4.4 Calculs en rang supérieur
4.4.2 Génération d’éléments unipotents grâce aux relations de commuta-
ciels
Dans le corollaire 4.3.18, on a obtenu que Frat(P ) est un sous-groupe d’un certain pro-p-groupe Q écrit en termes de la donnée de groupes radicielle valuée. On veut avoir une égalité lorsque c’est possible. Puisque Frat(P ) = [P, P ]Pp, il suffit de trouver une
famille génératrice de Q constituée de puissances p-ièmes et de commutateurs d’éléments pris dans P . En considérant, plus généralement, un sous-groupe compact ouvert H de
G(K), en section4.4.2.1, on va faire une récurrence sur la hauteur des racines positives
de la plus haute racine jusqu’aux racines simples pour fournir des bornes de valuation des sous-groupes de groupes radiciels contenus dans [H, H] ; en section 4.4.2.2, on va, en outre, considérer la longueur des racines pour fournir de telles bornes pour le système de racines tout entier. En section 4.4.2.3, on revient alors à la situation du sous-groupe de Frattini H = Frat(P ) = Pp[P, P ] ⊃ [P, P ] de P .
Afin d’effectuer une récurrence sur le système de racines relatif, le lemme suivant, formulé en termes de combinatoire de Lie, explique comment obtenir, pas à pas, toutes les racines comme combinaison linéaire à coefficients entiers de la plus basse racine (l’opposée de la plus haute racine) et des racines simples.
4.4.4 Lemme. Soient Φ un système de racines irréductible de rang supérieur ou égal à 2
et ∆ une base de racines simples dans Φ, associée à un ordre Φ+. Soit h la plus haute
racine pour cet ordre.
(1) Soit β ∈Φ+\(∆ ∪ 2∆) une racine positive qui n’est pas multiple d’une racine simple.
Alors, il existe une racine simple α ∈∆ et une racine positive β0 ∈Φ+ telles que
β = α + β0 et les racines α, β0 ne sont pas colinéaires.
(2) Soit γ ∈ Φ− \ {−h}. Il existe une racine positive β ∈ Φ+ et une racine négative
γ0 ∈Φ− telles que γ= β + γ0 et les racines β, γ0 ne sont pas colinéaires.
(3) Soit α ∈∆. Il existe une racine simple β ∈ ∆ telle que α + β est une racine positive. De plus, les racines α+ β ∈ Φ+ et −β ne sont pas colinéaires.
Démonstration. En reprenant les notations de [Bou81, VI.1.3], on note V le R-espace
vectoriel engendré par ∆ contenant Φ et (·|·) un produit scalaire invariant par le groupe de Weyl.
(1) Soit β ∈ Φ+\∆ une racine positive non simple. Comme ∆ est une base de l’espace
vectoriel (euclidien) V et comme β ∈ Φ+ est dans le cône Z
>0∆ engendré par ∆, il
existe une racine simple α ∈ ∆ telle que (α|β) > 0. Par [Bou81, VI.1.3 Corollaire], on a
β0 = β − α ∈ Φ car on a exclu le cas où α = β en supposant que β 6∈ ∆. De plus, β0 est
même signe (donc tous positifs). Enfin, β0 et α ne sont pas colinéaires car on a supposé
que β n’est pas multiple d’une racine simple. Ainsi β0 = β − α satisfait l’assertion (1).
(2) Soit γ ∈ Φ−\ {−h, −h
2}. Si (−h|γ) > 0, alors la somme β = h + γ ∈ Φ
+ est une
racine positive. De plus, −h et β ne sont pas colinéaires car on a supposé que γ et h ne sont pas colinéaires. Ainsi β et γ0 = −h satisfont l’assertion (2). Sinon, on a nécessairement
l’égalité (−h|γ) = 0 d’après [Bou81, VI.1.8 Proposition 25]. Ainsi, il existe une racine simple α ∈ ∆ telle que (α|γ) > 0, car les racines α ∈ ∆ forment une base de l’espace euclidien V et −h 6= 0. Les racines γ et α ne sont pas colinéaires car, si elles l’étaient, on devrait avoir γ ∈ R+α suivant l’hypothèse (γ|α) > 0 ; et ceci contredit γ ∈ Φ−. Ainsi
γ0 = γ − α ∈ Φ− est une racine négative. Donc γ0 et β = α satisfont l’assertion (2).
Soit γ = −h
2. En particulier, ceci n’arrive que si Φ est non réduit. On peut alors
appliquer la même méthode dans Φnd, car la racine −h2 est une racine courte de Φnd, donc
elle ne peut pas être colinéaire à la plus haute racine de Φnd.
(3) Soit α ∈ ∆. Toute racine simple β reliée à α par une arête du diagramme Dyn(∆) satisfait (3). Or une telle racine simple existe car on a supposé Φ irréductible de rang supérieur ou égal à 2.
4.4.5 Lemme. Soient Φ un système de racines irréductible de rang supérieur ou égal
à 2 et ∆ une base de racines simples dans Φ, associée à un ordre Φ+. Soit h la plus haute racine pour cet ordre. Pour toute racine γ ∈Φ, il existe des entiers positifs ou nuls
(nα(γ))α∈∆ tels que :
γ = −h + X
α∈∆
nα(γ)α
Démonstration. On procède par récurrence sur la hauteur. Si γ = −h, c’est clair.
