(5.4.1) Soit X un espace annelé. On dit qu'un ^x-Module ^ est localement libre si, pour tout ^eX, il existe un voisinage ouvert U de A: tel que e^'|U soit isomorphe à un (^x|U)-Module de la forme fl^lU, où 1 peut dépendre de U. Si pour tout U, 1 est fini, on dit que y est de rang fini ; si pour tout U, 1 a le même nombre fini d'élé-ments 72, on dit que y est de rang n. Un ^"Module localement libre de rang i est encore appelé inversible (cf. (5.4.3)). Si 3^ est un ^"Module localement libre de rang fini, pour tout xeX, e^ est un ^-module libre de rang fini n{x), et il existe un voisinage U de x tel que j^|U soit de rang n (x) ; si X est connexe, n{x) est donc constant.
Il est clair que tout faisceau localement libre est quasi-cohérent, et si (9^ est un faisceau cohérent d'anneaux, tout ^"Module localement libre de rang fini est cohérent.
Si oSf est localement libre, <Sf®^ y est un foncteur exact en y dans la catégorie des 0^-M.odnïes.
Nous aurons surtout à considérer des ^"Modules localement libres de rang fini, 48
et lorsque nous parlerons de faisceaux localement libres sans préciser, il sera sous-entendu qu'ils sont de rang fini.
(5.4.2) Si oSf, y sont deux (P^-M.odules, on a un homomorphisme canonique fonctoriel
(5.4.2.1) ^®^==^om^{jy, (9^®^ -^^om^, ^)
défini de la façon suivante : pour tout ouvert U, à tout couple (u, t), où ueV{V^om^^,Q^}^ïïom{^\V,G^\V) et ^er(U,^'), on fait correspondre l'élément de Hom(oSf|U, ^"|U) qui, pour tout xeU, fait correspondre à ^£°S^
l'élément u^s^)t^ de ^. Si JSf est localement libre de rang fini, cet homomorphisme est bijectif'y la propriété étant locale, on peut en effet se borner au cas où oS^==^; comme pour tout ^"Module ^, J^om^ (^, ^) est canoniquement isomorphe à ^n, on est ramené au cas ^ = (9^ qui est immédiat.
(5.4.3) Si oS? est inversible, il en est de même de son dual oSf==J^om^ (oSf, 0^), car on se ramène aussitôt (la question étant locale) au cas oS^=^x* En outre, on a un isomorphisme canonique
( 5 . 4 . 3 . 1 ) ^m^(JS?, Cy ®^ ^ ^
en effet, d'après (5.4.2), il suffit de définir un isomorphisme canonique J^om^ (oSf, o^f) 2^ 0^
Or, pour tout ^"Module ^, on a un homomorphisme canonique 6^ ^ ^om^ (^, ^r) (5.3.7). Il reste à prouver que si y = jSf est inversible, cet homomorphisme est bijectif, et comme la question est locale, on est ramené au cas J? == 6^ qui est immédiat.
En raison de ce qui précède, on pose ^^^^om^ (^^ ^x)? et on dit que oêf"1 est Y inverse de JSf. La terminologie de « faisceau inversible » peut se justifier de la façon suivante lorsque X est réduit à un point et 6^ est un anneau local A d'idéal maximal m ; si M et M' sont deux A-modules (M étant de type fini) tels que M®^M/ soit isomorphe à A, comme (A/m)®^®^) s'identifie à (M/mI^^MVnîIVr), ce dernier produit tensoriel d'espaces vectoriels sur le corps A/m est isomorphe à A/m, ce qui exige que M/mM et M'/mM7 soient de dimension i. Pour tout élément ^eM n'appartenant pas à mM, on a donc M=A^+înM, ce qui entraîne M=A^ d'après le lemme de Nakayama, M étant de type fini. D'ailleurs, comme l'annulateur de ^ annule M®^M7, isomorphe à A, cet annulateur est {o}, et M est par suite isomorphe à A. Dans le cas général, cela montre que si JS^ est un (P^-Module de type fini, tel qu'il existe un ^"Module 3F pour lequel JSf®^^' soit isomorphe à (9^ et si en outre les anneaux (9^ sont des anneaux locaux, alors JS^ est un 6^-module isomorphe à (9^ pour tout ^eX. Si (9^ et oSf sont supposés cohérents^ on en conclut donc que c5f est inversible en vertu de (5.2.7).
