II Physique du plasma de bord : SOL et gaines RF
II.1 Les gaines
II.1.3 Grandeurs physiques dans la prégaine et la gaine
(
2)
2
1 1
M M nc
S dz dM
s p
−
= + Eq II.23 Dans cette équation le terme Sp/ncs est forcément positif, ainsi la variation de M dépend directement de (1 + M2)/(1 - M2) dont le comportement est représenté sur la figure II.5. Il apparait que dM/dz > 0, ainsi les ions dont la vitesse est nulle dans le plasma vont être accélérés vers la paroi. L’équation Eq II.23 montre que cette augmentation est proportionnelle au terme source Sp d’où le nom de prégaine collisionnelle donné souvent à la prégaine. L’Eq II.23 et la figure II.5 présentent en M = 1 une singularité mathématique non physique, la vitesse des ions ne peut ainsi atteindre la vitesse acoustique dans la prégaine. Ceci montre que les hypothèses du modèle, comme le maintien de la quasi-neutralité dans la prégaine, ne sont plus valide à l’orée de la gaine.
Figure II.5 : comportement de la variation de M en fonction du nombre de Mach.
Dans la section précédente, nous avons montré que la vitesse des ions à l’entrée de la gaine était la vitesse acoustique. Nous savons maintenant que ces mêmes ions parties du plasma sans vitesse initiale ont subi une accélération dans la prégaine collisionnelle, zone quasi-neutre, avant d’atteindre la gaine, zone de charge d’espace positive, à la vitesse du son.
II.1.3 Grandeurs physiques dans la prégaine et la gaine
Les sections II.2.1 et II.2.2 ont donné une vision générale de la transition plasma-paroi, nous allons ici déterminer différentes grandeurs physiques (vitesse moyenne, potentiel électrique, densité,…) des particules et du plasma le long de cette transition.
II.1.3.1 Distribution de vitesse dans la prégaine
Afin de déterminer le profil de vitesse, nous allons réécrire l’équation Eq II.23
( )
(
−+MM2)
dM =ncSps dz2
1
1 Eq II.24 L’intégration de cette équation donne :
nc dz dM S
M
M z
s M p
∫
∫
0 −+ 2 = 0 21
1 Eq II.25 Une estimation du terme source Sp peut être faite, en rappelant que les électrons sont bien souvent les responsables de la formation du plasma par leur aptitude à ioniser les gaz neutres lorsqu’ils possèdent suffisamment d’énergie. Ainsi nous pouvons estimer que Sp est
proportionnel à la densité (électronique). Le terme Sp/n de l’équation Eq II.25 est dans ce cas une constante (notée C). L’intégration de l’équation Eq II.25 donne alors :
s p
nc z M S
M − =
arctan
2 Eq II.26 Cette équation n’a pas de solution explicite, une résolution numérique permet cependant d’obtenir la courbe de la figure II.6. Le comportement singulier des ions au niveau de l’entrée de la gaine y est clairement visible. L’équation Eq II.23 permet de comprendre la valeur importante que prend la pente de la courbe près de l’entrée de la gaine. D’autres formes pour le terme source [Stangeby2000] peuvent donner des résultats différents, mais le comportement près de la gaine demeure divergent.
Figure II.6 : évolution du nombre de Mach le long de la prégaine collisionnelle en fonction de la position normalisée à L la distance entre le cœur du plasma (x=0) et l’entrée de la gaine (x=L).
Un autre paramètre que nous pouvons déterminer est la constante de proportionnalité C=
Sp/n. Sachant qu’à l’entrée de la gaine M = 1, l’équation Eq II.26 permet d’obtenir :
s s
p
c C L nc
L
S =
=
−1 2
π Eq II.27 L étant la longueur de la prégaine. La remarque que nous pouvons faire est que la source, la longueur de la transition et la température du plasma via cs (ou du moins C, L et cs) doivent satisfaire à une contrainte.