Hérédité : Si γ ∈ Φ, par 4.4.4, il existe β ∈ Φ+ et γ0 ∈ Φ telles que γ = γ0 + β.
Donc, par hypothèse de récurrence, il existe des entiers positifs ou nuls (nα(γ0)) tels
que γ0 = −h +P
α∈∆nα(γ0)α. D’après [Bou81, VI.1.6 Théorème 3], il existe des entiers
positifs ou nuls (nα(β)) tels que β = Pα∈∆nα(β)α. Donc, la propriété est satisfaite pour
nα(γ) = nα(γ0) + nα(β).
4.4.6 Définition. Soit f : Φ → R une application. On dit que f est concave si elle
satisfait aux axiomes suivants :
(C0) f(2a) ≤ 2f(a) pour toute racine a ∈ Φ telle que 2a ∈ Φ ;
(C1) f(a + b) ≤ f(a) + f(b) pour toutes racines a, b ∈ Φ telles que a + b ∈ Φ ; (C2) 0 ≤ f(a) + f(−a) pour toute racine a ∈ Φ.
Bien que ces axiomes ressemblent à une propriété de convexité, ils correspondent en fait à des relations de concavité en termes de valuations des groupes radiciels.
4.4.7 Exemple. Pour toute partie non vide Ω ⊂ A, l’application fΩ: a 7→ sup{−a(x), x ∈
Ω} est concave. Plus tard, on appliquera les propositions 4.4.9 et 4.4.12 aux valeurs
la = fcaf(a).
4.4.2.1 Bornes pour les groupes radiciels positifs
Soient (la)a∈Φ des valeurs dans R. On définit les valeurs suivantes (l0b)b∈Φ+ en fonction des la, qui vont jouer le rôle de bornes aux valuations des groupes radiciels associés aux
4.4.8 Notation. Pour toute racine positive b ∈ Φ+, on peut écrire de manière unique
b = P
α∈∆nα(b)α où les na(b) ∈ N sont des entiers positifs (non tous nuls). On pose
lb0 =P
α∈∆nα(b)lα.
En utilisant le lemme 4.4.4, on va pouvoir effectuer plusieurs récurrences sur les différents systèmes de racines pour obtenir des bornes, déterminées par la proposition
4.4.2, sur les valuations des sous-groupes de groupes radiciels contenus dans le sous-groupe de Frattini Frat(P ). La première étape, en termes de racines positives, est la suivante :
4.4.9 Proposition. Soient (la)a∈Φ des valeurs dans R. On suppose que pour toute racine
simple a ∈∆, on a la∈Γa.
(1) Alors l0b ∈Γb pour toute racine positive b ∈ Φ+.
(2) On suppose, de plus, que l’application a 7→ la est concave. Alors, on a l’inégalité :
lb0 ≥ lb pour toute racine positive b ∈Φ+.
(3) On suppose, en outre, que l’hypothèse 4.4.1, portant sur p, est vérifiée. Soit H un sous-groupe (compact ouvert) de G(K) contenant les groupes Ua,la pour a ∈Φ. Alors pour toute racine b ∈Φ+\∆, le groupe dérivé [H, H] contient les groupes Ub,l0b.
Démonstration. (1) On applique la proposition 1.1.20 et les lemmes 1.3.8et 1.3.7 dans
les différents cas.
Premier cas : Φ est un système de racines réduit ou L0/Ld est non ramifiée.
Pour toute racine b ∈ Φ+, l’ensemble de valeurs Γ
b de b est ΓL0 = ΓL
d. Donc la somme lb0 =P
α∈∆nα(b)la est un élément de ΓLd = Γb.
Deuxième cas : Φ est un système de racines réduit et L0/Ld est ramifiée.
Pour toute racine longue de Φ, son ensemble de valeurs est le groupe d0Γ
L0 = ΓL
d. Pour
toute racine courte de Φ, son ensemble de valeurs est le groupe ΓL0. Donc, pour toute racine courte b ∈ Φ, la somme l0
b =
P
α∈∆nα(b)lα est un élément de ΓL0 = Γb.
Soit b ∈ Φ une racine longue relative provenant d’une racine absolue β ∈ Φ. One
écrit β =P e α∈∆e n0 e α(β)αe. Alors nα(b) = P e α∈αn 0 e α(β). De plus, l’application α 7→ ne 0 e α(β) est
constante sur les classes α ∈ ∆ car β est Σd-invariant et α = Σd·αeest une orbite. Ainsi, pour
toute racine simple courte α provenant de αe prise dans la même composante irréductible
que β, on obtient nα(b) = d0n0 e α(β). Par conséquent, nα(b)lα = n 0 e α(β)d 0l α ∈ d0ΓL0 = ΓL d.
Pour toute racine simple longue α, on a lα ∈ΓLd. Donc, la somme l
0 b =
P
α∈∆nα(b)lα est
un élément de ΓLd = Γb.
