Une gestion de classe facilitée grâce à la pédagogie différenciée

Alguns modelos mais importantes para séries temporais financeiras serão apresentados nesta Seção. Em conformidade com a definição de contágio adotada para esta dissertação, serão estudados modelos especialmente apropriados para a avaliação da variância condicional variando no tempo. Trata-se de uma estrutura não-linear, denominada de família ARCH (autorregressive conditional heteroskedasticity) e suas generalizações. Não serão abordadas propriedades matemáticas de tais modelos, embora estas possam ser consultadas em detalhes nos textos de McNeil et al. [2005], Morettin e Toloi [2006] eMorettin [2008].

3.4.1

Processo ARCH univariado

Um modelo ARCH (autoregressive conditional heteroscedasticity) é definido da seguinte maneira. Seja (Zt)t∈Z um processo ruído branco padrão. O processo (Xt)t∈Z segue um ARCH(p) se é estritamente estacionário e satisfaz, para todo t ∈ Z e valores estritamente positivos (σt)t∈Z, as equações: Xt = σtZt, σ2_t = α0+ p X i=1 αiX_t−i2 , (3.1)

em que α0 > 0 e αi _{≥ 0, i = 1, . . . , p. Pela definição do processo, nota-se que valores grandes} para Xt são precedidos de valores grandes e o mesmo deve acontecer para valores pequenos. Além disso, decorre da definição que a variância incondicional Xté constante, enquanto a variância condicional (na informação passada) do processo Xtvaria no tempo e está descrita na equação de σ2

t na Equação 3.1.

Usualmente, adota-se que Zt _{∼ N(0, 1) ou Z}t∼ tv (t-Student com v graus de liberdade). No entanto, pode-se adotar outras distribuições, como a Distribuição Generalizada de Erro (GED).

3.4.2

Processo GARCH univariado

Os processos GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity) são pro- cessos ARCH generalizados, no sentido que as volatilidades σ2

t dependem tanto das volatili- dades passadas quanto dos valores ao quadrado do processo.

MODELOS GARCH 23 Seja (Zt)t∈Zum processo ruído branco padrão. O processo (Xt)t∈Zsegue um GARCH(p,q) se é estritamente estacionário e satisfaz, para todo t ∈ Z e valores estritamente positivos (σt)t∈Z, as equações: Xt = σtZt, σ2t = α0+ p X i=1 αiXt−i2 + q X j=1 βjσt−j2 , (3.2) em que α0 > 0, αi _{≥ 0, i = 1, . . . , p, β}j ≥ 0, j = 1, . . . , q.

Na prática, modelos GARCH de ordem baixa são amplamente utilizados. É possível demonstrar que um modelo GARCH(1,1) é equivalente a um ARCH(∞), o que indica que períodos de grande volatilidade tendem a ser persistentes, no sentido de que, sendo |Xt| grande, basta que ou |Xt−1| ou σt−1 seja grande. Desta maneira, modelos GARCH tendem a ser mais parcimoniosos na quantidade de parâmetros do que modelos ARCH.

Existem diversas variações desta classe de modelos. Os mais conhecidos são os EGARCH (Exponential GARCH ) e TARCH (Threshold ARCH ), que mensuram, respectivamente, a assimetria do impacto dos retornos, de forma que retornos negativos tendem a produzir vo- latilidades maiores, e avaliam impactos de variáveis dummies (como influência de boas/más notícias). Esses modelos são abordados em detalhes em Morettin [2008], mas não serão estudados aqui.

No entanto, uma extensão simples do modelo GARCH pode ser útil para quando existir estrutura autorregressiva na média e não só na variância e sua estimação é feita de modo conjunto. Este modelo é chamado de ARMA-GARCH.

