5.3 Distributions de probabilit´e
5.3.3 Effet du filtrage
d’o`u γ−1 = −√a = −π2 " 1 + Neff 2π 2#1/2 ∼ −π2 " 1 + 1 2 Neff 2π 2# , (5.19) dans le cas o`u Neff/2π reste petit devant 1. La d´ependance de a obtenue en termes de Neff est donc proche de celle obtenue exp´erimentalement, cependant les coefficients exacts d´ependent du syst`eme.
Ainsi si on augmente l’´epaisseur de la cellule, comme la longueur de corr´elation augmente avec l’´epaisseur de la cellule, pour une mˆeme valeur de ǫ, le nombre de degr´es de libert´e effectifs d´ecroˆıt avec l’´epaisseur de la cellule. Le caract`ere non-gaussien sera donc visible pour de plus grandes valeurs de ǫ. Nos mesures sur la cellule plus ´epaisse semblent ˆetre en accord avec cette remarque. Toutefois nous nous sommes alors heurt´es `a un second probl`eme. Si en prenant une cellule plus large, on augmente la longueur de corr´elation, on augmente ´egalement le temps de relaxation (proportionnel `a L2). La mesure doit alors ˆetre r´ealis´ee sur des dur´ees beaucoup plus longues si l’on veut esp´erer r´esoudre correctement la distribution. De plus, il est n´ecessaire de r´esoudre les fluctuations jusqu’`a des fr´equences beaucoup plus basses. On va ainsi atteindre les limites de r´esolution de notre syst`eme. La cellule de 6.6 µm fut donc le meilleur compromis pour r´ealiser la mesure.
5.3.3 Effet du filtrage
Comme nous venons de le voir, pour une cellule plus ´epaisse, la fr´equence de coupure du spectre lorentzien diminue et il est ainsi plus difficile avec notre fr´equence de filtrage d’observer les distri-butions Gumbel G´en´eralis´ee. Cette remarque sugg`ere alors une d´ependance de la distribution avec le nombre de modes lents, c’est-`a-dire le nombre de petites fr´equences que nous laissons passer par
filtrage passe-haut. Les mesures r´ealis´ees jusqu’`a pr´esent sur la transition de Fr´eedericksz n’avaient pas pu mettre en ´evidence cet effet. Une explication est la limite de r´esolution `a basse fr´equence que nous avons fortement am´elior´ee dans notre syst`eme de mesure par rapport aux exp´eriences rapport´ees dans la litt´erature. Sur la figure 5.11, nous avons repr´esent´e l’´evolution de la distribu-tion de ζ en foncdistribu-tion de diff´erentes fr´equences de filtrage. Nous voyons que lorsque la fr´equence de filtrage augmente, la distribution perd de plus en plus sa nature non gaussienne. Nous avons trac´e sur la figure 5.12, l’´evolution de la skewness en fonction de la fr´equence de filtrage. Les modes lents sont ceux qui sont responsables du comportement non-gaussien, le caract`ere gaussien ´etant retrouv´e lorsque fHP > 10fc ≈ 0.1 Hz. Ces r´esultats exp´erimentaux indiquent que ce sont les modes lents, de fr´equence inf´erieure `a la fr´equence de coupure qui sont responsables du caract`ere non-gaussien de la distribution. Une telle courbe justifie ´egalement la difficult´e d’observer ce type de distribution pour des cellules plus ´epaisses. Comme leur temps de relaxation varie en L2, la fr´equence de coupure du spectre des fluctuations diminue ´enorm´ement. On sort ainsi assez rapi-dement du domaine de r´esolution fr´equentielle de notre exp´erience. Notre ´etude se porte sur des effets temporels. Une ´etude similaire th´eorique a ´et´e men´ee sur le filtrage spatial o`u il est montr´e que ce sont les modes de grandes longueurs d’onde qui sont responsables du caract`ere non-gaussien de la distribution [88, 78].