(5.4.4) Si o^ et S?' sont deux ^"Modules inversibles, il en est de même de jy®0 S", car la question étant locale, on peut supposer que o§f= (9^ et le résultat est alors trivial. Pour tout entier n ^ i, on désigne par .S?^ le produit tensoriel de n faisceaux 49
7
identiques à JSf ; on pose par convention oSf00^^ et P0111' n^ I? ^f0^^^ (JS?-1)^.
Avec ces notations, il existe alors un isomorphisme canonique fonctoriel
( 5 . 4 . 4 . 1 ) jSf0^®^ j^®n^^®(n+m)
quels que soient les entiers rationnels niy n : en effet, en vertu des définitions, on se ramène aussitôt au cas où m== —1,72=1, et l'isomorphisme en question a alors été défini en (5.4.3).
(5.4.5) Soit f : Y->X un morphisme d'espaces annelés. Si S est un ^"Module localement libre (resp. inversible), /*(oS^) est un ^y" Module localement libre (resp.
inversible) : cela résulte aussitôt de ce que les images réciproques de deux ^"Modules localement isomorphes sont localement isomorphes, de ce que/* commute aux sommes directes finies et de ce que f^^xï^^v (4 • 3 * 4 ) - ^n ûutre, on sait qu'on a un homo-morphisme canonique fonctoriel f*(^) -> (f*Ç^))^ (4.4.6), et lorsque L est localement libre, cet homomorphisme est bijectif : on est en effet encore ramené au cas où oS^ == 0^
qui est trivial. On en conclut que si oSf est inversible, /"(JSf0^ s'identifie canoniquement à (/"(JSf))^ pour tout entier rationnel n.
(5.4.6) Soit JSf un ^"Module inversible ; on désigne par F (X, oSf) ou sim-plement F (JSf) le groupe abélien somme directe ® F(X, J?0^ ; on le munit d'une
î î Ç Z
structure Panneau graduée en faisant correspondre au couple (^, ^), où ^er(X, oSf®^, s^eFÇK, JSf®^, la section de .Sf®^^ au-dessus de X qui correspond canonique-ment (5.4.4. i) à la section s^0s^ de JS^®^ jgf®^ l'associativité de cette multiplication se vérifie de façon immédiate. Il est clair que I\(X, oSf) est un foncteur covariant en JSf, à valeurs dans la catégorie des anneaux gradués.
Si maintenant 3^ est un ^"Module quelconque, on pose
r/js^, y} = © F(X, e^®^^®^.
On munit ce groupe abélien d'une structure de module gradué sur l'anneau gradué I\(oSf) de la façon suivante : au couple (^, 0, où ^eF(X, JSf^) et ^eF(X, e^"®^^), on fait correspondre la section de ^r®^®^^) qui correspond canoniquement (5.4.4.1) à ^®^ ; la vérification des axiomes des modules est immédiate. Pour X et «JSf fixés, r^(oSf, y} est un foncteur covariant en 3^ à valeurs dans la catégorie des FJoS^) -modules gradués ; pour X et y fixés, c'est un foncteur covariant en JS^ à valeurs dans la catégorie des groupes abéliens.
Si f : Y-^X est un morphisme d'espaces annelés, l'homomorphisme cano-nique (4.4.3.2) p : .^^-^/'(/'''(Jâ^0^) définit un homomorphisme de groupes abéliens F(X, ^^^(Y./^JS^^/et comme /^J^)^/*^))^, il résulte des définitions des homomorphismes canoniques (4.4.3.2) et (5.4.4.1) que les homomorphismes précédents définissent un homomorphisme fonctoriel d'anneaux gradués F (JSf)-»r^(/*(oSf)). Le même homomorphisme canonique (4.4.3) définit de même un homomorphisme de groupes abéliens F(X, ^®^®n) -^ ^Y,/^®^^)), et comme
f^®^^^)®^^}}^ ( 4 . 3 - 3 . 1 ) ,
50
ces homomorphismes (pour n variable) définissent un di-homomorphisme de modules gradués
r^^)-.r^(^),/*(^)).
