Exemple sur l’évaluation de la fiabilité d’une soudure SMC

Un autre exemple est fait sur l’évaluation d’une brasure SMC grâce au modèle ana- lytique de fatigue d’Engelmaier. L’objectif est ici de mettre en évidence la pertinence des indice de qualité R2_{, R}2 _{et Q}2 _{et l’emploi de la boucle d’itération de la procédure}

d’obtention de la surface de réponse.

L’exemple se fait sur l’étude d’un composant SMC (figure (4.7)) dont le calcul de la déformation à l’intérieur de la brasure peut se faire analytiquement par [46] :

∆γ = CLd hs

∆α∆T (4.15)

où C représente un facteur de correction empirique, Ldla dimension du demi-composant,

hsl’épaisseur de brasure, ∆α et ∆T respectivement la différence de CTE et de température

entre le composant et le substrat. La densité d’énergie dissipée au sein de la brasure est alors calculée par :

∆W = ∆γ.τ (4.16)

(a) Tirage aléatoire (9 évaluations) (b) Tirage avec plan optimisé (9 évaluations)

(c) Tirage jusqu’a Q2_{> .9}

Méthode Nombre d’appel Q2

non optimisée 9 0.39

optimisée 9 0.66

non optimisée+boucle 35 0.9

optimisée+boucle 25 0.9

Fig. 4.6 – Densité de la valeur de β en fonction de la méthode d’obtention du plan d’expérience. Ld hs Brasure Composant Substrat

4.2. SURFACE DE RÉPONSE ADAPTATIVE 143

où τ est la contrainte de cisaillement au sein de la brasure.

La loi de fatigue d’Engelmaier évalue le nombre de cycles avant défaillance pour ce cas de figure avec [149] :

Nf = (0.0015∆Wacc)−1 (4.17)

Les variables pour cet exemple sont représentées en tableau (4.1).

Variables C Ld hs ∆α ∆T τ Nfcible

type Gaussienne fixe Gaussienne fixe Gaussienne fixe Gaussienne

Moyenne .5 3 0.1 5.10−6 180 20 1000

Ecart-type .05 - 0.01 - 30 - 200

Tab. 4.1 – Variables prises en compte dans le calcul de la fiabilité du composant SMC.

La fonction d’état limite modélise la défaillance pour les composants n’atteignant pas un certain nombre de cycles Nfcible :

G(X) =  0.0015(CLd hs ∆α∆T ).τ ) −1

−Nfcible < 0 dans le domaine de défaillance (4.18)

L’évaluation du nombre de cycles avant défaillance pour des valeurs de variables aléa- toires prises à leur moyenne donne un nombre de cycles Nf = 2469. Une résolution du

problème de fiabilité a été effectuée sur ce modèle analytique par méthode FORM donnant un indice de fiabilité de β = 3.42 (Pf = 0.003). Ce calcul est suivi d’une résolution par

méthode de Monte-Carlo avec tirage d’importance autour du point de conception évalué par la méthode FORM. Le résultat donne une valeur de la probabilité de défaillance de 0.00027 équivalent à un indice de fiabilité de β = 3.46.

La véritable fonction de défaillance est ici non-linéaire par rapport aux paramètres. Supposons que cette fonction ne soit pas connue et provienne d’une sortie d’un calcul EF. Sans aucune information sur la forme de la réponse, nous décidons de l’approcher par une surface de réponse quadratique, ce qui représente 15 variables à identifier. Trois méthodes d’obtention du plan d’expérience sont ici utilisées : la méthode traditionnelle consistant à établir une grille sur le domaine (4 variables×5 niveaux/variable = 20 expériences) et, pour un même nombre de points, un tirage aléatoire des observations à réaliser suivant une distribution uniforme et un plan d’expérience avec optimisation. L’évaluation de la fonction d’état limite s’effectue en y ajoutant une variable aléatoire gaussienne N (0, 200). Les figures (4.8a) et (4.8b) décrivent respectivement la distribution de l’indice de fiabilité pour le cas où les points du plan d’expérience constituent une grille sur ±3 écart-type et la distribution avec tirage aléatoire. Les figures (4.8c et 4.8d) relèvent pour le plan aléatoire la distribution des indices de régression R2 et R2_{. Avec des valeurs extrêmement bonnes}

(a) Tirage avec une grille (b) Tirage aléatoire

(c) densité de R2 pour une passe (d) densité de R2 pour une passe

(e) Tirage avec plan optimisé (f) Tirage avec boucle

Fig. 4.8 – Densité de la valeur de β et R2 en fonction de la méthode d’obtention du plan d’expérience.

