2.5 Modélisation de la défaillance par fatigue des brasures
3.3.3 Formulation des lois de comportement non-linéaire
3.3.3.1 Formulation des lois de comportement
Dans le cadre des hypothèses simplificatrices, la partition de la déformation totale se fait entre une déformation élastique (réversible) et une déformation inélastique.
ε = εe+ εin (3.3)
La déformation inélastique (non réversible instantanément) correspond à l’ensemble des phénomènes physiques suivants :
1. déformation plastique instantanée, indépendante du temps, 2. déformation visco-plastique,
3. déformation inélastique ou à élasticité retardée.
La déformation plastique instantanée peut être supposée inexistante dans la description des observations expérimentales de fluage ou de relaxation. En revanche, celle-ci doit être prise en compte pour la compréhension des essais d’écrouissage lorsque des taux de
3.3. MODÉLISATION EF 99
contraintes élevés sont atteints. De plus, en configuration réelle, la géométrie de la bra- sure implique des zones dont le taux de contrainte dépasse le seuil d’écoulement. Une bonne représentation du comportement des bumps passe par l’intégration des phéno- mènes plastiques. Si l’on décide de rajouter une déformation plastique instantanée, on préfère employer une combinaison de l’écrouissage par la déformation et de l’écrouissage par le temps pour rendre compte de la superposition d’une déformation plastique dite instantanée et d’une déformation visco-plastique.
La déformation irréversible est donc considérée visco-plastique et l’hypothèse de par- tition s’écrit donc : ε = εe+ εin avec εe la déformation élastique linéaire, εin = εp + εv la
déformation non linéaire composée des contributions plastique et visqueuse.
Deux types de loi visco-plastique (loi de visco-plasticité parfaite et à écrouissage iso- trope) sont ici présentés ainsi que l’influence de la température sur ces lois.
1. Loi de visco-plasticité parfaite :
Cette loi est établie pour le fluage secondaire (pour un matériau isotrope avec des déformations visco-plastiques à volume constant). Elle correspond au cas d’un ma- tériau sans effet d’écrouissage ni de fluage primaire.
Une première manière est d’approximer le fluage secondaire par une loi puissance de type loi de Norton :
˙ εv = 3 2· σeq λy NY · σ 0 σeq (3.4) avec σ0 le déviateur des contraintes, λY et NY les coefficients matériaux.
Le domaine de validité de la loi de Norton est limité par [27] :
(a) La possibilité d’approximer les courbes de fluage par une droite : la loi constitue une meilleure approximation pour les matériaux dont la déformation de fluage primaire est faible en regard de la déformation au cours du fluage secondaire. (b) Approximation par une fonction puissance valable pour un domaine de vitesse
plus ou moins étendu.
(c) Le domaine de température où deux difficultés apparaissent pour de faibles températures :
– une faible viscosité qui conduit à des valeurs d’exposant N très élevées. – un fluage à caractère plutôt logarithmique (sans fluage secondaire réel).
La loi de Norton est essentiellement établie pour l’essai de fluage (contrainte constante) : elle ne donne généralement qu’une mauvaise approximation des courbes de traction en raison de la non prise en compte d’une augmentation de la vitesse de fluage pour les régions de fortes contraintes que la loi puissance ne peut suivre (“power law break- down”). L’avantage essentiel de la loi de Norton réside dans sa facilité d’intégration analytique qui se traduit pour des calculs de structures par la possibilité d’effectuer des analyses simplifiées et rapides.
D’autres lois font alors intervenir des termes supplémentaires afin de trouver une formulation capable de couvrir l’ensemble des taux de contraintes :
– des produits empiriques d’exponentielles et de fonction puissance (équation (3.5)) : ˙ εv = 3 2· σeq λ0 N0 · exp α0· σeqN0+1 · σ0 σeq (3.5) avec λ0, N0, α0 les coefficients matériaux. On retrouve la loi de visco-plasticité
parfaite lorsque l’exposant apparent de la loi de Norton diminue pour de faibles contraintes.