Seja (Zt)t∈Z um processo ruído branco padrão. O processo (Xt)t∈Z é dito um processo ARMA(p1,q1) com erros GARCH(p2,q2) se é estacionário em covariância e satisfaz conjun- tamente as equações: Xt = µt+ σtZt, µt= µ + p1 X i=1 φi(Xt−i_{− µ) +} q1 X j=1 θj(Xt−j_{− µ}t−j), σ_t2 = α0 + p2 X i=1 αi(Xt−i_{− µ}t−i)2+ q2 X j=1 βjσ_t−j2 , (3.3)

em que α0 > 0, αi _{≥ 0, i = 1, . . . , p}2, βj _{≥ 0, j = 1, . . . , q}2 e Pp_i=12 αi+Pq_j=12 βj < 1.

Além disso, para ser consistente com processos ARMA padrão (verMorettin [2008] para detalhes acerca do processo ARMA univariado), foram impostas as condições de estacionarie- dade e invertibilidade: os polinômios φ

e(z) = 1−φ1z−. . .−φp1z p1_{e θ}

e(z) = 1+θ1z+. . .+θq1z q1 não devem ter raízes comuns nem raízes dentro do círculo unitário.

Para a avaliação da interdependência, o processo ARMA-GARCH será importante para a posterior filtragem de cada uma das séries, uma vez que o interesse reside na interdependência das variáveis, desconsiderando os efeitos dos passados univariados, que poderiam ocultar relações multivariadas relevantes.

O modelo multivariado para uma série temporal vetorial analisa simultaneamente múlti- plos componentes. Além da análise em cada componente individual Xit por meio da autocor- relação contida em cada série, as relações dinâmicas entre as séries componentes também são analisadas. Um modelo multivariado para os elementos de risco é um processo estocástico (X

et)t∈Z, ou seja, uma família de vetores aleatórios, indexados por inteiros e definidos em algum espaço de probabilidade (Ω, F , P).

Assumindo a existência dos momentos, define-se a função média µ

e(t) e a função matriz de covariâncias Γ(t, s) de (X et)t∈Z por: µ e(t) = E(Xet), t ∈ Z, Γ(t, s) = E[Xet− µ(t)][Xes− µe(s)] ′ , t, s ∈ Z. (3.4)

Como caso particular, Γ(t, t) = Cov(X

et). Observando as correlações entre duas séries quaisquer i e j, desde que i 6= j, os elementos γi,j(t, s) de Γ(t, s) satisfazendo:

γi,j(t, s) = Cov(Xt,i, Xs,j) = Cov(Xs,j, Xt,i) = γj,i(s, t), (3.5) fica nítido que Γ(t, s) = Γ(t, s)′ _{para todo t, s. No entanto, a matriz Γ não precisa ser} simétrica, então Γ(t, s) 6= Γ(s, t). Este fato evidencia que valores defasados de uma variável podem estar mais fortemente associados a valores futuros de alguma outra série, e vice-versa.

O coeficiente de correlação contemporâneo entre Xit e Xjt é dado por ρij(0) = p γij(0)

γii(0)γjj(0). (3.6)

A matriz de correlações contemporâneas é simétrica com todos os elementos da diagonal principal iguais a um e fora dela, as correlações entre as diversas séries, dado o mesmo instante de tempo. Os elementos da matriz de correlações de defasagem (lag) τ são definidos por:

ρij(τ ) = _p γij(τ )

γii(0)γjj(0), (3.7)

que expressa a quantidade de correlação entre Xi,t+τ e Xj,t. Portanto, quando τ > 0, tem-se a relação linear de uma série sobre a defasagem da outra. Isso é particularmente útil ao construir o modelo GARCH multivariado mais adiante e fazer o seu diagnóstico.

O fato que ρij_{(τ ) 6= ρ}ji(τ ), para todo i, j dá-se, intuitivamente, pelo fato de que estes dois coeficientes de correlação medem relações lineares diferentes entre Xit e Xjt.