II.1.3.2 Densité dans la prégaine
En réécrivant l’équation Eq II.20 (qui devient en fait l’équation du mouvement des électrons dans le cas où l’inertie des électrons est négligée) nous obtenons :
dz enE dp
dz kT dn
enE − e = − − e
−
=
0 Eq II.28
En additionnant cette équation à l’équation Eq II.22, il vient :
p i i e
i mvS
dz dp dz dp dz
vdv
nm = − − − Eq II.29 En utilisant l’équation de conservation Eq II.17, nous pouvons écrire la forme conservative de l’équation de conservation de la quantité de mouvement qui montre que la dynamique du plasma est régie par les gradients de pression :
(
p + p + m nv2)
= 0 désormais déterminer la densité en tout point de la prégaine. Avec M(zse) = 1, nous pouvons en particulier déterminer la densité à l’entrée de la gaine : n(zse)= no/2. Ainsi dans les conditions isothermes, la densité ne diminue que d’un facteur deux entre le début de la prégaine et l’entrée de la gaine. A partir de ce résultat, nous pouvons écrire le flux ionique à l’entrée de la gaine et donc aussi sur la paroi (la conservation du flux découlant du fait que la gaine soit non collisionnelle) :s
II.1.3.3 Chute de potentiel dans la prégaine
Le profil du potentiel électrique dans la prégaine s’obtient avec les équations Eq II.3 et Eq II.32 qui lient respectivement la densité au potentiel V(z) et au nombre de Mach M(z).
nécessaire pour accélérer les ions jusqu'à cs à l'entrée de la gaine.
II.1.3.4 Chute de potentiel dans la gaine : le potentiel flottant
La chute de potentiel devrait être plus importante dans la gaine. Nous allons estimer la valeur du potentiel sur la paroi, en supposant toujours qu’elle puisse se charger librement.
Nous avons vu précédemment que la gaine se stabilise dès que les flux électronique et ionique sont égaux, la charge de la paroi n’évoluant alors plus. Il faut donc évaluer ces flux.
Le flux d’ions sur la paroi est donné par l’équation Eq II.33. La situation des électrons est différente. Le résultat donné par l’équation Eq II.37 provient d’un calcul cinétique présenté à la section suivante. Dans le cas d’une population maxwellienne d’électrons de densité ne nous montrerons que :
e d’électrons s’écrit donc :
( )
Avec Vw le potentiel de la paroi. En égalisant les flux électronique et ionique nous avons :( )
Ce potentiel de la paroi est dit « flottant » puisqu’aucune force autre que celles créées par le plasma n’agit sur la paroi.
Figure II.7 : schéma générale de la transition plasma-paroi. Les différentes zones et caractéristiques de la gaine et de la prégaine y apparaissent.
Ce potentiel flottant représente la chute de potentiel dans la gaine, sa valeur dépend des rapports de masse et de température entre les ions et les électrons. La masse des électrons étant faible comparée à celle des ions, le potentiel flottant est négatif. La paroi sera ainsi attractive pour les ions et répulsive pour les électrons. La dépendance en Ti et 1/Te s’explique aisément. En effet plus la température des ions est importante, plus leur flux vers la paroi va être important et donc moins important sera le champ électrique dont ils auront besoin pour
effectuer le trajet vers la paroi. Le potentiel flottant sera alors moins important. Le raisonnement inverse permet d’expliquer la dépendance en 1/Te.
Ainsi une paroi isolée électriquement au contact d’un plasma va se charger négativement jusqu’à Vfl. Par contre dans le cas d’une paroi conductrice (à la masse), c’est le plasma qui se chargera mais au potentiel -Vfl.
Nous allons maintenant donner, en fonction des espèces d’ions présentes dans le plasma, quelques ordres de grandeurs du potentiel flottant. Pour le plasma d’hydrogène qui a servi à notre étude des gaines, Vfl ≈ -3kTe/e. Pour un plasma dont la température des ions est égale à