– un sinus hyperbolique (équation (3.6)) afin de pouvoir suivre l’évolution de la vitesse de fluage par rapport à la contrainte qui évolue plus vite sous de fortes contraintes : ˙ εv = 3 2· α1· (sinh (λ1 · σeq)) N1 σ 0 σeq (3.6) avec λ1, N1, α1 les coefficients matériaux.
2. Loi de visco-plasticité à écrouissage isotrope
On néglige toujours ici l’effet de restauration. Le fluage primaire et secondaire sont pris en compte.
(a) Loi d’écrouissage viscosité multiplicative
Les lois précédentes définissent une vitesse d’écoulement constante sous contrainte constante différente de zéro. Tout en conservant cette propriété, il est possible de représenter le durcissement en faisant intervenir une variable d’écrouissage dans l’expression de la vitesse de déformation visco-plastique.
Les différents résultats des essais d’écrouissage, fluage et relaxation peuvent être rassemblés dans une loi de comportement unidimensionnelle à trois paramètres pour les phénomènes de visco-plasticité à déformation monotone croissante ( ˙ε ≥ 0) : loi d’écrouissage viscosité.
Pour les trois essais on peut tracer les évolutions de εv et ˙εv et les représenter
dans un graphe (εv, ˙εv) paramétré en contrainte (figure (3.8)).
Relaxation Ecrouissage εv σ = cte ˙ εv F luage
Fig. 3.8 – Représentation des essais de fluage, relaxation et écrouissage dans l’espace des variables εv et ˙εv [53].
3.3. MODÉLISATION EF 101
Pour de nombreux matériaux un ensemble d’essais d’écrouissage, de fluage et de relaxation, à une température fixée définissent dans le plan ( εv, ˙εv ) des
iso-contraintes avec une marge d’incertitude qui ne dépasse pas la dispersion des mesures. Ceci prouve expérimentalement qu’une loi mécanique d’état : σ = f (εv, ˙εv) peut être définie dans le domaine de variation exploré des va-
riables εv et ˙εv.
Avec la loi d’élasticité linéaire, la loi d’écrouissage viscosité donne :
ε = εe+ εv (3.7)
σ = E · εv (3.8)
σ = K · ε1/Mv . ˙ε1/Nv (3.9) avec K, M et N les constantes matériaux fonctions de la température :
i. N : exposant de viscosité dont la valeur peut être de l’ordre de 2 pour les matériaux très visqueux et de 100 pour les matériaux peu visqueux, ii. M : exposant d’écrouissage qui varie de 2 à 50 environ,
iii. K : coefficient de résistance.
Cette loi écrite sous forme de produit de deux fonctions puissance permet de retrouver :
i. la loi d’écrouissage la plus simple utilisée dans le cadre de la plasticité, ii. la loi d’Andrade pour le fluage primaire,
iii. la loi pour le fluage secondaire. (b) Loi d’écrouissage viscosité additive
On considère un domaine d’élasticité dont la taille augmente au cours de la déformation. ˙v = σeq− β − κ Ka Na (3.10) σeq = κ + β (v) + Ka· ˙v 1 Na (3.11)
La variable d’écrouissage β dépend alors de la déformation visco-plastique cu- mulée. La relation entre β et v doit être choisie de façon à approcher correcte- ment les courbes d’écrouissage et de fluage primaire. Une relation simple utilise un terme linéaire et un terme exponentiel :
β = Q1· v + Q2· [1 − exp (−b · v)] (3.12)
Les coefficients Na, Ka, κ, Q1, Q2, b peuvent dépendre de la température. La
un patin à frottement sec, elle correspond à la contrainte à mettre en œuvre pour que la déformation inélastique puisse se produire. La relation de com- portement montre bien la décomposition de la contrainte en la somme d’un terme d’écrouissage représentant la taille actuelle du domaine d’élasticité et d’un terme de viscosité appelé contrainte visqueuse : σvis= Ka· ˙v
1 Na
D’autre part, lorsqu’un métal est mis en tension, la rupture intervient géné- ralement après de faibles élongations. Or pour les brasures, Pearson observe des taux de déformation pouvant atteindre 2000% sur les brasures SnPb eu- tectique [121]. Les mécanismes de fluage sont donc très différents sur la plage de déformation. Nous retrouvons une région à faible contrainte pilotée par des déformations super-plastiques, se référant à la déformation due au glissement aux joints de grains et une région à contrainte moyenne pilotée par la défor- mation de fluage de la matrice. Afin de formuler une relation capable d’établir une vitesse de fluage différente sur les deux domaines de contrainte, l’expres- sion semi-empirique suivante combinant deux approches par loi puissance peut être utilisée [164] : ˙ εv = 3 2 · σ0 σeq " σeq dpλ y1 NY1 + σeq λy2 NY2# (3.13) où NY1, λy1 sont les paramètres matériaux retranscrivant le comportement en
puissance dans les zones de contraintes basses et NY2, λy2 dans les zones de
fortes contraintes, d caractérisant la taille des grains et p un paramètre maté- riau.