Troisième cas : Φ est un système de racines non réduit. L’ensemble de valeurs
de toute racine multipliable est 1
2ΓL0. L’ensemble de valeurs de toute racine non multipliable
et non divisible est ΓL0. Pour toute racine multipliable b ∈ Φ+, la somme l0
b est un élément
de 1
2ΓL0 = Γb. On numérote par a1, . . . , al−1 les racines simples non multipliables et par
al la racine simple multipliable. Toute racine non multipliable et non divisible b ∈ Φ+
peut s’écrire sous la forme b =Pl
j=1nj(b)aj avec nl ∈ {0, 2}. On a nj(b)laj ∈Γaj = ΓL et nl(b)lal ∈2Γal = ΓL0. Donc la somme l
0
b est un élément de ΓL0 = Γb.
(2) Pour toute racine positive b ∈ Φ+, on applique récursivement le lemme 4.4.4(1) à
Φ+ afin d’écrire b =PN
j=1aj où les aj ∈∆ sont des racines simples (avec éventuellement
des répétitions) et N ∈ N∗ est tel que b
n = Pnj=1aj est une racine (positive) pour tout
on a l0
bn+1 = l
0
bn + lan+1 ≥ lbn+ lan+1 par hypothèse de récurrence ; et par l’axiome (C1) de
concavité, on en déduit l’inégalité lbn+ lan+1 ≥ lbn+an+1 = lbn+1. Ainsi, on a bien lb ≤ l
0 b.
(3) Par conséquent, on a l’inclusion Ub,lb0 ⊂ Ub,lb. On procède par récurrence forte
décroissante sur la hauteur dans le système de racines Φ relativement à la base ∆.
Initialisation : Soit h la plus haute racine de Φ. Pour le groupe Uh,l0
h, on sait par le
lemme 4.4.4(1) qu’il existe une racine simple a ∈ ∆ et une racine positive b ∈ Φ+ non
colinéaire à a, non toutes deux multipliables, telles que h = a + b. Soit u ∈ Uh,l0h. On
a l’inclusion des groupes Ub,l0
b ⊂ Ub,lb. On sait par la proposition 4.4.2, qu’il existe des
éléments v ∈ Ua,la, v
0 ∈ U
b,l0b et v00∈Qr,s∈N∗;r+s≥2Ura+sb,rla+sl0
b tels que u = [v, v
0]v00. Mais,
pour tout couple d’entiers strictement positifs (r, s) tels que r + s ≥ 2, le caractère ra + sb n’est pas une racine car ceci contredirait la maximalité de h. Donc v00 = 1. Ainsi, on a
Uh,l0h ⊂[H, H].
Hérédité : Soit c ∈ Φ+\∆. Par le lemme 4.4.4(1), on écrit c = a + b où a ∈ ∆ et
b ∈Φ+. Soit u ∈ U c,l0
c. On sait par la proposition4.4.2, qu’il existe des éléments v ∈ Ua,la, v0 ∈ Ub,l0b et v00 ∈Qr,s∈N∗;r+s≥2Ura+sb,rla+sl0
b tels que u = [v, v
0]v00. Pour tout couple d’entiers
strictement positifs (r, s) tels que r + s ≥ 2, si le caractère ra + sb est une racine, alors on a rla+ slb0 = l
0
ra+sb par définition des l
0. De plus, la hauteur de ra + sb est supérieure
à celle de c. Par hypothèse de récurrence, le groupe Ura+sb,l0ra+sb est un sous-groupe de
[H, H], donc v00 ∈[H, H]. Par conséquent, on a U c,l0
c ⊂[H, H].
4.4.2.2 Bornes pour les groupes radiciels négatifs
Afin d’obtenir des résultats analogues pour les groupes radiciels des racines négatives, effectuer une récurrence sur la hauteur des racines semble ne plus fonctionner. En fait, on va considérer la longueur des racines au lieu de la hauteur. On rappelle que, dans la notation 4.3.2, on a défini un système de racines dual ΦD purement en termes de
combinatoire de Lie.
4.4.10 Lemme. Soit Φ un système de racines irréductible réduit non simplement lacé de
rang l ≥2. Soit ∆ une base définissant un ordre sur Φ et θ ∈ Φ la racine (courte) telle que θD est la plus haute racine de ΦD pour l’ordre donné par ∆D. Alors, toute racine courte
c ∈Φ \ {−θ} peut s’écrire c = a + b où a, b ∈ Φ sont des racines non colinéaires telles que a ∈Φ est courte et b ∈ Φ+. En particulier, toute racine courte est plus haute que −θ. Démonstration. On va exhiber de telles racines, au cas par cas, grâce à une réalisation
géométrique explicite du système de racines dans Rl. Soit (e
i)1≤i≤l la base canonique de
l’espace euclidien Rl.
Φ est de type Bl avec l ≥2 :
Racines simples : ai = ei− ei+1 où 1 ≤ i < l et al = el
Racines courtes : ±ei pour 1 ≤ i ≤ l et θ = e1
Pour toute racine courte c ∈ Φ \ {−θ}, — si c ∈ Φ+, on l’écrit c = e
i = a + b où 1 ≤ i ≤ l, a = −ej, b = ei+ ej et j 6= i ;
— si c ∈ Φ−, on l’écrit c = −e
i = a + b où 1 < i ≤ l, a = −e1 et b = e1− ei.
