1.3 Éléments de théorie de Bruhat-Tits
1.3.3 Ensembles de valeurs
À partir d’une donnée de groupes radicielle valuée, on peut alors définir un immeuble affine et une action de G(K) sur cet immeuble ayant de bonnes propriétés précisées dans [BrT72, §7].
On veut quantifier précisément les sauts dans l’exhaustion en sous-groupes du groupe des points rationnels d’un groupe radiciel. Comme on supposera toujours que la valuation
ω est discrète, ces sauts a priori indexés par R le sont, en fait, par certains sous-groupes
discrets de R. On utilisera ces ensembles en section1.3.4, afin d’obtenir une « affinisation » du système de racines sphériques.
Soit a ∈ Φ une racine. On définit les ensembles de valeurs suivants : — Γa= ϕa(Ua(K) \ {1}) ;
— Γ0
a= {ϕa(u), u ∈ Ua(K) \ {1} et ϕa(u) = sup ϕa(uU2a(K))}.
De plus, pour toute valeur l ∈ R, on notera l+= min{l0 ∈Γ
a, l0 > l}. C’est la plus petite
valeur, strictement supérieure à l, pour laquelle on obtient un nouveau sous-groupe de la famille (Ua,l0)l0>l.
Afin de pouvoir déterminer Γ0
a, on a introduit la notation
L1a,max = {z ∈ L1a, ω(z) = sup{ω(y), y ∈ L1a}} en section1.3.1. C’est le sous-ensemble de L1
aformé des éléments qui atteignent le maximum
de la valuation. Cet ensemble est non vide, d’après le lemme 1.3.4, et détermine une certaine valeur comme étant la valuation prise par ces éléments.
1.3.6 Remarque. On utilisera la notation l+ avec précaution car cette valeur dépend
de a. En particulier, on s’attachera à préciser au cas par cas, pour chaque racine, une normalisation de la valuation de sorte que l+= l + 1.
Dans le lemme 4.3.11, on donnera un sens géométrique à Γ0
a. C’est cet ensemble de
valeurs qui paramètre les racines affines dont la direction est donnée par la racine relative
a.
Détermination des ensembles de valeurs On se donne une racine relative a ∈ Φ.
On veut calculer les ensembles de valeurs Γa et Γ0a en fonction de la valuation et du corps
de déploiement de a.
1.3.7 Lemme. Si a est une racine non multipliable et non divisible, alors on a Γa = Γ0a =
Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate de l’isomorphisme entre Ua(K) et
La donné en section 1.1.6.
On suppose désormais que la racine relative a ∈ Φ est multipliable. Comme ω est une valuation discrète et que pour tout y ∈ L1
a, on a ω(y) ≤ 0, il est clair
que L1
a,max est non vide. De plus, lorsque p 6= 2, on a 12 ∈ L 1
a,max. Ainsi, d’après [BrT84,
4.2.21 (4)] avec p 6= 2, on sait que Γa = 12ΓLa et que Γ
0
a= ΓLa. D’après [BrT84, 4.3.4] avec p 6= 2, on sait que :
— lorsque l’extension quadratique La/L2a est non ramifiée, on a les égalités Γ2a =
Γ0
2a = ω(L0×) = ΓLa = ΓL2a ;
— lorsque l’extension quadratique La/L2a est ramifiée, on a les égalités Γ2a = Γ02a =
ω(L0×) = ω($
La) + ΓL2a.
1.3.8 Lemme (Synthèse). On suppose que la caractéristique résiduelle p est différente
de 2. Soit a ∈ Φ une racine multipliable. Si l’on normalise la valuation ω de sorte que
ΓLa = Z, alors on a :
La/L2a non ramifiée ramifiée
ΓLa Z Z ΓL2a Z 2Z Γa 12Z 12Z Γ2a Z 1 + 2Z Γ0 a Z Z
1.3.9 Remarque. On a également traité le cas d’une racine divisible. C’est le cas 2a d’une
racine multipliable a.
