Nous allons d´esormais consid´erer le syst`eme dans un ´etat transitoire : le syst`eme est `a l’´equilibre jusqu’`a t = 0. Pour t > 0, on lui applique un couple externe lin´eaire en temps qui le porte hors de son ´etat d’´equilibre (figure 2.17a) :
M(t) = 0 t < 0
M0
τr t t ≥ 0 , (2.44) avec M0 = 11.28 pN.m et τr = 0.1 s = 10.52 τα. Cette valeur de M0 est choisie telle que la r´eponse moyenne de l’oscillateur soit de l’ordre de grandeur des fluctuations (figure 2.17b). Ce motif est r´ep´et´e un grand nombre de fois (environ 105) : les statistiques sont ainsi des statistiques
Fig.2.16 – a) Distribution de la puissance instantan´ee fournie au syst`eme PWτ : la distribution est une gaussienne de moyenne nulle. b) Distribution de la puissance instantan´ee dissip´ee PQτ sans for¸cage () et en pr´esence d’un couple constant M0 (◦).
Fig. 2.17 – a) Couple externe exerc´e sur l’oscillateur. b) R´eponse du syst`eme `a ce couple (ligne grise). La r´eponse moyenne sur l’ensemble des r´ealisations est repr´esent´ee par la ligne noire. d’ensemble. C’est en particulier le cas pour la moyenne de la position angulaire (figure 2.17b). Dans toute cette partie, les quantit´es seront ´etudi´ees `a partir de ti = 0. Le travail s’´ecrira donc :
Wτ = 1 kBT Z τ 0 M(t′)dθ dt(t ′)dt′. (2.45)
2.3.1 Valeurs moyennes
Nous commen¸cons par discuter les valeurs moyennes de la puissance inject´ee au syst`eme (hτ−1W (τ )i), du taux de variation d’´energie interne (hτ−1∆Uτi) et de la puissance dissip´ee par le syst`eme (hτ−1Qτi). Ces quantit´es sont repr´esent´ees en fonction du temps d’int´egration τ sur la figure 2.18a.
hτ−1W (τ )i et hτ−1∆Uτi sont lin´eaires en temps d`es que τ est sup´erieur au temps de relaxation τα. Quand τ /τα est plus petit que 1, ces deux quantit´es oscillent autour d’un comportement lin´eaire. La moyenne du travail fourni au syst`eme est ainsi quadratique en temps et atteint la valeur de 33 kBT pour τ = τr. La puissance dissip´ee est la diff´erence entre la puissance fournie et le taux de variation d’´energie interne (´equation 2.35 divis´ee par τ ). Comme hτ−1Wτi est sup´erieur `a hτ−1∆Uτi pour tout temps d’int´egration τ , hQτi est positif comme attendu par le second principe de la
thermodynamique. Lorsque τ > τα, la puissance dissip´ee est constante et ´egale `a quelques kBT /s puisque hτ−1W (τ )i et hτ−1∆Uτi ont la mˆeme pente. En r´esum´e, le travail fourni au syst`eme est utilis´e pour augmenter son ´energie interne mais une petite partie de cette ´energie est perdue `a taux constant par la dissipation visqueuse et les ´echanges ´energ´etiques avec le thermostat. Nous retrouvons ainsi les r´esultats classiques de la physique macroscopique.
2.3.2 Fluctuations du travail
Nous consid´erons le travail divis´e par sa valeur moyenne wτ ≡ Wτ/hWτi. Les distributions du travail sont trac´ees sur la figure 2.18b pour quatre valeurs caract´eristiques de τ : le premier temps est petit devant le temps de relaxation, et le dernier ´egal `a cinq fois le temps de relaxation. Les r´esultats peuvent ˆetre ´etendus aux autres valeurs de τ . Les distributions de wτ sont gaussiennes quel que soit τ . Lorsque τ augmente, la variance de wτ diminue et la probabilit´e d’observer des ´ev´enements n´egatifs va donc d´ecroˆıtre. Les fonctions de sym´etrie Φ(wτ) sont obtenues `a partir des distributions de wτ et trac´ees sur la figure 2.18c :
Φ(wτ) ≡ 1 hWτiln
p(wτ)
p(−wτ). (2.46) Quelle que soit la valeur de τ , les fonctions de sym´etrie se superposent sur une seule et mˆeme droite de pente 1. Durant un for¸cage lin´eaire en temps, les fluctuations du travail fourni au syst`eme vont ainsi satisfaire un Th´eor`eme de Fluctuation Transitoire :
Φ(wτ) = wτ soit p(Wτ)
p(−Wτ) = exp(Wτ)
pour tout temps τ et pour toute amplitude Wτ. (2.47) Ce r´esultat est valable pour diff´erentes valeurs de M0 et τr.