Φ est de type Cl avec l ≥3 :
Racines simples : ai = ei− ei+1 où 1 ≤ i < l et al = 2el
Racines courtes : ±ei± ej où 1 ≤ i < j ≤ l et θ = e1+ e2
— si c = ei± ej où 1 ≤ i < j ≤ l, on l’écrit c = a + b où a = −ei± ej et b = 2ei ;
— si c = −ei± ej où 1 < i < j ≤ l, on l’écrit c = a + b où a = −e1− ei et b = e1± ei ;
— si c = −e1± ej où 2 < j ≤ l, on l’écrit c = a + b où a = −e1− e2 et b = e2± ej ;
— si c = −e1+ e2, on l’écrit c = a + b où a = −e1− e3 et b = e2+ e3.
Φ est de type F4 :
Racines simples : a1 = e2− e3, a2 = e3− e4, a3 = e4 et a4 = 12(e1− e2− e3− e4)
Plus haute racine : h = e1+ e2 = 2a1+ 3a2+ 4a3+ 2a4
Racines courtes : ±ei où 1 ≤ i ≤ 4 et 12(±e1± e2± e3± e4) et θ = e1
Pour toute racine courte c ∈ Φ \ {−θ},
— si c = e1, on l’écrit c = a + b où a = 12(e1− e2− e3− e4) et b = 12(e1+ e2+ e3+ e4) ;
— si c = ±ei où 1 < i ≤ 4, on l’écrit c = a + b où a = 12(−e1 + ±ei − ej − ek) et
b= 12(e1+ ±ei+ ej+ ek) où {i, j, k} = {2, 3, 4} ;
— si c = 1 2(e1 ± e2± e3 ± e4), on l’écrit c = a + b où a = 1 2(−e1 ∓ e2 ± e3 ± e4) et b= e1± e2; — si c = 1
2(−e1± e2± e3± e4), on l’écrit c = a+b où a = −e1 et b = 1
2(e1± e2± e3± e4).
Φ est de type G2 :
Racines simples : α, β où α est courte et β est longue Plus haute racine : h = 3α + 2β
On a θ = 2α + β. On résume les choix pour toutes les racines courtes, sauf pour −θ, au cas par cas, dans le tableau suivant :
c 2α + β α + β α −α −α − β
a α −α −α − β −2α − β −2α − β
b α+ β 2α + β 2α + β α+ β α
On définit (δc)c∈Φ, Φδnd, θ et h comme dans la notation 4.3.4. Soient (la)a∈Φ des
valeurs quelconques dans R. On définit les valeurs suivantes (l00
c)c∈Φ en fonction des la, qui
deviendront des bornes pour les valuations de chaque groupe radiciel.
4.4.11 Notation. Pour toute racine non divisible c ∈ Φnd, grâce au lemme4.4.5appliqué
dans le système de racines Φδ
nd, on écrit :
cδ = −θδ+ X
αδ∈∆δ
n0α(c)αδ ∈Φδ
avec n0
α(c) ∈ N. On définit des valeurs l 00 c ∈ R par : δclc00= δ−θl−θ+ X α∈∆ δαn0α(c)lα
De plus, pour toute racine multipliable c ∈ Φ, on définit l00 2c = 2l
00
c. On remarque que pour
toute racine c ∈ Φ, il existe des entiers nα(c) for α ∈ ∆, uniquement déterminés par :
c= X
α∈∆
nα(c)α
Ces valeurs bornent supérieurement celles définissant les sous-groupes de groupes radiciels contenus dans le groupe dérivé [H, H]. En particulier, cette proposition nous donne des valeurs, y compris pour les racines simples, que nous n’avions alors pas traitées dans la proposition 4.4.9. On peut remarquer sur un exemple que, en général, ces valeurs ne sont pas optimales pour les racines positives non simples.
4.4.12 Proposition. Soient(la)a∈Φ des valeurs dans R. On suppose que pour toute racine
simple a ∈∆, on a la∈Γa et que l−θ ∈Γ−θ.
(1) On a l00c ∈Γc pour toute racine c ∈ Φnd\ {−θ} non divisible.
(2) On suppose, de plus, que l’application a 7→ la est concave. Pour toute racine c ∈Φ,
on a lc00≥ lc ; pour toute racine positive b ∈Φ+, on a lb00≥ l 0 b ≥ lb.
(3) On suppose, en outre, que le système de racines irréductible Φ n’est pas de rang
1 et que l’hypothèse 4.4.1 est vérifiée. Soit H un sous-groupe (compact ouvert) de G(K) contenant les sous-groupes Ua,la pour tout a ∈Φ. Si G est une forme trialitaire de D4 (i.e.
Φ est de type G2 et δθ = 3), alors on suppose de plus que lθ0 + l−θ ≤ ω($L0). Sous ces
conditions, le groupe dérivé [H, H] contient les sous-groupes Uc,l00
c pour toutes les racines c ∈Φ \ {−θ}.