4.2. SURFACE DE RÉPONSE ADAPTATIVE 145

la qualité de la surface de réponse : nous observons d’une part une grande variabilité pour l’indice β et d’autre part une moyenne s’écartant fortement de la véritable valeur. Le fait d’optimiser le plan n’apporte d’ailleurs pas grand chose à ce niveau là. En revanche, la valeur de Q2 _{(variant entre −∞ et 0) est très médiocre pour ces plans et justifie donc}

le fait d’apporter des expériences supplémentaires pour l’évaluation des paramètres de la surface de réponse.

Deux nouveaux plans d’expérience (aléatoire et optimisé) sont alors réalisés dans lesquels nous ajoutons un nombre suffisant d’expériences afin d’atteindre un indicateur Q2 _{> 0.90. L’indice de fiabilité voit alors sa dispersion chuter et surtout retrouver une}

moyenne µβ = 3.23 se rapprochant de la véritable valeur.

Une répétition de la procédure d’obtention de la surface de réponse autour du point de conception présumé est faite et le résultat sur la densité de l’indice de fiabilité β est représenté en figure (4.6f). Nous observons alors une dégradation de l’indice de qualité Q2 _{pour un même nombre d’observations et moyenne µ}

β = 2.7 qui s’éloigne de la véri-

table valeur ainsi qu’une dispersion σβ = 0.77 plus forte que pour la première itération.

Ceci s’explique par le fait qu’autour du point de conception, l’influence du bruit sur la fonction d’état limite est plus importante. Les plans d’expérience possédant des points plus rapprochés perdent alors de leur qualité. L’itération de la surface de réponse n’est alors pas toujours nécessaire. Une nouvelle règle est définie dans l’algorithme qui arrête le processus lorsqu’il existe une perte de qualité dans la surface de réponse :

“tant que Q2 _{< Q}2

loop
et Q2m−1 < Q2m
faire :”

4.2.3.3 Exemple sur deux variables avec appel au code EF

Un exemple est pris avec 2 variables aléatoires de base pour l’évaluation de la fiabilité. Les deux variables aléatoires considérées en entrée du modèle suivent une loi log-normale et sont le coefficient de dilatation x1 = CT ESn/Ag = LN (2.10−5, 1.10−6) et le terme de

puissance de la loi de comportement x2 = n = LN (11, 0.2). L’intérêt de ce cas réside

dans le fait que le comportement réel de la sortie du modèle mécanique est fortement conditionné par le comportement exponentiel de la variable n, les réponses de surface quadratique ne peuvent trouver une formulation fidèle sur l’ensemble du domaine (figure (4.9)). Le fait d’itérer la régression permet d’approcher la solution rapidement et d’évaluer le point de conception précisément. A la fin de l’approche, les points expérimentaux sont correctement approchés par la forme quadratique, le comportement exponentiel n’étant plus visible (figure (4.10)). La mesure Q2 atteint alors la valeur de 0.98. Le calcul des sensibilités ainsi qu’une solution SORM fonctionne avec une bonne précision puisque dans les deux cas, ils sont estimés à partir de la localisation du point de conception et des points aux alentours. Le cas exposé ici présente une forte non linéarité au nombre de cycles pris avant défaillance mais probablement erronée puisque la régression n’est valable qu’autour du point de conception (figure (4.10)). Les méthodes FORM direct et surface de réponse ainsi que SORM auront du mal à la prendre en compte et seule la méthode de Monte Carlo pourra la mettre en évidence. Les gains en temps ne sont pas comparables puisque même dans un contexte parallèle, la méthode FORM traditionnelle prend 24 itérations, soit 48 unités de temps de calcul (les gradients étant évalués en même temps et l’évaluation du pas d’avance pour algorithme iHLRF étant aussi parallélisée). La méthode par surface

de réponse est faite en 4 unités sur un cluster de 10 noeuds (20 appels pour obtenir un coefficient Q2 _{acceptable et 2 itérations $ Pour un nombre de variables important, avec}

différentiation par différences finies centrées ou dans des algorithmes d’optimisation de degré supérieur, la méthode FORM directe peut tout de même être intéressante puisque la charge du cluster est alors mieux optimisée lors du calcul des gradients.

Fig. 4.9 – Surface de réponse pour la première itération.

L’indice de fiabilité ainsi que le point de conception dans l’espace physique représentés dans le tableau (4.2) pour les deux méthodes sont pratiquement identiques. Ceci prouve la capacité de l’algorithme à trouver le bon point de conception et à correctement évaluer les sensibilités en itérant la boucle de calcul.

FORM direct Surface de réponse adaptative

βHL 2.73 2.66

P∗ 2.13e − 05 13.6

2.16 − 05 13.3