L’inverse de la skewness, γ−1, ´evolue quant `a lui lin´eairement avec la fr´equence du filtrage (voir figure 5.12b) c’est-`a-dire :
γ−1 = p1+ q1
fHP
fc
(5.20) D’apr`es la th´eorie de champ moyen, il existe une relation temps-espaces :
τr ∝ ǫ ∝ ξ2 (5.21) Lorsque l’on supprime les basses fr´equences, nous supprimons ´egalement, d’apr`es l’expression th´eo-rique du spectre des fluctuations, les grandes longueurs d’onde. On diminue ainsi par le filtrage la longueur de corr´elation du syst`eme : ξ ∝ 1/fHP1/2. Le nombre de degr´es de libert´e effectifs va donc augmenter tel que : Neff ∝ fHP1/2. Par cette analogie simple tir´ee de l’approche de champ moyen, nous retrouvons une loi lin´eaire en N2
eff.
5.4 Conclusion
Notre ´etude pr´esent´ee ici propose la mesure du param`etre d’ordre lors de la transition de Fr´eedericksz, bifurcation supercritique analogue `a une transition de phase du second ordre. Notre protocole exp´erimental nous permet d’obtenir une tr`es bonne r´esolution jusqu’`a de tr`es basses fr´equences, am´eliorant ainsi les mesures existantes `a ce jour sur ce syst`eme. Nous avons ´etudi´e la statistique des fluctuations du param`etre d’ordre lorsque l’on se rapproche du point critique. La distribution s’´eloigne notablement d’une gaussienne. Nous avons mod´elis´e cette distribution par une distribution Gumbel G´en´eralis´ee par analogie avec les ´etudes existantes `a ce jour sur les transitions de phase du second ordre dans le mod`ele XY. L’interpr´etation de cette distribution peut ˆetre faite en termes de degr´es de libert´e effectifs. Il est important pour finir de souligner que ce sont les modes lents qui sont responsables de ce caract`ere non gaussien.
Il reste toutefois des questions en suspens. Il serait int´eressant de r´ealiser une mesure plus quan-titative de a en fonction du diam`etre du faisceau pour confirmer par une seconde m´ethode notre approche. Nous pouvons ´egalement nous questionner sur les valeurs reliant a au nombre de degr´es de libert´e effectifs : peut-on pr´edire leur valeur ? Quelle en est l’interpr´etation ? Il faudrait pour
Fig. 5.11 – Distributions de y filtr´e passe-haut `a des fr´equences de 2 mHz (◦), 30 mHz () et 0.1 Hz (×).
Fig.5.12 – a) ´Evolution de la skewness, γ, en fonction de la fr´equence du filtre passe-haut appliqu´e, fHP/fc. b) ´Evolution de l’inverse de γ en fonction de fHP/fc.
cela modifier diff´erents param`etres du cristal liquide pour d´eterminer lesquels interviennent. Pour finir que se passe-t-il pour la distribution lorsque la longueur de corr´elation d´epasse le diam`etre du faisceau ? Cela permettrait de r´ealiser la mesure `a l’int´erieur d’un domaine unique et d’en d´e-duire la distribution. Cela pourrait correspondre `a une seconde limite pour la distribution Gumbel G´en´eralis´ee, c’est-`a-dire que la distribution mesur´ee s’´eloignerait du mod`ele sans se rapproche, a priori, d’une gaussienne.
Vieillissement au point critique
Apr`es nous ˆetre int´eress´es `a la statistique des fluctuations du param`etre d’ordre au voisinage d’un point critique, nous allons ´etudier sa dynamique, ou plus pr´ecis´ement, sa relaxation au point critique. Ce travail est inspir´e de diff´erents travaux th´eoriques existant sur ce sujet concernant le mod`ele XY [100, 101, 102, 103]. Comme nous l’avons montr´e pr´ec´edemment, le temps de relaxation du param`etre d’ordre diverge lorsque l’´ecart au seuil diminue. Ainsi si un op´erateur externe r´ealise une trempe au point critique, c’est-`a-dire en faisant passer instantan´ement le param`etre de contrˆole d’une valeur de ǫ > 0 `a une valeur de ǫ = 0, la relaxation du param`etre d’ordre ne sera plus exponentielle mais alg´ebrique. Le syst`eme sera alors dans un ´etat transitoire hors-´equilibre. Dans cette situation, les propri´et´es physiques du syst`eme peuvent ´evoluer dans le temps. Ce ph´enom`ene est appel´e ”vieillissement”. Cette d´enomination est utilis´ee par analogie avec les ph´enom`enes de transition vitreuse o`u la dynamique est extrˆemement lente [66].