2.3.3 Fluctuations de la chaleur
Les distributions de τ−1∆Uτ sont repr´esent´ees sur la figure 2.18d : elles ne sont pas sym´etriques autour de la valeur moyenne et leurs ailes ont un comportement exponentiel. Toutefois la distri-bution du taux de variation d’´energie interne tend vers une gaussienne pour des grandes valeurs de τ . En d´ecomposant θ en une partie moyenne et une partie fluctuante (θ(t) = hθ(t)i + δθ(t)), l’expression de la variation d’´energie interne s’´ecrit de mˆeme :
∆Uτ ∝ Chθ(τ)i2 | {z }
partie moyenne
+ Cδθ(τ )hθ(τ)i + Ih ˙θi∆δ ˙θ | {z }
fluctuations de distribution gaussienne
+ C∆δθ2+ I∆δ ˙θ2 | {z }
fluctuations de distribution exponentielle
. (2.48) Comme le terme hθ(τ)i augmente avec τ, la partie gaussienne est de plus en plus importante devant la partie exponentielle et donc seule la gaussienne est visible exp´erimentalement.
Sur la figure 2.18e, nous avons trac´e les distributions de la chaleur dissip´ee qτ ≡ Qτ/hQτi pour les mˆemes valeurs de temps que celles de τ−1∆Uτ : elles ont une allure qualitativement diff´erentes de celles du travail fourni au syst`eme. En effet, il est clair que les distributions de qτ ne sont pas gaussiennes ; les ´ev´enements extrˆemes sont distribu´es suivant une allure exponentielle. Cette allure peut s’interpr´eter en observant que les ailes des distributions de ∆Uτ sont exponentielles et
Fig. 2.18 – a) Valeurs moyennes de τ−1Wτ (◦), de τ−1∆Uτ () et de τ−1Qτ (⋄). b) Distributions du travail wτ = Wτ/hWτi pour diff´erentes valeurs de τ/τα : 0.31 (◦), 1.015 (), 2.09 (⋄) et 4.97 (×). c) Fonctions de sym´etrie Φ(wτ) pour les mˆemes valeurs de τ /τα. La ligne continue est une droite de pente 1. d) Distributions de τ−1∆Uτ pour deux valeurs de τ /τα : 4.97 (◦) et 8,96 (). e) Distributions de la chaleur dissip´ee qτ = Qτ/hQτi pour les deux mˆemes valeurs de τ/τα. Les lignes continues sont les mod´elisations gaussiennes de ces distributions. f ) Fonctions de sym´etrie Φ(qτ) trac´ees pour les mˆemes valeurs de τ /τα. La ligne continue est une droite de pente 1.
que Qτ = −∆Uτ + Wτ. Pour finir, la variance de qτ est tr`es grande devant 1 ; ainsi, obtenir une bonne r´esolution de la distribution est difficile et n´ecessite un tr`es long temps d’acquisition : nous avons moyenn´e sur 105 cycles et ce n’est pas suffisant pour caract´eriser correctement `a la fois les ´ev´enements proches de z´ero et les ´ev´enements extrˆemes.
Les fonctions de sym´etrie Φ(qτ) sont repr´esent´ees sur la figure 2.18f pour les mˆemes temps d’int´egration. Seul le comportement des ´ev´enements extrˆemes peut ˆetre analys´e puisque la variance des distributions est grande devant la moyenne σwτ ≫ 1. Les fonctions de sym´etrie ne sont pas proportionnelles `a qτ, ainsi la relation de fluctuation transitoire n’est pas satisfaite `a temps fini. En tenant compte de la r´esolution exp´erimentale, Φ(qτ) est constant pour les ´ev´enements larges et de valeur 2. Ce comportement s’explique bien en ´ecrivant que pour qτ ≫ 1, p(qτ) = A±exp(−α±|qτ|) o`u α+ et α− sont les taux de d´ecroissance des ailes exponentielles. Tous les coefficients sont bien entendu d´ependants de τ . Une expression simple de la fonction de sym´etrie est ainsi obtenue pour les ´ev´enements tels que Qτ ≫ hQτi :
Φ(qτ) = (α+− α−)qτ + 1 hQτiln A+ A−