Uma vez evidenciada a estrutura multivariada e as dependências lineares, define-se a estrutura geral de um modelo GARCH multivariado. Seja (Z

et)t∈Z um processo ruído branco padrão (de vetor de médias igual a zero e matriz de variâncias-covariâncias identidade). O processo (X

et)t∈Z segue um GARCH multivariado se é estritamente estacionário e satisfaz as equações:

MODELOS GARCH 25 X et= Σ 1/2 t Z et, t ∈ Z, (3.8)

em que Σ1/2_{t ∈ R}d×d _{é a decomposição de Choleski de uma matriz positiva definida Σt que} é mensurável com respeito à história do processo até o instante de tempo t − 1, e d é a quantidade de séries envolvidas no problema.

Na prática, as inovações são supostas normais multivariadas (Z

et ∼ Nd(0, Id)) ou, mais realisticamente, utilizando uma distribuição esférica mais apropriada, com média 0 e matriz de covariâncias Id, como a t-Student (Z

et∼ td(v, 0, (v − 2)Id/v)).

Da forma que está definida, a matriz de variâncias-covariâncias condicional Σt cor- responde à volatilidade σ2

t em um processo GARCH univariado. Pode-se decompor Σt =

∆tPt∆t, de tal forma que:

∆t = ∆(Σt) = diag(σt,1, . . . , σt,d), Pt = (∆(Σt))−1Σt(∆(Σt))−1, (3.9) em que ∆t será chamada de matriz de volatilidade, Pt, a matriz de correlação condicional e d é a quantidade de séries. Vale ressaltar que a grande dificuldade de se construir modelos GARCH multivariados reside na especificação da dependência de Σt (ou de ∆t e Pt). Modelos para a Correlação Condicional

Serão apresentadas, nesta Subseção4_{, algumas das especificações para a estrutura da}

matriz de correlação condicional a serem utilizadas no trabalho, enquanto as volatilidades seguem modelos GARCH univariados. No entanto, tais especificações não serão aprofundadas em nível de detalhe de cada estrutura, que podem ser vistos em McNeil et al. [2005] ou

Zivot e Wang [2005].

Correlação Condicional Constante (CCC) O processo (X

et)t∈Z segue um CCC-GARCH se o processo definido na Equação3.8 puder ter a matriz de variâncias-covariâncias na forma ∆tPc∆t, de tal forma que:

1. Pc é uma matriz de correlação positiva-definida, constante, e; 2. ∆t é uma matriz de volatilidade diagonal com elementos σ2

t,k satisfazendo: σ_t,k2 = αk0+ pk X i=1 αkiX_t−i,k2 + qk X j=1 βkjσ_t−j,k2 , k = 1, . . . , d, (3.10) em que αk0 > 0, αki _{≥ 0, i = 1, . . . , p}k, βkj _{≥ 0, j = 1, . . . , q}k. VEC Diagonal (DVEC)

O processo (X

et)t∈Z segue um DVEC se puder ter estrutura geral definida pela Equação

3.8, com as volatilidades variando no tempo na forma Σt satisfazendo as equações:

Σt = A0+ p X i=1 Ai_{◦ (X}t−iX_t−i′ ) + q X j=1 BjΣt−j, (3.11)

em que ◦ denota o produto de Hadamard (que significa multiplicação elemento a elemento de duas matrizes de igual tamanho) A0, Ai, Bj são todas matrizes simétricas em Rd×d, tal que A0 tem elementos positivos na diagonal e as outras matrizes possuem elementos não- negativos na diagonal. A partir desta representação, é possível mostrar que, em um modelo DVEC(1,1), cada elemento de Σt segue um GARCH(1,1).

O modelo de Baba, Engle, Kroner e Kraft (BEKK)

O processo (Xt)t∈Z segue um BEKK-GARCH se puder ter estrutura geral definida pela Equação 3.8, e se a matriz de variâncias-covariâncias Σt _{satisfizer, para todo t ∈ Z:}

Σt= A0+ p X i=1 A′ iXt−iXt−i′ Ai+ q X j=1 B′ jΣt−jBj, (3.12)

em que todos os coeficientes das matrizes A e B estão em Rd×d _{e A0 é uma matriz simétrica} e positiva-definida e d é a quantidade de séries.