenté sur la gure 6.8 les trois écart-types d'Allan correspondant aux trois dénitions précédentes. La mesure est réalisée en détectant les deux états de l'interféromètre, abstraction faite du déplacement par collision, cela permet d'éviter qu'une variation du nombre d'atomes utilisés entre deux mesures de phases consécutives ne soit vue comme une variation de la fréquence de transition atomique [Treutlein, 2008, Santarelli et al., 1999]. Les uctuations de la fréquence de transition sont suivies en supposant que l'oscillateur local, servant à la génération des deux impulsions π/2, est plus stable que la fréquence atomique suivie (c'est une horloge atomique en boucle ouverte). L'utilisation d'un champ magnétique loin du champ magique, 2,446 G, c'est celui du piège pour le transfert STIRAP, limite la mesure. En eet, le bruit sur le champ magnétique 2,5 mG (cf chapitre 5) se transcrit en un bruit d'environ 2 Hz sur la fréquence

de la transition, soit 3 · 10−10 _{en relatif. Cela correspond bien au premier point de l'écart-type}

d'Allan reporté sur la gure 6.8. Cet écart-type d'Allan décroit en 1/τ1/2 _{jusqu'à environ 1000 s,}

cela est caractéristique d'un bruit blanc de fréquence [Riehle, 2006]. Ensuite la remontée est en τ1/2 caractéristique d'un bruit de marche aléatoire sur la fréquence [Riehle, 2006]. Le plancher de bruit de icker de fréquence est très peu visible entre les deux.

101 102 103 104 10−11

10−10 10−9

Figure 6.8  Ecart-type d'Allan σy(τ ) (en

fréquence relative) en fonction du temps d'in- tégration τ [s]. Rouge : écart-type d'Allan avec des échantillons sans recouvrement (6.13). Bleu : écart-type d'Allan avec recouvrement des échantillons (6.15). Vert : écart-type d'Allan modié (6.16)

6.2.2.1 Eet du temps d'interrogation de Ramsey

Dans la suite de ce chapitre nous reportons, au voisinage du champ magique, une absence de décroissance du contraste avec un temps de Ramsey de 600 ms, laissant espérer des temps de cohérence d'une seconde (cf gure 6.14.c). Par rapport au temps de Ramsey de 25 ms utilisé pour les mesures de la gure 6.8, cela permettrait un gain d'un facteur 40, faisant descendre le premier point de l'écart-type d'Allan à 5 · 10−12_{. Cela est similaire aux valeurs reportées dans}

la référence [Treutlein, 2008] sans blindage magnétique. L'ajout d'un blindage magnétique et d'alimentation de courant plus stable permettrait de gagner encore en stabilité. La mesure de cette stabilité passe par l'utilisation d'une référence plus stable que celle actuellement disponible au laboratoire7_.

6.2.2.2 Eet du temps de cycle T

Dans le cas où un temps mort non nul existe entre les mesures des yi, ce qui est le cas

dans notre interféromètre où il correspond à la préparation des atomes (pour la mesure de la gure 6.8 le temps de cycle est de 47 s et le temps de Ramsey de 25 ms), les variances d'Allan calculées avec les équations (6.13), (6.15) et (6.16) correspondent à σ2

y(T, nτ0) où T est la durée

d'un cycle d'une mesure élémentaire d'un yi, i.e. la durée entre deux interrogations consécutives

de Ramsey et τ0 est le temps eectif de la mesure de fréquence, i.e. le temps d'interrogation

de Ramsey. La fonction de biais B2 introduite par Barnes (voir les références [Barnes, 1972,

Barnes et Allan, 1990, Riley, 2008]) permet d'extrapoler la variance d'Allan avec n'importe quelle

7. La référence utilisée est le système GPS-10 de Menlo-Systems, qui est à 5 · 10−12_{à une seconde et descend}

valeur de cycle T à partir d'une mesure pour un temps de cycle donnée. B2 est dénie comme le

rapport entre la variance d'Allan avec temps mort et la variance d'Allan sans temps mort :

B2(r, µ) =

σ2_y(T, nτ0)

σ2

y(τ0, nτ0) (6.17)

où r = T/τ0. L'expression analytique et une table de valeurs de B2 peuvent être trouvées dans

les références [Barnes, 1972, Barnes et Allan, 1990]. La valeur de µ se déduit du comportement de σy(τ )avec τ, voir la table 6.2.

σy(τ ) ∝ τ1/2 ∝ τ0 ∝ τ−1/2 ∝ τ−1

µ 1 0 -1 -2

Table 6.2  Correspondance entre le comportement de l'écart-type d'Allan (avec ou sans recou- vrement des échantillons) et la valeur du paramètre µ utilisé dans l'évaluation des fonctions de biais.

Le temps de mesure d'un yi est de 47 s, soit r1 = T1/τ0 = 47 s/25 ms = 1880. Ce temps de

mesure est limité par le chauage par eet Joule de la puce atomique. Un meilleur système de refroidissement permettrait de descendre ce temps de cycle à 2 s, soit r2 = T2/τ0 = 2 s/25 ms =

80. La fonction B2 permet de prédire l'écart-type d'Allan à partir de la gure 6.8. Il sut de

multiplier les valeurs de cette gure parpB2(r2, µ)/B2(r1, µ), soit par 1 pour la partie en τ−1/2,

par environ p4/6, 5 pour la partie en τ0 _{et par environ} p_{95/3000 pour la partie en τ}1/2_{. Ainsi}

l'erreur relative minimale atteinte après intégration ne sera pas diminuée de beaucoup, mais la remontée partira de plus bas permettant de rester plus longtemps au plancher du bruit de icker de fréquence (deux décades de plus).

En pratique, pour améliorer l'écart-type d'Allan mesuré, il faut à la fois diminuer le temps de cycle T et augmenter le temps d'interrogation de Ramsey τ0. Cette amélioration de la variance

d'Allan passe par une meilleure dissipation thermique de la puce atomique et par l'ajout d'un blindage magnétique et l'utilisation d'alimentations de courant plus stables pour améliorer la stabilité du champ magnétique au niveau des atomes.