(5.4.7) On peut montrer qu'il existe un ensemble SU (noté aussi 9ÏÎ(X)) de
^x-Modules inversibles tel que tout 0^-Module inversible soit isomorphe à un élément de 9ÎÎ et un seul (1) ; on définit dans SR une loi de composition en faisant correspondre à deux éléments JSf, ^ de SR l'unique élément de 9ÎI isomorphe à JSf®JSf\ Avec cette loi de composition, 9Jt est un groupe isomorphe au groupe de cohomologie H^X, ^x)? où 6^
est le sous-faisceau de 0^ tel que F(U, 6?x) soit le groupe des éléments inversibles de l'anneau F(U, Gy) P0111' tout ouvert U c X ((?x est donc un faisceau de groupes abéliens multiplicatifs).
On notera pour cela que pour tout ouvert UcX, le groupe des sections F(U, 6?x) s'identifie canoniquement au groupe des automorphismes du (^x|U)-Module 0^ U, l'identification faisant correspondre à une section s de 0^ au-dessus de U l'automor-phisme^de 0^\V tel que u^)=e^ pour tout xeX ettout ^e^. Soit alors U==(U^) un recouvrement ouvert de X ; la donnée, pour tout couple d'indices (À, [L) d'un auto-morphisme 6^ de ^xK^x0^) revient à se donner une i-cochaîne du recouvrement U, à valeurs dans Q^ et dire que les 6^ vérifient la condition de recollement (3.3.1) signifie que la cochaîne correspondante est un cocycle. De même, la donnée, pour tout À, d'un automorphisme co^ de ff^\V^ revient à la donnée d'une o-cochaîne du recouvrement ÎI, à valeurs dans 0^ et son cobord correspond à la famille des automorphismes (^À ^nUJo((oJU^nUJ~1. On peut faire correspondre à tout i-cocycle de U à valeurs dans (9^ l'élément de 9Jt isomorphe au ^"Module inversible obtenu par recollement à partir de la famille d'automorphismes (6^) correspondant à ce cocycle, et à deux cocycles cohomologues correspondent deux éléments égaux de 9K (3.3.2) ; autrement dit, on a ainsi défini une application cpy : ?(11, (P^)->yjl. En outre, si 33 est un second recouvre-ment ouvert de X, plus fin que U, le diagramme
?(11, 6?x) ^
1 ^m
H^a^x)^
où la flèche verticale est l'homomorphisme canonique (G, II, 5.7), est commutatif, comme il résulte de (3.3.3). Par passage à la limite inductive, on obtient donc bien une application H^X, ^x)-^ 1(" groupe de cohomologie de Cech H^X, 6?x) s'identifiant comme on sait au premier groupe de cohomologie H^X, fl^x) (G, II, 5.9, cor. du th. 5.9.1). Cette application est surjective : en effet, par définition, pour tout (P^-Mod\ile inversible JS?, il y a un recouvrement ouvert (U\) de X tel que S s'obtienne par recolle-ment des faisceaux (P^\U^ (3.3. i). Elle est aussi injective, car il suffit de le prouver pour les applications H^U, 0^->ySl, et cela résulte alors de (3.3.2). Il reste à montrer que
(1) Voir le livre en préparation cité dans l'Introduction.