1.3.10 Remarque (Le cas de caractéristique résiduelle 2). Lorsque la caractéristique rési-
duelle est quelconque (et en particulier lorsque p = 2), on pose δ = sup ω(L1
a). On peut
exprimer les ensembles de valeurs en fonction de δ et de la ramification de La/L2a. On
obtient les résultats suivants : — Γ0 a= 1 2δ+ ΓLa ; — Γa= Γ0a∪ 1 2Γ2a = 1 2ΓLa ;
— si La/L2a est ramifiée, alors Γ0a∩12Γ2a = ∅ et Γ2a = δ + ω($La) + ΓL2a ; — si La/L2a est non ramifiée, alors Γ0a∩12Γ2a6= ∅ et Γ2a = ΓL2a = ΓLa.
Comme δ = 0 lorsque p 6= 2, ceci généralise bien le lemme1.3.8.
Calcul détaillé dans le cas d’une racine multipliable On redémontre ici les résul-
tats annoncés dans la remarque 1.3.10, dus à Bruhat et Tits [BrT84, 4.2.21]. On suppose que a ∈ Φ est une racine multipliable et on reprend les notations du paragraphe de la section1.3.1 sur les extensions quadratiques galoisiennes de corps locaux. En particulier, on pose dans ce paragraphe K = L2a et L = La pour alléger ici les notations.
On sait par le lemme1.3.4que L1
maxest non vide. Notons δ = sup ω(L1max) et choisissons
λ ∈ L1 max.
1.3.11 Proposition.
(1) Si L/K est non ramifiée, on a Γ02a = ΓK.
(2) Si L/K est ramifiée, on a Γ02a = δ + ω($L) + ΓK.
Démonstration. On sait par le lemme 1.3.4 que Γ02a = ω(L×0) ⊂ ΓL et que L0 est un
K-espace vectoriel de dimension 1. Donc Γ02a s’écrit ω0+ ΓK avec ω0 ∈ΓL à déterminer.
(1) Le cas non ramifié découle du fait que ΓL = ΓK.
(2) Dans le cas ramifié, on montre que δ 6∈ Γ0
2a. Par l’absurde, supposons que δ ∈ Γ 0 2a.
Par définition de Γ0
2a, il existerait y ∈ L0 tel que δ = ω(y). Par définition de δ, il existe
x ∈ L1 tel que δ = ω(x). Donc ω(xy−1) = 0. Comme L/K est ramifiée, il existe z ∈ O×K
tel que xy−1 = z mod $
LOK. On pose y0 = yz ∈ L0 de sorte que ω(xy−1 − z) =
ω(x(y0)−1−1) > 0. Comme x + y0 ∈ L
1, on a ω(x + y0) = ω(y0) + ω(xy0−1−1) > δ ; ce
qui contredit la maximalité de δ.
1.3.12 Lemme. Si λ ∈ L1
max alors pour tout x ∈ K et tout y ∈ L0, on a ω(xλ + y) =
min(ω(y), ω(xλ)).
Démonstration. Si x = 0, c’est vrai.
Supposons désormais x ∈ K×. Alors λ + yx−1 ∈ L
1. Donc par définition de L1max,
on a ω(λ) ≥ ω(λ + yx−1). Donc ω(xλ) ≥ ω(xλ + y). De plus, ω(y) = ω(y + xλ −
xλ) ≥ min(ω(y + xλ), ω(−xλ) = ω(y + xλ) car ω(−xλ) ≥ ω(xλ) ≥ ω(xλ + y). Donc
min(ω(y), ω(xλ)) = ω(y + xλ).
1.3.13 Proposition. On a Γ0
a = 12δ+ ΓL
Démonstration. Soit (u, v) ∈ H(L, K) tel que : ϕa xa(u, v) = sup ϕa xa(u, v)U2a(K) Fixons un λ ∈ L1
max. On remarque que (u, λuτu) ∈ H(L, K) et que v − λuτu ∈ L0
avec uτu ∈ K. Pour tout v0 ∈ L
0, on applique le lemme 1.3.12 à v + v0 :
ω(v + v0) = ω((v + v0− λuτu) + λ(uτu))
= min(ω(v + v0 − λuτu), δ + 2ω(u))
≤ δ+ 2ω(u) avec égalité pour v0 = λuτu − v ∈ L
0. Donc ω(v) = 2ϕa(xa(u, v)) = δ + 2ω(u). Donc
Γ0
a⊂ 12δ+ ΓL
Réciproquement, pour tout u ∈ L×, on a (u, λuτu) ∈ H(L, K) et u = x
a(u, v) vérifie
bien ϕa(u) = sup ϕa(uU2a(K)).