Démonstration. (1) Si Φ est un système de racines réduit, alors Φδ = Φ si l’extension
L0/Ld est non ramifiée ; et Φδ = ΦD si l’extension L0/Ld est ramifiée. Par la définition
4.3.3, pour toute racine c ∈ Φ, l’entier δc est l’ordre du groupe quotient Γc/ΓLd, de sorte
que δcΓc= ΓLd. Ainsi, chaque terme n
0
α(c)δαlα et δ−θl−θde la somme appartient au groupe
ΓLd. Donc δcl
00
c ∈ΓLd = δcΓc, et on a bien l
00
c ∈Γc pour toute racine c ∈ Φ.
Si Φ est un système de racines non réduit, alors l’ensemble de valeurs de chaque racine multipliable est 1
2ΓL0 par le lemme 1.3.8 et l’ensemble de valeurs de chaque racine non
multipliable et non divisible est ΓL0. Pour toute racine non divisible c ∈ Φ, la valeur δclc est un élément de ΓL0, donc la somme l00
c l’est aussi. Si c est non multipliable, alors δc = 1,
donc l00
c ∈ΓL0 = Γc. Si c est multipliable, alors δc= 2 donc l00
c ∈ 1
2ΓL0 = Γc.
(2) Dans la suite, pour toute racine c ∈ Φnd, on note nα(c) et n0α(c) les entiers définis
dans la notation 4.4.11. On note, de plus, les entiers nδ
α(c) uniquement déterminés par
l’écriture suivante dans la base ∆δ : cδ =P
α∈∆nδα(c)αδ. De l’unicité, pour toute racine
simple α ∈ ∆, on déduit que δαnδα(c) = δcnα(c) et que n0α(c) = nδα(θ) − nδα(c) ≥ 0 (c’est
un entier positif ou nul). Soit b ∈ Φ+
nd une racine positive non divisible. Dans l’espace vectoriel V
∗ = Vect(Φ), on a : bδ = −θδ+ θδ+ X α∈∆ nδα(b)αδ = −θδ+ X α∈∆ nδα(θ) + nδα(b)αδ Par définition de l00 b, l 0 b, l 0 θ, on obtient : δblb00= δθl−θ+ X α∈∆ nδα(b) + nδα(θ)δαlα = δθl−θ+ X α∈∆ δbnα(b)lα + X α∈∆ δθnα(θ)lα = δθl−θ+ δbl0b+ δθlθ0
Donc δb(l00b − l 0
b) = δθ(l0θ+ l−θ). D’après la proposition4.4.9(2), on a lb0 ≥ lb pour toutes les
racines positives et, en particulier, on a l0
θ ≥ lθ. Donc, en utilisant l’axiome (C2), on a
lθ0 + l−θ ≥ lθ+ l−θ ≥0. Par conséquent, on a bien lb00≥ lb0 ≥ lb.
Soit b ∈ Φ+ une racine multipliable. Alors l00 2b = 2l 00 b ≥ l 0 2b = 2l 0 b ≥ 2lb. Par l’axiome (C0), on a 2lb ≥ l2b, donc l002b≥ l2b. Soit c ∈ Φ−
nd une racine négative non divisible. On veut montrer que l00c ≥ lc. On
procède par récurrence sur la hauteur dans Φnd.
• Premier cas : Φδ
nd = Φnd. Alors δθ = 1, h = θ et δc = 1 pour toute racine c ∈ Φ.
Par définition, l00
−h = l00−θ = l−θ = l−h.
Si c 6= −θ, par le lemme 4.4.4(2), il existe a ∈ Φnd et b ∈ Φ+nd tels que c = a + b. De
l’égalité c = −θ +P αn0α(c)α = −θ + P αn0α(a)α + P αnα(b)α = a + b, on déduit que
n0α(c) = n0α(a) + nα(b). Donc l00c = l00a + l0b ≥ la + lb0 par hypothèse de récurrence. Par
l’axiome (C1) et comme l0
b ≥ lb, on obtient l00c ≥ la+ lb ≥ la+b= lc.
• Second cas : Φδ
nd= ΦDnd 6= Φnd.Alors δθ = d0.
On commence par effectuer une récurrence, initialisée par l00
−θ = l−θ, sur la hauteur
des racines courtes. On suppose que c 6= −θ est une racine courte dans Φnd. Par le lemme
4.4.10, il existe une racine courte a ∈ Φnd et une racine positive b ∈ Φ+nd telle que c = a + b.
Donc δa= δc= δθ. On a δθb= δθ(c−a) = cδ− aδ = −θδ+Pαδαn0α(c)+θδ− P αδαn0α(a) = P αδα n0α(c) − n0α(a) . Donc δθnα(b) = δα
n0α(c) − n0α(a)pour toute racine simple α ∈ ∆.
Ainsi, on a : δclc00= δθl−θ+Pαδαn0α(c)lα = δθl−θ+Pαδαn0α(a)lα +P αδα n0α(c) − n0α(a) lα = δala00+ δθl0b Donc l00 c = l 00 a + l 0
b ≥ la+ l0b par hypothèse de récurrence. Par l’axiome (C1) et comme
lb0 ≥ lb, on a l00c ≥ la+ lb ≥ la+b= lc.
Maintenant, on va faire une récurrence sur la hauteur pour toutes les racines de Φnd.
