Description et mod´elisation de l’oscillateur

Le syst`eme d’´etude est un pendule de torsion macroscopique sensible aux fluctuations ther-miques (figure 2.1 a). Cet oscillateur, sch´ematis´e sur la figure 2.2, est compos´e d’un miroir de silice recouvert d’une fine couche d’or et coll´e au centre d’une tige de laiton. Les dimensions typiques du pendule sont donn´ees dans le tableau 2.1.

Baguette de laiton Miroir de silice lw dw ew lm dm em

4 mm 0.5 mm 50 µm 2 mm 8 mm 1 mm Tab.2.1 – Dimensions du pendule de torsion.

L’ensemble ainsi constitu´e { baguette–miroir } est encastr´e par ses deux extr´emit´es puis im-merg´e dans un m´elange eau-glyc´erol de concentration massique en glyc´erol 60% (voir figure 2.1b) . Dans la partie 2.1.2, nous justifierons le choix du fluide et des dimensions du syst`eme. On s’int´eresse `a la rotation du miroir caus´ee par le bruit thermique. D’apr`es le th´eor`eme du moment cin´etique, la mod´elisation fait apparaˆıtre la constante de torsion C et le moment d’inertie Ieff. Nous allons estimer ces deux param`etres pour justifier le choix des dimensions du pendule. Il est n´ecessaire pour une ´etude quantitative d’identifier les diff´erentes sources de dissipation et en particulier le coefficient de frottement visqueux du fluide.

Raideur du pendule

Lorsque le miroir pivote d’un angle θ autour de son axe, la baguette exerce un couple de rappel ´elastique Mel = Cθ. L’expression de la constante de torsion C est obtenue par la th´eorie de

l’´elasticit´e (page 64 de [60]) : C = ^µdwe 3 w 3 × 2 × lw , (2.1)

o`u µ est le coefficient de Lam´e du mat´eriau utilis´e : µ = E/2(1 + σ) ; E est le module de Young du mat´eriau et σ son coefficient de Poissona. La valeur de la raideur de la tige est de l’ordre de :

C ∼ 10⁻⁴ N.m.rad⁻¹. (2.2) Moment d’inertie

Pour d´ecrire l’acc´el´eration angulaire ¨θ du pendule de torsion, il est n´ecessaire tout d’abord d’introduire son moment d’inertie :

Ipendule = Imiroir+ Ibaguette = ^mm 12 ^(d 2 m+ e²_m) + ^mw 12 ^(d 2 w+ e²_w) . (2.3) Ipendule est essentiellement domin´e par celui du miroirb et sa valeur est voisine de :

Ipendule ∼ 2 · 10⁻¹⁰ kg.m². (2.4)

Ceci n’est toutefois pas exact dans un fluide. En effet pour mettre l’oscillateur en mouvement, il est n´ecessaire de d´eplacer du fluide. Un effet de masse ajout´ee est donc `a prendre en compte. Lamb effectue ce calcul dans le cas d’un solide de section elliptique en rotation `a la vitesse ˙θ autour de son axe ; l’´ecoulement engendr´e par ce mouvement est suppos´e bidimensionnel, incompressible et irrotationnel (pages 86-88 de la r´ef´erence [61]). L’´energie cin´etique par unit´e de longueur du fluide T /l s’´ecrit alors : T l ⁼ 1 16^πρf(a 2 − b²)²˙θ2, (2.5) o`u a et b repr´esentent les longueurs des demi-axes de l’ellipse. La section de notre pendule de torsion est un rectangle allong´e (dm ≫ em). En le d´ecrivant comme une ellipse de demi-axe a = dm/2 et b = em/2, nous obtenons un ordre de grandeur de l’´energie cin´etique de l’´ecoulement engendr´e par la rotation du pendule (le fluide est suppos´e ne se d´eplacer que sur la longueur lm) :

T = ¹ 2  1 128^πρflmd 4 m  ˙θ2 = ¹ 2^If ˙θ2. (2.6) L’effet de masse ajout´ee est du mˆeme ordre de grandeur que l’inertie seule du pendule (If ∼ 2 · 10−10 kg.m2)c. L’acc´el´eration du syst`eme est ainsi d´ecrite en utilisant un moment d’inertie effectif I_eff, somme du moment d’inertie du pendule de torsion et de celui du fluide d´eplac´e :

Ieff = Ipendule+ If ∼ 4 · 10⁻¹⁰ kg.m². (2.7)

aPour le laiton, E = 110 GPa et σ = 0.35.

bMasse volumique de la silice ρsilice= 2270 kg.m−3 et du laiton ρlaiton= 8400 kg.m−3. cMasse volumique du fluide ρfluide= 1153 kg.m−3.