(c) Domaine de validité des deux formulations
Les deux lois développées (forme multiplicative et forme additive) rendent bien compte de l’ensemble des résultats d’essais d’écrouissage, de relaxation et de fluage.
Le domaine de validité de ces deux lois est approximativement le même. Les limitations sont essentiellement les suivantes :
i. le domaine des vitesses de déformation est de 10−8 s−1 à 10−3 s−1 environ. Pour les faibles vitesses ( <10−8) l’exposant N évolue quelque fois avec la contrainte : on peut alors utiliser un terme exponentiel supplémentaire ou un sinus hyperbolique comme pour le cas de la loi de Norton ou introduire les effets de restauration (le modèle à écrouissage additif se prête mieux à l’introduction de tels effets),
ii. le domaine de déformation dépend des essais employés pour l’identifica- tion. D’une façon générale, le domaine de validité peut s’étendre pour des déformations comprises entre 10−4 et 2 à 4 · 10−2. Il peut être étendu à des valeurs plus importantes avec le modèle additif grâce au terme d’écrouis- sage linéaire.
iii. Les trois types d’essais (écrouissage relaxation fluage) peuvent être décrits correctement par les deux modèles sous réserve que les effets de temps (restauration) ne soient pas trop importants,
3.3. MODÉLISATION EF 103
iv. le modèle additif rend compte du fluage secondaire si le terme Q1εv est
négligeable (ou lorsque la restauration est introduite). Le fluage secon- daire est atteint lorsque le processus d’écrouissage représenté par β (εv)
est saturé. On trouve alors : ˙ εv = D σ−Q2−κ ka ENa .
Si σ < Q2 + κ, le fluage a un caractère logarithmique (pas de fluage se-
condaire proprement dit). Avec la loi à écrouissage multiplicatif, on peut retrouver le fluage secondaire directement.
3. Influence de la température :
Un moyen de rendre compte de cette influence est de considérer le fluage comme thermiquement activé. La vitesse de fluage est considérée comme proportionnelle au nombre de sources activées, supposé donné par la loi de probabilité de Maxwell. Si h est l’énergie associée à une source et si ∆H est l’énergie d’activation de chaque source : ˙ εv ≈ R∞ ∆H 1 k·T × exp − h k·T dh = exp ∆H
k·T définit une équivalence vitesse de fluage-
température représentée par le paramètre de Dorn [116] : ˙ εv · exp −∆H k · T (3.14) Malheureusement l’énergie d’activation ∆H varie avec la contrainte et la tempéra- ture si bien que cette écriture n’apporte pas de simplification par rapport au fait de considérer les coefficients K, M et N comme des fonctions de la température, sauf toutefois pour de faibles variations de cette dernière :
(a) si T0 < T (K) < T1 tel que
T1−T0 T1
≤ 5% l’exploitation de la formule ci- dessus permet de définir la loi d’écrouissage viscosité à une température T quelconque comprise entre T0 et T1, à partir de la valeur des coefficient K0,
M0, N0 déterminée à la température T0 et de la valeur de K1 déterminé à T1.
K = K T0 T1 K T1 T ·T0−T1T −T0 1 (3.15)
(b) sinon, il faut introduire les trois fonctions de la température K(T ), M (T ) et N (T ).