On va maintenant utiliser la théorie de structure des groupes pseudo-réductifs pour démontrer la noethérianité des groupes quasi-réductifs à partir de celle des groupes semi-simples.
2.4.1
Le cas d’un groupe commutatif quasi-réductif
On commence par traiter le cas des groupes commutatifs quasi-réductifs qui appa- raissent naturellement comme certains quotients des sous-groupes de Cartan des groupes pseudo-réductifs.
2.4.1 Proposition. Soit K un corps local non archimédien. Si C est un K-groupe lisse
quasi-réductif commutatif, alors C(K) est noethérien.
Démonstration. Dans cette démonstration on reprend le début de celle de [Con12, 4.1.5].
Soit S le tore K-déployé maximal de C (il est unique par conjugaison K-rationnelle [CGP15, C.2.3]). On considère le morphisme quotient lisse de K-groupes :
1 −→ S j
−→ C −→ C/S −→π 1
Fait : Le K-groupe commutatif lisse connexe C/S ne contient aucun sous-groupe
isomorphe à Ga ou Gm.
En effet, par l’absurde, en appliquant [SGA3, Exp. XVII 6.1.1(A)(ii)] à la pré-image dans C d’un sous-groupe isomorphe à Ga (voir [Con12, 4.1.4] pour une démonstration
plus directe), on obtient une contradiction avec la quasi-réductivité de C. En appliquant [Bor91, 8.14 Cor.] à la pré-image dans C d’un sous-groupe isomorphe à Gm, on obtient
une contradiction avec la maximalité de S.
Par le lemme 2.2.3(b) et le théorème de Hilbert 90, on en déduit une suite exacte courte de groupes topologiques :
1 −→ S(K) jK
−→ C(K) πK
−→C/S(K) −→ 1
où πK est un morphisme ouvert surjectif.
Par [Con12, A.5.7], le groupe topologique
C/S(K) est compact, donc il est noethérien
par la proposition 2.2.1(2) (dans ce cas, comme le groupe est commutatif, on dispose également d’une démonstration plus élémentaire en considérant le quotient lisse de C/S par son K-tore maximal, qui est anisotrope). Par la proposition2.2.1(4) et (5), le groupe topologique S(K) ' (K×)n (où n = dimS) est noethérien. En appliquant alors la
proposition2.2.1(3) à πK, on en déduit que le groupe topologique C(K) est noethérien.
2.4.2
Le cas d’un groupe pseudo-réductif
Grâce à [CGP15], on dispose de théorèmes de structure des groupes pseudo-réductifs, dont on peut trouver un bon résumé dans [Con12, §2] par exemple. En particulier, on a beaucoup de flexibilité dans le choix d’une présentation standard (généralisée), de sorte qu’on peut réduire la question de la noethérianité des groupes pseudo-réductifs à celle des groupes semi-simples et des groupes commutatifs quasi-réductifs.
2.4.2 Lemme. Soient K un corps local non archimédien et K0 une K-algèbre finie réduite
non nulle, que l’on écrit sous la forme K0 =Q
i∈IKi0 où les K 0
i/K sont des extensions de
corps locaux de degré fini (possiblement inséparables). Soit G0 un K0-groupe algébrique lisse connexe. On note G0i sa fibre au-dessus du facteur Ki0. On considère le K-groupe lisse connexe G= RK0/K(G0). Si chaque fibre G0
i est soit un K 0
i-groupe semi-simple absolument
simple, soit un Ki0-groupe pseudo-réductif exotique basique, alors le groupe topologique G(K) est noethérien.
Démonstration. On écrit RK0/K(G0) =Qi∈IRK0
i/K(G
0
i) [CGP15, A.5.1]. On a un isomor-
phisme de groupes topologiques RK0/K(G0)(K) 'Qi∈IG0
i(K 0 i). Si chaque facteur G 0 i(K 0 i)
est noethérien, alors G(K) l’est aussi par la proposition 2.2.1(4).
Désormais, on suppose sans restriction que K0/K est une extension finie de corps
locaux. Il suffit donc de montrer que G0(K0) est noethérien.
Si G0 est un K0-groupe semi-simple absolument simple, alors par la proposition 2.3.10
le groupe topologique G0(K0) est noethérien.
Sinon, G0 est un K0-groupe pseudo-réductif exotique basique (voir [CGP15, 7.2] ou
[Con12, 2.3.1] pour la définition). Par définition, on est donc dans le cas d’un corps de caractéristique car(K0) ∈ {2, 3}. Alors, par [CGP15, 7.3.3, 7.3.5], G(K0) est topologique-
ment isomorphe à G(K0) où G est un K0-groupe semi-simple absolument simple. Ainsi,
G(K0) est noethérien par la proposition 2.3.10.
2.4.3 Proposition. Soient K un corps local non archimédien et G un groupe pseudo-
réductif. Alors G(K) est noethérien.
Démonstration. Cette démonstration suit essentiellement celle de [Con12, 4.1.9], fondée
sur le théorème de structure des groupes pseudo-réductifs. On reprend les étapes principales de cette démonstration.
Si K est un corps quelconque de caractéristique p 6= 2, 3, alors un K-groupe pseudo- réductif est toujours standard par le théorème [CGP15, 5.1.1].
