Généralités et formalisation liées aux plans d’expériences

De manière générale, la méthode des plans d’expériences permet de créer un lien logique ou mathématique entre deux types de variables :

- La réponse : grandeur physique étudiée

- Les facteurs : grandeurs physiques modifiables par l’expérimentateur et censées influencer la valeur de la réponse.

Cette démarche vise aussi bien à comprendre les relations liant les facteurs à la réponse, que les facteurs entre eux.

Le principe est de déterminer un modèle mathématique a priori, liant la réponse aux facteurs. L’identification d’un tel modèle nécessite de quantifier d’une part, les variations de chacun des paramètres d’entrée et d’autre part, les variations observées sur la sortie. Celles-ci sont déduites des résultats de séries d’expériences, c’est-à-dire de diverses configurations des facteurs. Ces configurations sont déterminées à priori. On doit s’assurer de la possibilité de les réaliser. De plus, les facteurs doivent être indépendants (non corrélés entre eux).

La réalisation d’un plan revient à déterminer la valeur de la réponse pour ces configurations. Une modélisation mathématique de la « boîte noire » en est alors déduite.

5.4.1 Terminologie

La technique des plans d’expériences possède un vocabulaire particulier. Dans ce paragraphe, nous allons détailler les notions de réponse, de facteurs, de domaine d’étude et de surface de réponse.

5.4.1.1 Réponse

Les réponses correspondent aux sorties de la « boîte noire ». Elles sont placées à droite de la figure 5-1 et appelés yi. L’utilisateur doit être capable d’identifier une variation de cette dernière de manière quantitative.

5.4.1.2 Facteurs

Les facteurs sont les variables que l’on désire étudier et qui sont supposées avoir une influence sur le système.

Un facteur peut être :

• Quantitatif continu : il peut prendre toutes les valeurs contenues dans l’intervalle de variation défini [binf ;bsup] ;

• Quantitatif discret : l’ensemble des valeurs que le facteur peut prendre est fini.

• Qualitatif : l’ensemble des niveaux que peut prendre le facteur est aussi fini, on parle dans ce cas de modalité (type de tôle, couleur de pièce…)

Les facteurs sont définis par leurs plages de variation de la manière suivante :

• Borne inférieure (binf ) : limite basse (ou niveau bas) des valeurs que le facteur peut prendre.

5.4.1.2.1 Facteur maîtrisable

Le facteur est maîtrisable lorsqu’on peut fixer sa valeur au moment de l’essai. 5.4.1.2.2 Facteur non maîtrisable

Le facteur est non maîtrisable si on ne peut pas choisir sa valeur au cours de l’essai, bien qu’on le soupçonne d’avoir une influence sur la réponse. Il n’est alors pas possible de l’intégrer dans la construction du plan d’expérience. Par contre, si l’expérimentateur est capable de le mesurer, il faut le relever au cours des essais et il est possible d’en tenir compte lors du dépouillement du plan en utilisant entre autre la technique de la régression multilinéaire que nous aborderons dans le paragraphe 5.7.3 page 95 et développée en annexe 1.

5.4.1.2.3 Facteur mal maîtrisable

Le facteur mal maîtrisable est un facteur dont l’expérimentateur a du mal à fixer précisément sa valeur au cours des essais. Au même titre que les facteurs non maîtrisables, l’expérimentateur doit consigner ses valeurs au cours des essais.

5.4.1.3 Domaine d’étude

Etant donné la définition des k facteurs et de leurs variations respectives, il devient naturel de définir un espace k-dimensionnel, dans lequel chaque point correspond à une configuration des k facteurs.

Cet espace est appelé domaine d’étude ou encore espace de recherche, montrant un lien plus fort avec les futures optimisations qui seront réalisées dans cet espace.

Les points d’expérience peuvent se situer soit à l’intérieur soit sur les frontières du domaine.

Il est de forme hyper-rectangulaire, ses dimensions étant imposées par les bornes inférieures et supérieures de chacun des k facteurs.

Ainsi, pour k=2, il est possible de représenter le domaine d’étude comme sur la figure 5-2. Cette zone d’étude est délimitée par les bornes des deux facteurs x1 [binf1 ;bsup1] et x2 [binf2 ;bsup2].

binf2

bsup2

Domaine d’étude

.

x1 et x2) _{facteur 1}

facteur 2 x2

Tout point P de cet espace k-dimensionnel est défini par ses coordonnées (combinaison traduisant l’expérience correspondante), ce qui correspond à un vecteur à k éléments (dans l’exemple P(x1, x2)).

5.4.1.4 Surface de réponse 5.4.1.4.1 Surface de réponse réelle

La surface de réponse réelle du procédé est l’ensemble des valeurs que prend la réponse. 5.4.1.4.2 Surface de réponse théorique

Dans le cas où les variables sont continues, une surface de réponse théorique peut être calculée.

En pratique cette surface est construite à partir de quelques points expérimentaux retenus par l’expérimentateur. Généralement, on cherche à identifier un modèle polynômial qui permet d’obtenir une approximation de la surface de réponse réelle.

En utilisant l’illustration du domaine d’étude bidimensionnel présenté au paragraphe 5.4.1.3, figure 5-2, la surface de réponse est définie dans un espace tridimensionnel (figure 5-3). binf2 bsup2 binf1 bsup1 Domaine d’étude

.

.

. .

Surface de réponse théorique (modèle théorique)

Figure 5-3 : Surface de réponse tridimensionnelle.

Une des grandes difficultés pour réaliser des expériences est de déterminer la position des points (expériences) dans le domaine d’étude ainsi que la quantité suffisante afin d’obtenir une réponse représentative du système étudié.

Par la technique des plans d’expériences, le nombre de points dépend du nombre de niveaux donnés à chaque facteur et du type de surface de réponse choisie. Ainsi, si la

pour un facteur, on choisit un niveau à chaque extrémité et un au centre du domaine de variation.

5.4.1.6 Coordonnées centrées réduites

Pour des soucis de comparaison des effets des facteurs et d’interprétation du modèle mais aussi pour faciliter les calculs liés au dépouillement des plans d’expériences, chacun des facteurs varie dans l’intervalle [-1 ; +1]. Cette notation s’appelle la notation de Yates. Ainsi, -1 correspond au niveau bas du facteur (binf = -1), tandis que +1 correspond au niveau haut (bsup = +1).

Le passage des variables naturelles (sur le procédé réel), aux variables centrées réduites est donné par la relation suivante :

a = ^{A - A} pas

a : est la valeur de la variable centrée réduite, A : est la valeur de la variable courante,

A : est la valeur moyenne des variables courantes,

pas : est la variation entre la position moyenne et une extrémité du domaine. 5.4.1.7 Expériences

5.4.1.7.1 Expériences réelles

Classiquement, les expériences réalisées sont effectuées sur un système physique réel. Ces expériences réelles sont biaisées par des erreurs expérimentales et des erreurs de mesure. 5.4.1.7.2 Expériences virtuelles

Les plans d’expériences peuvent être également utilisés sur un procédé virtuel (simulation numérique du procédé physique). Les codes de calculs numériques utilisés sont dits « déterministes », c’est-à-dire que pour une configuration des paramètres de la simulation correspond un résultat unique. Il n’existe pas d’erreur de répétabilité.

Dans la plupart des cas, les mesures numériques sont très simplifiées et consistent à un relevé de valeur numérique. Dans notre cas, cela nécessite de nombreuses opérations de métrologie. Ce point a été abordé dans le chapitre précédent.