51
la bijection ainsi définie est un homomorphisme de groupe. Or, étant donnés deux
^x-Modules inversibles JSf, JSf7, il y a un recouvrement ouvert (U^) tel que °S^|U\ et oy[U\ soient isomorphes à ^\U-^ pour tout À ; il y a donc pour chaque indice À un élément ^ (resp. ^) de F(U^^) (resp. Y{V^£")} tel que les éléments de F(U^JSf) (resp. rCU^oSf7)) soient les s^.a^ (resp. ^.a^), où j\ parcourt r(U\, (P^). Les cocycles correspondants (s^), (s^) sont tels que s-^.a^s^.a^ (resp. -s\ • ^ == ^. <^) au-dessus de U\nU^ soit équivalent à ^==£^^ (resp. s^==e'^s^) au-dessus de U^nU^. Comme les sections de JS^®^ S ' au-dessus de U^ sont les sommes finies des s^s{. (a-^®a^) où j\ et s{
parcourent r(U\, 0^), il est clair que le cocycle (s^s^) correspond à oSf®^ oSf7, ce qui achève la démonstration (1).
(5.4.8) Soit f== (4', œ) unmorphisme Y->X d'espaces annelés. Le foncteury*(oS^) dans la catégorie des 0^-^Aoà.uî.es libres définit une application (encore notée/* par abus de langage) de l'ensemble SOÎ(X) dans l'ensemble SO^Y). D'autre part, on a un homo-morphisme canonique ( T , 3 . 2 . 2 )
(5.4.8.1) HI(X,^)->IP(Y,^).
Lorsqu'on identifie canoniquement (5.4.7) 9K(X) et H^X, ^x) (^sp. 9JÎ(Y) et H^Y, ^)), l'homomorphisme (5.4.8.1) s'identifie à ^application/*. En effet, si JSf provient d'un cocycle (s^) correspondant à un recouvrement ouvert (U^) de X, il suffit de montrer quey*(oSf) provient d'un cocycle dont la classe de cohomologie est image par (5.4.8.1) de celle de (s^). Or, si 6^ est l'automorphisme de ^xK^x0^) qui correspond à s^, il est clair que /*(°S^) s'obtient par recollement des ^YI^"^^) au moyen des automor-phismes ^*(9^)î et il suffit donc de vérifier que ces derniers correspondent au cocycle (œ^(s^)), ce qui résulte aussitôt des définitions (on a identifié s^ à son image canonique par p (3.7.2), section de +*(^x) au-dessus de ^'"^(U^nU^)).
(5.4.9) Soient ^, y deux (P^-Modules, 3^ étant supposé localement libre, et soit ^ un (P^-îAodïde extension de 3^ par <?, autrement dit tel qu'il existe une suite exacte o-^<?->^->j^'->o. Alors, pour tout A:eX, il existe un voisinage ouvert U de x tel que ^|U soit isomorphe à la somme directe <?|U®J^'|U. On peut en effet se borner au cas où e^==6^; soient e ^ Ç i ^ i ^ n ) les sections canoniques (5.5.5) de 0^\
il existe alors un voisinage ouvert U de x et n sections ^ de ^ au-dessus de U telles que p[^\\3) ==^|U pour i^i^n. Cela étant, soit f l'homomorphisme
^[LJ-^IU défini par les sections s,\V (5.1.1). Il est immédiat que pour tout ouvert VcU, et toute section ^er(V, ^) on a s—/(^(J))eF(V, <^), d'où notre assertion.
(5.4.10) Soient f : X-^Y un morphisme d'espaces annelés, ^ un (P^-Mod\ile,
^ un ^y-Module localement libre de rang fini. Il existe alors un isomorphisme canonique ( 5 . 4 . 1 0 . 1 ) JW®^^f^®^fW}
(1) Pour une forme générale de ce résultat, voir le livre cité dans la note de la p. 51.
52
En effet, pour tout ^y-Module oS?, on a un homomorphisme canonique
Y.(^) ®^ ^./.(j^) ®^xcr(^)) ^/.(^-®^*^))
p étant r homomorphisme (4.4.3.2) et a l'homomorphisme ( 4 . 2 . 2 . 1 ) . Pour montrer que lorsque oS^ est localement libre, cet homomorphisme est bijectif, il suffit, la question étant locale sur Y, de considérer le cas où Jâ^ == ^ ; en outre, f^ et f* commutant aux sommes directes finies, on peut supposer n = i, et dans ce cas la proposition résulte aussitôt des définitions et de la relation /"(^y) ==^x*