Initialisation : on considère la plus basse racine −h. Comme Φnd est non simplement lacé,
il existe deux racines courtes a, b ∈ Φnd telles que −h = a + b. En particulier, δa= δb = δθ.
Alors : −h= −δθθ+Pαδαn0α(h)α a = −θ +P α δδαan 0 α(a)α b = −θ +P α δδαbn 0 α(b)α (δθ −2)θ = Pα δαn0α(h) − δδαan 0 α(a) − δδαbn 0 α(b) α = P α(δθ−2)nα(θ)α On obtient donc : l−h00 − l00 a − l 00 b = δθl−θ+ X α n0α(−h)δαlα − l−θ+ X α δα δa n0α(a)lα − l−θ+Pαδδαbn0α(b)lα = (δθ−2)l−θ+Pα δαn0α(−h) − δα δan 0 α(a) − δα δbn 0 α(b) lα = (δθ−2)(l−θ+ lθ0)
Comme δθ = d0 ≥2 et l−θ + l0θ ≥ l−θ+ lθ ≥0, on a l−h00 ≥ la00+ l 00
b. Vu le cas déjà traité
des racines courtes, on sait que l00
a ≥ la et que l00b ≥ lb. Donc, par l’axiome (C1), on a
l−h00 ≥ la+ lb ≥ la+b = l−h.
Hérédité : on considère la longueur d’une racine c 6= −h. Le cas d’une racine courte a déjà été traité. Soit c 6= −h ∈ Φnd une racine longue. On suppose que l00a ≥ la pour toute
racine a plus basse que c dans Φnd. On a c = cδ = −δθθ+Pαn0α(c)δαα. Par le lemme
4.4.4, il existe deux racines a ∈ Φnd et b ∈ Φ+nd telles que c = a + b.
Si a est longue, on a a = aδ = −δ
θθ+Pαn0α(a)δαα. Donc, δαn0α(c) = δαn0α(a) + nα(b).
Par conséquent, l00
c = l00a+ l0b. Par hypothèse de récurrence, on a la00≥ la car c est strictement
plus haute que a. Donc l00
c ≥ la+ l0b ≥ la+ lb ≥ la+b = lc par l’axiome (C1).
Sinon, a est une racine courte, de sorte que δα = δθ = d0. Donc a = −θ +Pα δδαθn0α(a)α.
On a : 0 = a + b − c = (δθ−1)θ +Pα δα δθn 0 α(a) + nα(b) − n0α(c)δα
α. Par unicité des
coefficients, pour toute racine simple α ∈ ∆, on a (δθ−1)nα(θ) = δδαθn0α(a)+nα(b)−n0α(c)δα.
Donc l00 c− l 00 a− l 0 b = (δθ−1)l−θ+Pα(δθ−1)nα(θ)lα = (δθ−1)(l−θ+ l0θ). Comme l−θ+ l0θ ≥
l−θ+ lθ ≥0 par l’axiome (C2), on obtient lc00≥ la00+ l0b. Par hypothèse de récurrence, l00a ≥ la.
Donc l00
c ≥ la+ lb ≥ la+b= lc par l’axiome (C1). Ceci termine la récurrence.
Enfin, si c est une racine multipliable, alors l00 2c = 2l
00
c ≥ 2lc ≥ l2c par l’axiome (C0).
Ceci termine la démonstration de (2).
(3) On établit à présent les inclusions Uc,l00
c ⊂ [H, H], dans l’ordre allant des plus
longues aux plus courtes racines. Suivant que Φ est un système de racines réduit ou non, il y a une, deux ou trois longueurs distinctes de racines.
Soit c 6= −θ une racine. On l’écrit comme somme de deux racines non colinéaires
c= a + b. On veut appliquer la proposition 4.4.2, pour de bonnes valeurs l00a ∈Γa, l0b ∈Γb
etlbc∈Γc telles que l00
c ≥lbc= l00a+ l0b, pour démontrer que Uc,l00
c ⊂[H, H]. Comme dans la
proposition 4.4.2, on a aussi un terme v00, on devra faire attention à l’ordre des étapes ici.
On procède, étape par étape, de la plus grande à la plus petite longueur des racines, et on traite à la fin le cas, lorsqu’il se produit, de la plus basse racine c = −h 6= −θ séparément. On note (a, b) = {ra + sb, r, s ∈ N} ∩ Φ et Φ(a, b) = (Za + Zb) ∩ Φ. On notera qu’en général, on a Φ(a, b) 6= (Ra + Rb) ∩ Φ.
• Cas d’une racine divisible. On suppose que c 6= −h est une racine divisible. Alors le système de racines irréductible Φ est non réduit et δc= δθ = d0 = 2. De plus, on a
2θ = h. Par le lemme 4.4.4 appliqué à Φnm, il existe des racines non colinéaires a, b ∈ Φnm
telles que b ∈ Φnm+ et c = a + b. De plus, a, b sont nécessairement non divisibles et on a
δa = δb = 1. Comme précédemment, on peut à nouveau montrer que lc00 = 2l 00 c 2 = l 00 a+ l 0 b.
