1.5 Conclusion
2.1.4 Fluctuations angulaires du pendule de torsion
Le miroir utilis´e dans la mesure du bruit de l’interf´erom`etre est remplac´e par le pendule de torsion (figure 2.8). Les deux faisceaux viennent se r´efl´echir sur le miroir recouvert de la fine pellicule d’or. La diff´erence de chemin optique δL entre les deux faisceaux est proportionnelle `a l’angle de torsion θ ; la variance des fluctuations ´etant de 3 nrad, on est bien ´evidemment dans la limite des petits angles. Le d´ephasage est ainsi proportionnel `a l’angle θ.
Φ = 2π
λ n2δL = 2π
λ n2θd , (2.27) o`u n est l’indice optique du milieu dans lequel se trouve le penduleg. En terme d’angle, le bruit de fond de l’interf´erom`etre pour le m´elange eau-glyc´erol est de ˆθfond = ˆδLfond/d =∼ 4×10−12rad/√
Hz. Il y a quasiment un ordre de grandeur d’´ecart par rapport `a la valeur du spectre des fluctuations angulaires `a basse fr´equence donn´e dans la partie 2.1.2 ; ceci justifie l’utilisation de l’interf´erom`etre pour les mesures du bruit thermique de l’oscillateur harmonique. Le d´eplacement que nous souhai-tons mesurer est de l’ordre de 24 pm et est inf´erieur `a la taille d’un atome. Il est donc logique de
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Fig. 2.8 – Sch´ema de la mesure du bruit de fond de l’interf´erom`etre et des fluctuations thermiques du pendule de torsion. Le faisceau ´emergeant est divis´e en deux faisceaux parall`eles de polarisations orthogonales s´epar´es d’une distance d = 4 mm. Ces faisceaux se r´efl´echissent ensuite sur un miroir. Une diff´erence de chemin optique δL existe entre les deux faisceaux responsable d’un d´ephasage Φ. Ce miroir est dans un premier temps un miroir fixe permettant de mesurer le bruit de fond de l’interf´erom`etre. Dans un deuxi`eme temps, le miroir est celui fix´e sur la baguette de laiton : les fluctuations du d´ephasage Φ sont alors proportionnelles aux fluctuations angulaires δθ.
s’interroger sur l’influence de la m´ecanique quantique sur ce syst`eme. Cependant la mesure n’est pas r´ealis´ee sur un seul atome, mais sur la section du faisceau laser se r´efl´echissant sur le miroir, c’est-`a-dire Sfaisceau ∼ 1 mm, ce qui correspond `a une moyenne sur 1012 atomes environ. Il en est de mˆeme pour l’influence de la rugosit´e du miroirh.
La figure 2.9 montre trois spectres : le bruit de fond de l’interf´erom`etre, le spectre de fluctuations de l’oscillateur dans l’air et le spectre de fluctuations de l’oscillateur dans le m´elange eau-glyc´erol. La pr´esence du fluide modifie la fr´equence de r´esonance et la diminue d’un facteur relativement important (environ 2/3) : c’est l’effet de masse ajout´ee. Ces deux spectres sont, comme attendu, sup´erieurs au bruit de fond de l’interf´erom`etre d’environ un ordre de grandeur : les seules fluctua-tions visibles sont ainsi les fluctuafluctua-tions angulaires du pendule. La forme lorentzienne du spectre indique que la mod´elisation du pendule de torsion par un oscillateur harmonique est ad´equate. La principale diff´erence entre ces deux spectres est le comportement visco´elastique. `A basse fr´equence, celui-ci se traduit par l’observation d’une d´ecroissance du spectre en f−1/2. Celle-ci est plus mar-qu´ee pour le pendule dans l’air que dans l’eau. En effet, l’ajout du fluide augmente la dissipation visqueuse. La visco´elasticit´e devient alors seulement visible en dessous de 3 Hz pour le pendule immerg´e et sera n´eglig´ee dans la mod´elisation.
D’un spectre, il est simple de d´eduire la fr´equence de r´esonance du pendule f0 = 217 Hz dans le fluide. La dynamique du syst`eme est impos´ee par le voisinage du pic de r´esonance ; nous allons ainsi filtrer passe-bas le signal au-del`a de 500 Hz et passe-haut `a une fr´equence de 1 Hz. Le bruit de mesure sur cette bande de fr´equence a une amplitude de 9 10−11rad et l’amplitude des fluctuations
hPour de la silice, la hauteur maximale d’un pic de rugosit´e est inf´erieure `a 10 nm. La moyenne est r´ealis´ee sur un grand nombre d’´el´ements ind´ependants car la section du faisceau divis´ee par la surface d’un pic est sup´erieur de 106. L’erreur sur la diff´erence de marche est donc inf´erieure `a 10−2pm.
Fig. 2.9 – Spectre en amplitude. La ligne de base situ´ee aux alentours de 8 · 10−14 m/Hz1/2 repr´e-sente le bruit de fond de l’interf´erom`etre. Les deux autres courbes comparent les comportements du pendule de torsion plac´e dans l’air ou dans un fluide visqueux. Les deux spectres sont un ordre de grandeur au-dessus de la ligne de base, les fluctuations mesur´ees par l’interf´erom`etre correspondent ainsi uniquement aux fluctuations angulaires du pendule de torsion. Le comportement visco´elas-tique est visible jusqu’`a plus haute fr´equence pour le pendule dans l’air que pour le pendule immerg´e. La diff´erence entre les fr´equences de r´esonance correspond `a la diff´erence de correction apport´ee au moment d’inertie par le fluide d´eplac´e (correction plus importante dans le cas immerg´e dans un fluide que dans le cas air).
Fig.2.10 – Fonction d’auto-corr´elation des fluctuations. Celle-ci oscille `a une fr´equence voisine de 217 Hz, qui est la fr´equence de r´esonance du pendule. La d´ecroissance exponentielle de l’amplitude donne le temps de relaxation du syst`eme, soit τα = 9.5 ms.
angulaires est de l’ordre de 3 nrad. La raideur est donn´ee par la variance des fluctuations angulaires C = kBT /σ2
δθ = 4.65 · 10−4 N.m.rad−1 (´equipartition de l’´energie) ; les erreurs sur la mesure de C sont donc inf´erieures `a 3 %. Le temps de relaxation peut ˆetre d´etermin´e en calculant la fonction d’auto-corr´elation Cθ(τ ) = hθ(t + τ)θ(t)i du syst`eme (figure 2.10). Celle-ci est une fonction sinuso¨ı-dale amortie de fr´equence voisine f0. Le temps de d´ecroissance de l’amplitude de Cθ(τ ) est ´egal au temps de relaxation du syst`eme, c’est-`a-dire τα = 9.5 ms. Nous avons ainsi enti`erement caract´eris´e le pendule de torsion comme un oscillateur harmonique soumis `a des fluctuations thermiques. Une fois le syst`eme relax´e, il est `a l’´equilibre. Nous allons d´esormais ´etudier le comportement du pendule de torsion lorsque celui-ci est soumis `a une contrainte, et ainsi port´e hors de son ´etat d’´equilibre via l’ajout d’un couple externe.