lidade
Tendo em conta a teoria de sistemas invariantes e a rela¸c˜ao entre subespa¸cos obser- v´aveis (reconstrut´ıveis) do sistema N-peri´odico (A(.), B(.), C(.), D(.)) e os subespa¸cos observ´aveis (reconstrut´ıveis) dos sistemas invariantes que constituem a respectiva for- mula¸c˜ao invariante, pode deduzir-se que se um estado ´e observ´avel em s ent˜ao tamb´em ´e reconstrut´ıvel em s, para s = 0, 1, . . . , N − 1. De facto, com a seguinte proposi¸c˜ao mostramos que o subespa¸co observ´avel em s est´a contido no subespa¸co reconstrut´ıvel em s, para s = 0, 1, . . . , N − 1.
Proposi¸c˜ao 3.3.1. Para cada s = 0, 1, . . . , N − 1,tem-se
O(s) ⊆ R(s).
Demonstra¸c˜ao:
Pretende-se provar que O(s) ⊆ R(s), ou melhor, usando uma conhecida propriedade dos subespa¸cos ortogonais [Lancaster and Tismenetsky, 1985], pretende-se mostrar que,
R⊥(s) ⊆ O⊥(s),
isto ´e,
Ir(s) ⊆ Io(s). Ou ainda, pelas Proposi¸c˜oes 3.1.5 e 3.2.4,
Isr ⊆ Iso, para s = 0, 1, . . . , N − 1.
Ora, as inclus˜oes anteriores s˜ao verdadeiras, atendendo `a teoria dos sistemas invari- antes, [Kucera, 1991].
¥ Esta proposi¸c˜ao mostra-nos que observabilidade em s implica reconstrutibilidade em
s. Saliente-se que, tal como se verifica para sistemas invariantes discretos, a implica¸c˜ao
Conclus˜ao
No primeiro cap´ıtulo, al´em de termos apresentado alguma nomenclatura e propriedades b´asicas referentes aos sistemas peri´odicos, mostr´amos ser poss´ıvel associar a um sistema
N-peri´odico um determinado conjunto de N sistemas invariantes (a que se chama
formula¸c˜ao invariante). Na verdade, `a custa das evolu¸c˜oes de cada um dos sistemas invariantes ´e poss´ıvel obter a evolu¸c˜ao do sistema N-peri´odico, e vice-versa. Este facto, permite aplicar aos sistemas peri´odicos resultados conhecidos da teoria dos sistemas lineares invariantes. Como se pode, com facilidade constatar da leitura desta tese, foi essa a abordagem por n´os usada no estudo das propriedades estruturais apresentadas: atingibilidade, controlabilidade, observabilidade e reconstrutibilidade.
Nos segundo e terceiro cap´ıtulos, em tra¸cos muito gerais, mostr´amos, essencial- mente, que um sistema N-peri´odico ´e completamente ating´ıvel, completamente con- trol´avel, completamente observ´avel e completamente reconstrut´ıvel se e s´o se cada um dos N sistemas invariantes da sua formula¸c˜ao invariante for completamente ating´ı- vel, completamente control´avel, completamente observ´avel e completamente recons- trut´ıvel, respectivamente. Mais, `a custa destas redu¸c˜oes ao caso invariante, podemos deduzir v´arias caracteriza¸c˜oes dos sistemas completamente ating´ıveis, completamente control´aveis, completamente observ´aveis e completamente reconstrut´ıveis.
Em suma, o trabalho por n´os apresentado centrou-se no uso da formula¸c˜ao in- variante para estudar as propriedades dos sistemas lineares N-peri´odicos discretos, no entanto estas podem ser estudadas sem o recurso a formula¸c˜oes invariantes, ver por exemplo os trabalhos de Grasselli, [Grasselli, 1984] e de Bittanti e Bolzern, [Bittanti and Bolzern, 1985a] e [Bittanti and Bolzern, 1985b].
Importa tamb´em salientar que, poder´ıamos ter estudado outros assuntos ligados aos sistemas lineares N-peri´odicos discretos, n˜ao menos importantes, tal como a es- tabilidade ou a teoria da realiza¸c˜ao, veja-se os trabalhos de [Colaneri and Longhi, 1995] e [Bittanti and Colaneri, 2000]. Observe-se que um dos artigos que inclu´ımos
na bibliografia e que trata a quest˜ao das realiza¸c˜oes minimais usa a formula¸c˜ao invari- ante que deduzimos no Cap´ıtulo 1, nomeadamente [S´anchez et al., 1992]. As rela¸c˜oes de dualidade de conceitos constituem outro assunto que poder´ıamos ter abordado. Nomeadamente, poder´ıamos ter inclu´ıdo as caracteriza¸c˜oes de observabilidade (recons- trutibilidade) em termos da atingibilidade (controlabilidade).
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