Par la proposition4.4.2, pour tout u ∈ Uc,l00
c, il existe des éléments v ∈ Ua,l00a et v
0 ∈ U b,l0
b
tels que u = [v, v0]. Donc U c,l00
c ⊂[H, H].
• Cas d’une racine longue non divisible : Soit c une racine longue de Φnd. Alors
δc= 1 par définition. On suppose que c = cδ 6∈ {−θ, −h}. Par le lemme 4.4.4 appliqué à
Φnd, il existe des racines non colinéaires a, b ∈ Φ telles que b ∈ Φnd+ et c = a + b.
Premier sous-cas : Φ(a, b) est de type A2.On a (a, b) = {a, b, a + b} et on a montré
dans (2) que l00 c ≥ l
00 a+l
0
b. Par la proposition4.4.2, pour tout u ∈ Uc,l00
c, il existe des éléments v ∈ Ua,l00
a et v
0 ∈ U
b,lb0 tels que u = [v, v0]. Donc Uc,l00
c ⊂[H, H] car l
00
Deuxième sous-cas : Φ(a, b) est de type B2 ou G2. On a (a, b) = {a, b, a + b} et
δa = δb = δθ car dans ce cas, nécessairement, la racine longue c est la somme de deux
racines courtes. On a montré que l00
c ≥ la00+ lb0. Par la proposition 4.4.2, pour tout u ∈ Uc,l00
c,
il existe des éléments v ∈ Ua,l00
c−l0b et v
0 ∈ U
b,l0b tels que u = [v, v0]. Donc Uc,l00
c ⊂[H, H].
Troisième sous-cas : Φ(a, b) est de type BC2.Alors a et b sont multipliables, et on a
δa= δb = 2. Si a 6= −θ, on définit a0 = a−b ∈ Φnmet b0 = 2b ∈ Φnm. Alors a0 est une racine
longue non divisible et b0 est une racine divisible. On a δ
a0 = δc= 1 et 2a0+ b0 = 2a. Donc
a0 = −δθθ+Pαn0α(a 0)δ
αα et b0 = 2b =Pα2nα(b)α. Pour toute racine simple α ∈ ∆, on a
donc n0 α(c)δα = n0α(a0)δα+ 2nα(b). Ainsi lc00= δθl−θ+Pαn0α(c)δαlα = la000 + 2l0b = l00a0 + l0b0. On a −2θ +P αn0α(a 0)δ αα = a0 = a + b = − θ+P α δ2αn0α(a)α +P αnα(b)α. Pour
toute racine simple α ∈ ∆, on a donc n0 α(a 0)δ α− nα(θ) = δ2αn0α(a) + nα(b). Ainsi : la000 + l0b = δθl−θ+Pα n0α(a0)δα+ nα(b) lα = 2l−θ+Pα δα 2 n 0 α(a) + nα(θ) lα = 2l−θ+ 12(2l00a−2l−θ) + lθ0 = (l−θ+ lθ0) + 12l 00 2a
Comme l−θ+ l0θ ≥0, on a 2l00a0 + lb00 = 2(l00a0+ lb0) ≥ l2a00 . Par la proposition 4.4.2, pour tout élément u ∈ Uc,l00
c, il existe des éléments v ∈ Ua0,l00a0 et v
0 ∈ U b,l0 b0 et v 00 ∈ U 2a0+b0,2l00 a0+l 0 b0 tels
que u = [v, v0]v00. On a déjà montré que, comme 2a0+b0 = 2a 6= −2θ est une racine divisible,
le groupe U2a0+b0,2l00
a0+l
0
b0 ⊂ U2a,l
00
2a est un sous-groupe de [H, H]. Donc Uc,l00c ⊂[H, H].
Si a = −θ, on pose a0 = 2a ∈ Φ
nm et b0 = b − a = b + θ ∈ Φ+nm. De la même manière,
on a l00
c = l00a0+ lb00 et la000 + 2l0b0 = 2lb00= lb000. Par la proposition 4.4.2, pour tout u ∈ Uc,l00
c, il
existe des éléments v ∈ Ua0,l00
a0 et v 0 ∈ U b,l0b0 et v00 ∈ Ua0+2b0,l00 a0+2l 0 b0 tels que u = [v, v 0]v00. On
a déjà montré, dans le cas d’une racine divisible, que le groupe Ua0+2b0,l00
a0+l 0 2b0 = U2b,l 00 2b est un sous-groupe de [H, H]. Donc Uc,l00 c ⊂[H, H].
• Cas d’une racine courte : Soit c ∈ Φnd une racine courte de c ∈ Φnd. Alors
δc= δθ par définition. On suppose que c 6= −θ et que −cD n’est pas la plus haute racine
de ΦD
nd. Par le lemme 4.4.10 appliqué à Φnd, il existe des racines non colinéaires a, b ∈ Φ
telles que b ∈ Φnd+, la racine a est courte et c = a + b.
Premier sous-cas : les deux racines a et b sont courtes.On a δa = δb = δc= δθ et
on a vu en (2) que l00
c = la00+lb0. Le sous-système de racines Φ(a, b) de rang 2 est de type type
A2 ou G2. De plus, lorsque Φ(a, b) est de type G2, on a (a, b) = {a, b, a + b, 2a + b, a + 2b}.