Si K est un corps local de caractéristique p ∈ {2, 3}, alors on est dans le cas favorable d’un corps de base K avec [K : Kp] = p. Ainsi, par le théorème [CGP15, 10.2.1], G est
le produit direct G1× G2 d’un K-groupe pseudo-réductif standard généralisé G1 et d’un
K-groupe pseudo-réductif totalement non réduit G2. De plus, le K-groupe G2 est toujours
trivial si p 6= 2.
Première étape : Supposons que G2 est non trivial (en particulier on a car(K) = 2).
Par [CGP15, 9.9.4], on sait que pour tout K-groupe pseudo-simple basique non réduit
H (voir définition [CGP15, 10.1.2]), le groupe topologique H(K) est topologiquement
isomorphe à Sp2n(L) pour un certain n et une certaine extension de corps locaux L/K. Par
la proposition 2.3.10, Sp2n(L) est noethérien, donc H(K) l’est aussi. Par [CGP15, 10.1.4],
le K-groupe totalement non réduit G2 est isomorphe à une restriction de Weil RK0/K(G02) où K0 est une K-algèbre finie réduite non nulle et les fibres de G0
2 sont des K-groupes
pseudo-simples basiques non réduits. Par le lemme 2.4.2, G2(K) est donc noethérien.
Deuxième étape : Désormais, on peut supposer que G = G1 est un K-groupe
pseudo-réductif standard généralisé, donné par une présentation standard généralisée (G0, K0/K, T0, C) et C0 = Z
G0(T0) où K0 est une K-algèbre finie réduite non nulle, T0 est un K0-tore maximal de G0 et C est un K-sous-groupe de Cartan de G. On écrit
K0 = Q
i∈IKi0 où les K 0
i/K sont des extensions finies de corps locaux. Par définition
des présentations standard généralisées, G0 est un K0-groupe dont les fibres, notées G0 i,
sont absolument-simples et simplement connexes ou pseudo-réductives exotiques basiques. Ainsi, par le lemme 2.4.2, le groupe topologique RK0/K(G0)(K), qui est topologiquement isomorphe à Q
i∈IG0i(K 0
i), est noethérien. De plus, par les propositions 2.4.1 et 2.2.1(4), le
groupe topologique RK0/K(G0) o C
(K) est noethérien.
Troisième étape : avec les notations précédentes, H1K, R
K0/K(C0)
est fini : ceci est exactement une partie de la démonstration de [Con12, 4.1.9]. Par [Con12, 4.1.6], il
existe un morphisme de groupes H1K, R K0/K(C0) ' Q i∈IH1 Ki0, Ci0. Si G0i est semi-
simple, le sous-groupe de Cartan C0
i est un tore et H1
Ki0, Ci0 est fini par [Con12, 4.1.7].
Sinon, G0
i est un groupe pseudo-réductif exotique basique. Il existe alors un morphisme
quotient de G0
i sur un groupe semi-simple absolument simple G 0 i → G
0
i qui envoie Ci0 sur un
sous-groupe de Cartan (donc un tore) C0
i de G0i. Sur une clôture séparable Ki s0 , l’application
injective entre points rationnels C0 i(K
0
i s) → Ci0(K 0
i s) devient bijective. Par [Con12, 4.1.6],
on a un isomorphisme H1(K0 i, C 0 i) ' H1(K 0 i, C 0
i) et on sait que cet ensemble de cohomologie
est fini par [Con12, 4.1.7] à nouveau, car C0
i(Ki s0 ) s’identifie par Galois-équivariance aux
Ki s0 -points d’un Ki0-tore dans ce cas.
Par définition des présentations standard généralisées, on a un isomorphisme de groupes : G ' RK0/K(G0) o C /RK0/K(C0)
Suivant la démonstration de [Con12, 4.1.9], le morphisme continu de groupes topolo- giques πK :
RK0/K(G0) o C
(K) → G(K) est ouvert et son image est distinguée d’indice fini dans G(K) [Con12, 4.1.9 (4.1.2)]. Ainsi, par la proposition 2.2.1(6) appliquée au morphisme πK, le groupe G(K) est noethérien.
2.4.3
Cas général
2.4.4 Proposition. Soit G un groupe quasi-réductif défini sur un corps local K non
archimédien. Alors G(K) est noethérien.
Démonstration. On considère le quotient pseudo-réductif de G :
1 −→ Ru,K(G) −→ G π
−→ G/Ru,K(G) −→ 1
Par le lemme 2.2.3(b) on en déduit la suite exacte de groupes topologiques suivante : 1 −→ Ru,K(G)(K) −→ G
πK
−→G/Ru,K(G)
(K) où le morphisme πK est ouvert car Ru,K(G) est lisse.
En appliquant [Oes84, VI.1] au groupe unipotent k-ployé Ru,K(G), le groupe topolo-
gique Ru,K(G)(K) est compact, donc noethérien par la proposition2.2.1(2). En appliquant
la proposition 2.4.3 au K-groupe pseudo réductif G/Ru,K(G), on en déduit que le groupe
topologique
G/Ru,K(G)
(K) est noethérien. Ainsi, par la proposition 2.2.1(3), le groupe topologique G(K) est noethérien.