Dissipation

La description du syst`eme est compl´et´ee par la d´etermination du couple de frottement tradui-sant les sources de dissipation et d’amortissement. Celles-ci sont de deux types : la dissipation par frottements visqueux due au fluide environnant et la visco´elasticit´e du mat´eriau (baguette en laiton). Le couple de frottement Mfrottement s’´ecrit alors :

Mfrottement(t) = −ν ˙θ(t) + Z t

−∞G(t − t^′) ˙θ(t^′)dt^′, (2.8) o`u ν est un coefficient de frottement visqueux, ˙θ la vitesse angulaire du pendule et G(t − t′) un terme m´emoire traduisant la visco´elasticit´e (voir chapitre 6 de [62]). L’expression de G(t − t′) est compliqu´ee dans le domaine temporel mais prend une forme simple dans le domaine fr´equentiel. La transform´ee de Fourier du couple de frottement s’´ecrit donc :

ˆ

Mfrottement(f ) = 2πiνf + iC^′′. (2.9)

L’effet de visco´elasticit´e est ainsi mod´elis´e par une constante de raideur complexe C = C^′ + iC^′′, c’est-`a-dire par l’ajout d’une partie imaginaire dans le module d’Young E = E′ + iE′′. La valeur du facteur de perte tan δ = E′/E′′ est tabul´ee pour diff´erents m´etauxd.

Nous allons ensuite estimer le coefficient de frottement visqueux. Pour une sph`ere de rayon R en rotation autour d’un de ses axes `a la vitesse Ω dans un fluide de viscosit´e η `a bas nombre de Reynolds, le couple exerc´e par le fluide sur la sph`ere s’exprime comme (page 130 de [62]) :

M_visqueux = 8πηR³Ω = 2SηRΩ , (2.10)

o`u S repr´esente l’aire de la surface en contact avec le fluide. Pour le pendule de torsion, l’analogue de RΩ est dm˙θ et l’analogue de la surface est S = 2dmlm, le couple de frottements visqueux exerc´e sur le pendule s’estime commee :

Mvisqueux = −ν ˙θ avec ν ∼ 4d²mlmη , (2.11) d’o`u ν ∼ 5.4 × 10<sup>−9</sup> kgm<sup>2</sup>s<sup>−1</sup>. (2.12) Le fluide est choisi pour que sa viscosit´e soit suffisamment importante afin de n´egliger l’influence de la visco´elasticit´e sur le syst`eme, soit tel que ν2πf ≫ C′′. L’approximation est donc valable tant que f ≫ 3 Hz. Nous nous placerons toujours dans cette situation par la suite.

´

Equation du mouvement

L’objectif de l’exp´erience est de mesurer les fluctuations thermiques angulaires du pendule d´ecrit ci-dessus. Ces fluctuations sont r´esultantes des chocs incessants entre les particules fluides et le syst`eme. Elles sont mod´elis´ees par l’ajout d’un couple stochastique ξ(t). Ce couple est un bruit blanc gaussien delta-corr´el´e en temps, c’est-`a-dire :

hξ(t)i = 0 et hξ(t)ξ(t + τ)i = (2kBT ν)δ(τ ) . (2.13)

dPour le laiton tan δ = 5 · 10−3.

eLa viscosit´e cin´ematique du m´elange eau-glyc´erol de concentration massique en glyc´erol 60 % vaut ηf/ρf = 9.264 cSt.

Les h·i d´esignent des moyennes d’ensemble. Le mouvement de la position angulaire θ de l’oscillateur est d´ecrit par une ´equation de Langevin du deuxi`eme ordre :

Ieff d2θ d2t ^{+ ν} dθ dt^(t ′) + Cθ = ξ(t) . (2.14) Dans la suite, θ(t) sera d´ecompos´e en une trajectoire moyenne, not´ee hθ(t)i et des fluctuations autour de la trajectoire moyenne, not´ees δθ(t), soit θ(t) = hθ(t)i + δθ(t). L’´equation 2.14 d´ecrit le pendule dans son ´etat d’´equilibre : la trajectoire moyenne est hθ(t)i = 0 ; le syst`eme est ainsi enti`erement d´ecrit par ses fluctuations δθ.

En r´esum´e, ce syst`eme est ´equivalent `a un oscillateur harmonique en torsion dont on observe les fluctuations thermiques et enti`erement caract´eris´e par 3 param`etres :

– sa raideur C ∼ 10−4 N.m.rad−1,

– sa fr´equence de r´esonance f0 ≡ 1/(2π)^q_I^C_eff ∼ 80 Hz, – son temps de relaxation τ_α ≡ ^2Ieff

ν ∼ 100 ms.

Les valeurs donn´ees ci-dessus sont caract´eristiques de l’oscillateur ; cependant, une calibration pr´ealable est n´ecessaire afin d’am´eliorer grandement la pr´ecision.