D’où le résultat Γ0 a= 12δ+ ΓL. 1.3.14 Proposition. (1) Γa= Γ0a∪ 1 2Γ 0 2a (2) Γa= 12ΓL
Démonstration. (1) Par définition, Γ0a ⊂Γa et 1 2Γ 0 2a = {12ϕ2a(x2a(v)), v ∈ L0} = {ϕa(xa(0, v)), v ∈ L0} ⊂ Γa Donc 1 2Γ 0 2a∪Γ0a⊂Γa.
Réciproquement, soient (u, v) ∈ H(L, K) et λ ∈ Lmax
1 . On a uτu ∈ K et (u, λuτu) ∈
H0(L, K). On pose v0 = v − λuτu ∈ L0. On peut écrire xa(u, v) = xa(u, λuτu)xa(0, v0).
Si u = 0, alors ϕa(xa(0, v)) ∈ Γ2a = Γ02a.
Si u 6= 0, alors pour tout v0 ∈ L
0, on a ϕa(xa(u, v)x2a(v0)) = ϕa(xa(u, v + v0) = 1 2ω(v + v 0) = 1 2ω((u τu)λ + (v + v0− λuτu)) = 1 2min(ω(v + v 0 − λuτu), ω(λ) + 2ω(u))
Les trois premières égalités sont élémentaires, la dernière est une conséquence du lemme
1.3.12.
On constate que le sup{ϕa(xa(u, v)u0), u0 ∈ U2a(K)} est atteint en u0 = x2a(v0) et
vaut δ + 2ω(u).
Si ϕa(xa(u, v)) 6∈ Γ0a, alors on a nécessairement :
1
2(δ + 2ω(u)) = ϕa(xa(u, v)xa(0, v0)) > ϕa(xa(u, v)) =
1 2ω(v) Donc ϕa(xa(u, v)) = 12ω(v − λuτu) = 12ω(−v0) ∈ 12ω(L×0).
Donc ϕa(xa(u, v)) ∈ 12Γ02a.
(2) On le montre par double inclusion.
L’inclusion Γa ⊂ 12ΓL est claire par l’écriture ϕa(xa(u, v)) = 12ω(v) avec (u, v) ∈
H(L, K) ⊂ L × L.
Si L/K est non ramifiée, on a Γ2a = ΓK = ΓL car L0 est un K-espace vectoriel de
dimension 1. Donc 1 2ΓL=
1 2Γ
0
2a ⊂Γa donne l’autre inclusion.
Si L/K est ramifiée, on a montré que Γ0 a = 1 2δ+ ΓL et que 1 2Γ 0 2a = 1 2(δ + ω($L) + ΓK). En appliquant (1), on a le résultat.
1.3.15 Remarque. En section4.3.2, on dénombrera le nombre d’alcôves ayant une cloison en
commun grâce au quotient Ua,l/Ua,l+. On utilisera alors le point (1). Le point (2) indique la répartition des murs et sert surtout si l’on est en train de regarder l’immeuble d’un groupe de dimension supérieure. On en déduit que deux murs consécutifs sont distants d’une « demi-uniformisante » et que donc la translation minimale du groupe de Weyl affine est donnée par un élément du tore maximal T (K) de la forme ea($L)t où t ∈ T (K)b.
Tout élément du tore T (K) ne s’écrit pas comme produit de m(u)3 mais l’écart à une telle écriture est contenu dans T (K)b.
1.3.16 Corollaire. L’union Γa = Γ0a∪ 1 2Γ
0
2a est disjointe si et seulement si l’extension
L/K est ramifiée.
3. Pour u ∈ Ua(K) un élément unipotent appartenant à un groupe radiciel correspondant à une racine
a ∈ Φ, il existe des éléments u0, u00∈ U
−a(K) tels que m(u) = u0uu00relève dans N (K) = NG(S)(K) la
Démonstration. Par les propositions 1.3.11(1) et 1.3.14(2), on constate que si L/K est
non ramifiée, alors Γ0 a∩ 1 2Γ 0 2a = Γ 0 a 6= ∅ car 2Γa = Γ02a = ΓL= ΓK.
Par les propositions 1.3.11(2) et 1.3.13, on constate que si L/K est ramifiée, alors la réunion Γa = Γ0a∪ 12Γ
0
2a est disjointe.