4 Paramétrage et mesurage des défauts géométriques
4.4 Détermination du nombre de paramètres
4.4.1 Détermination du nombre de paramètres par une approche théorique
Les pièces mécaniques sont, la plupart du temps, composées de surfaces élémentaires, c'est-à-dire en considérant des surfaces de type plan, cylindre, sphère, …
Les sept classes de surfaces, à la base des SATT (Surfaces Associées Topologiquement et Technologiquement), proposées par Clément [CLE 94], sont définies par rapport aux déplacements qui les laissent invariantes. En notant entre parenthèse ces degrés de liberté de rotation ou de translation, on obtient la liste suivante :
Le plan (1R, 2T) La sphère (3R)
Le cylindre de révolution (1R, 1T)
La surface prismatique définie par une courbe plane génératrice et un vecteur directeur (1T)
La surface de révolution (1R)
La surface hélicoïdale définie par un pas et par une courbe plane soit dans un plan passant par l’axe (profil d’une vis par exemple) soit par un plan perpendiculaire à l’axe (profil d’une roue dentée hélicoïdale par exemple) (1translation conjuguée à une rotation).
La surface quelconque, qui n’appartient à aucun des types de surfaces définit précédemment, (0).
La plupart de ces surfaces comportent des paramètres intrinsèques. Par exemple, le diamètre dans le cas du cylindre de révolution ou de la sphère, l’angle pour un cône. Le plan n’a pas de paramètre intrinsèque.
4.4.1.1 Paramétrage de position et d’orientation relative
Soit un solide défini par une liste de surfaces élémentaires qui sont caractérisées par leurs paramètres intrinsèques. Le paramétrage de position consiste à positionner dans l’espace chacune d’elles par rapport aux autres par des paramètres angulaires et linéaires.
Certains déplacements peuvent laisser la surface invariante. Exemple, un cylindre de révolution est invariant lorsqu’on le translate ou on lui fait faire une rotation autour de son axe. Dans ce cas, on dit que la surface possède un ou des degrés d’invariance. On introduit le paramètre ki qui représente le nombre de degré de liberté ou nombre de degré d’invariance de la surface (i). Le nombre de paramètres nécessaires et suffisants pour placer la surface est par conséquent égal à (6 – ki).
Ces (6 – m) paramètres sont arbitraires car une pièce est définie par un mouvement de solide près. D’où le nombre de paramètres nécessaire et suffisant pour positionner entre elles, un groupe de surfaces :
Nb_par = ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤
∑
i (si + 6 – ki) – (6 – m) Où si est le nombre de paramètres intrinsèques.ki est le nombre de degrés de liberté de chaque entité du profil et m est le nombre de degrés de liberté de l’ensemble du profil. La somme étant étendue à toutes les surfaces du groupe considéré.
Équation 4-2
Cette formule générale est écrite dans le cas tridimensionnel, il est possible de la simplifier dans le cas bidimensionnel de la manière suivante :
Nb_par = ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤
∑
i (si + 3 – ki) – (3 – m) Où si est le nombre de paramètres intrinsèques.ki est le nombre de degrés de liberté de chaque entité du profil et m est le nombre de degrés de liberté de l’ensemble du profil
Équation 4-3
4.4.1.3 Paramètres implicites de la géométrie
Dans la plupart des cas, le nombre de paramètres nécessaires à la définition de la géométrie est bien inférieur au nombre de paramètres indépendants définis par l’équation 4-2.
Cela provient du fait que la position relative des surfaces n’est pas quelconque. Ainsi, des paramètres de distance ou d’angle sont égaux à des valeurs particulières (zéro par exemple). On peut alors considérer ces valeurs particulières comme des contraintes. Par exemple on peut parler d’axes concourants, d’axes coaxiaux, de plans parallèles ou perpendiculaires.
Dans certains cas, il est possible de définir des paramètres implicites comme c’est le cas des symétries. Des valeurs de paramètres sont alors liées par des relations telles que des égalités.
D’autres contraintes géométriques peuvent se traduire par des relations géométriques entre les paramètres intrinsèques et de position relative, comme dans le cas de tangence par exemple d’un plan et d’un cylindre. Par conséquent, on cherchera à les rendre explicites afin de pouvoir les mesurer.
4.4.1.4 Différentes solutions de paramétrage
Plusieurs possibilités existent pour positionner un repère par rapport à un autre. Il existe donc plusieurs paramétrages possibles. Supposons un repère lié au solide et un second lié à une surface quelconque. La définition de la position de ce second repère par rapport au premier peut s’effectuer classiquement par 6 paramètres correspondant à des translations et des rotations. On peut utiliser les coordonnées cartésiennes et les trois angles d’Euler. Mais d’autres combinaisons d’angles et de translations sont possibles. Il faut au moins une translation et trois angles.
Le profil est constitué de trois droites et d’un axe de symétrie, qui possèdent chacun un degré d’invariance, la translation selon la direction de la droite (figure 4-10). D’où :
Pour les droites : ki = 1 ; si = 0, on trouve :
Nb_par = 4 * ( 0 + 3 – 1) – (3 – 0 ) Nb_par = 4*2 – 3 = 5 Équation 4-4 θ2 θ3 L2 1 2 3 θ1 L1 Demi profil
Figure 4-10 : Paramètres identifiés par la formule générale.
L’angle θ1 positionne angulairement la droite 1, la longueur L1 détermine la position de la droite 2 ainsi que l’angle θ2 ; de même pour L2 et θ3 concernant le segment 3.
La formule développée s’applique dans le cas de l’étude de pièces volumiques tridimensionnelles ou de contours fermés bidimensionnels. Chacune des surfaces élémentaires s’intersectent. La pièce correspond alors au volume délimité par l’ensemble des surfaces et de leurs intersections. Dans l’étude de notre profil, le contour de la pièce n’est pas fermé, il sera nécessaire de rajouter des paramètres particuliers pour définir complètement la géométrie.
Par conséquent, il est nécessaire d’introduire un point particulier P pour déterminer la longueur du profil sur la droite 3.
θ2 θ3 L2 1 2 3 θ1 L1 L3 P Demi profil
Figure 4-11 : Paramètres nécessaire au paramétrage du profil.
Nous avons choisi de manière intuitive de piloter les angles entre les segments et l’axe horizontal et les longueurs de chacun des segments.
Il est possible d’utiliser un autre jeu de paramètres définissant la même géométrie. Sur la figure 4-12, nous proposons deux autres possibilités.
θ1 L2 L1 1 3 2 θ2 θ3 L3 X Y X1 Y1 X2 X3 Y2 Y3 Paramétrage a) Paramétrage b)
Figure 4-12 : Différents types de paramétrage possible.
Cas a) caractérisation du profil par des angles et distances ; Cas b) caractérisation par les coordonnées des points d'intersection de chacun des segments.
4.4.2 Détermination du nombre de paramètres par l’étude de la géométrie