Par la proposition4.4.2, pour tout u ∈ Uc,l00
c, il existe des éléments v ∈ Ua,l00a et v
0 ∈ U b,l0
b
et, de plus, v00∈ U 2a+b,2l00
a+l0bUa+2b,l00a+2l0b si Φ(a, b) est de type G2, ou v
00 = 1 si Φ(a, b) est
de type A2, tels que u = [v, v0]v00.
Il reste à montrer que v00 ∈[H, H]. Dans le cas de G
2, on a δ2a+b = δa+2b = 1. De plus,
2a + b = 2− θ+P α δδαan0α(a)α +P αnα(b)α = −δθθ+Pα 2δα δan 0 α(a) + nα(b) + (δθ−
2)nα(θ) α. On a : l002a+b = δθl−θ+Pα 2δα δan 0 α(a) + nα(b) + (δθ−2)nα(θ) lα = δθl−θ+δ2 a(δal 00 a− δθl−θ) + lb0 + (δθ−2)l0θ = 2l00 a+ l0b+ (δθ−2)(l−θ+ l0θ)
De la même manière, on peut montrer que l00 a+2b = l
00 a+ 2l
0
b+ (δθ−1)(l0θ+ l−θ).
Si δθ = 1, comme l−θ+ lθ0 ≥ 0, on a l2a+b00 ≤ 2la00+ l0b et la+2b00 = l00a+ 2l0b. On a donc
U2a+b,l002a+b ⊃ U2a+b,2l00
a+l0b et Ua+2b,l
00
a+2b = Ua+2b,l00a+2lb0.
Sinon, δθ = 3 et G est une forme trialitaire de D4. Dans ce cas, on a supposé
que l−θ + l0θ ≤ ω($L0) = 0+ ∈ ΓL0. Comme l00
a+2b, l 00
2a+b ∈ ΓLd = 3ΓL0, on obtient que
0 ≤ (δθ−1)(l0θ+ l−θ) < 3ω($L0) = 0+ ∈ ΓL
d. Il en est de même pour (δθ−1)(l
0
θ+ l−θ).
Donc, on a les égalités de groupes : Ua+2b,l00
a+2l0b = Ua+2b,l 00 a+2b+(δθ−1)(l0θ+l−θ) = Ua+2b,l 00 a+2b et U2a+b,2l00 a+l0b = U2a+b,l 00 2a+b+(δθ−2)(l 0 θ+l−θ) = U2a+b,l 00 2a+b.
Dans les deux cas, comme 2a + b et a + 2b sont longues et distinctes de −h, on a vu que les groupes U2a+b,l002a+b et Ua+2b,l00a+2b sont contenus dans [H, H]. Donc v00 ∈[H, H].
Ainsi Uc,l00
c ⊂[H, H].
Deuxième sous-cas : a est courte et b est longue. On a δa = δc = δθ et δb =
1. Le sous-système de racines Φ(a, b) de rang 2 est de type B2 ou BC2. Précisément,
on a (a, b) = {a, b, a + b, 2a + b} si Φ est un système de racines réduit et (a, b) = {a, b, a+ b, 2a, 2a + b, 2a + 2b} sinon. On a δa = δc = δθ et δb = δ2a+b = 1. On a
δcc = δθ − θ +P α δα δan 0 α(a) + nα(b) α = −δθθ +Pα δαn0α(a) + δθnα(b) α. Donc δclc00= δala00+ δθlb0. Ainsi l00c = la00+ l0b. Par la proposition 4.4.2, pour tout u ∈ Uc,l00
c, il existe des éléments v ∈ Ua0,l00 a0 et v 0 ∈ U b,l0 b0 et v 00 ∈ U 2a+b,2l00 a+l0b tels que u = [v, v 0]v00.
Il reste à vérifier que v00 ∈[H, H]. On a :
δ2a+b(2a + b) = 2a + b = 2− θ+P α δδαan0α(a)α +P αnα(b)α = −δθθ+Pα δαδ2an0α(a) + nα(b) + (δθ−2)nα(θ) α Donc : l002a+b = δθl−θ+δ2 a(δal 00 a − δθl−θ) + l0b+ (δθ−2)lθ0 = δθl−θ+ 2la00−2l−θ+ l0b+ (δθ−2)l0θ = 2l00 a+ lb0 + (δθ−2)(l−θ+ lθ0)
Comme δθ ∈ {1, 2} et l−θ+ l0θ ≥0, on obtient l’inégalité l 00 2a+b ≤2l 00 a+ l 0 b. Comme 2a + b est
une racine longue de Φnd, on a déjà montré que U2a+b,2l00
a+l0b ⊂ U2a+b,l
00
2a+b ⊂[H, H]. Donc
v00 ∈[H, H] et il s’ensuit que Uc,l00
c ⊂[H, H].
Maintenant, il ne reste plus que deux cas possibles à traiter : celui d’une racine négative c telle que −cD est la plus haute racine de ΦD dans le cas où h = θ ; ou celui de
la racine négative c = −h dans le cas où h 6= θ.
• La plus basse racine duale : On suppose que c est la racine négative de Φnd