(3.8.1) Soit X un espace topologique dont la topologie admet une base 2$ formée d'ensembles ouverts quasi-compacts. Soit y un faisceau d'ensembles sur X ; si on munit chacun des J^'(U) de la topologie discrète^ U-^^'(U) est un préfaisceau d'espaces topologiques.
Nous allons voir qu'il existe un faisceau d'espaces topologiques y associé à y (3.5.6) tel que r(U, ^r/) soit l'espace discret J^(U) pour tout ouvert quasi-compact U. Il suffira pour cela de montrer que le préfaisceau U->^'(U) d'espaces topologiques discrets sur 93 vérifie la condition (Fo) de ( 3 . 2 . 2 ) , et plus généralement que si U est un ouvert quasi-compact et si (UJ est un recouvrement de U par des ensembles de S, la topologie la moins fine y sur r(U, J^") rendant continues les applications F(U, ^) -> F(U^, ^) est la topologie discrète. Or, il existe un nombre fini d'indices a, tels que U==UUa^.
Soit jer(U, J^) et soit ^ son image dans r(Uap ^r) ; l'intersection des images réci-proques des ensembles [s^ est par définition un voisinage de s pour ^~ y mais puisque ^ est un faisceau d'ensembles et que les Uo^ recouvrent U, cette intersection se réduit à J, d'où notre assertion.
On notera que si U est un ouvert non quasi-compact de X, l'espace topo-logique r(U, y} a encore F(U, ^") comme ensemble sous-jacent, mais sa topologie n'est pas discrète en général : c'est la moins fine rendant continues les applications F(U, ^)->r(V, ^), pour Ve93 et V c U (les F (V, ^) étant discrets).
Les considérations précédentes s'appliquent sans modification aux faisceaux de groupes ou d'anneaux (non nécessairement commutatifs), et leur associent respectivement des faisceaux de groupes topologiques ou d) anneaux topologiques. Pour abréger, nous dirons que le faisceau y est le faisceau ^espaces (resp. groupes^ anneaux") pseudo-discrets associé au faisceau d'ensembles (resp. groupes, anneaux) ^ ' .
(3.8.2) Soient J^, ^ deux faisceaux d'ensembles (resp. groupes, anneaux) sur X, u : y-^^ un homomorphisme. Alors u est aussi un homomorphisme continu y-^y y en désignant par Y et ^ les faisceaux pseudo-discrets associés à ^ et ^ ; cela résulte en effet de (3.2.5).
(3.8.3) Soient ^ un faisceau d'ensembles, ^ un sous-faisceau de ^r, y et ^ ' les faisceaux pseudo-discrets associés à Y et ^ respectivement. Alors, pour tout ouvert UcX, r(U,J^) est fermé dans r(U, Y) : en effet, c'est l'intersection des images réciproques des r(V,J^) (pour VeSî, VcU) par les applications continues
r(U,^')->r(V,^'), et r(V,^) est fermé dans l'espace discret F(V, ^r).
§ 4. ESPACES ANNELÉS 4.1. Espaces annelés, ^-Modules, ^"Algèbres.
(4.1.1) Un espace annelé (resp. topologiquement annele) est un couple (X, ^/) formé d'un espace topologique X et d'un faisceau d'anneaux (non nécessairement commutatifs) (resp. d'un faisceau d'anneaux topologiques) ^ sur X ; on dit que X est l'espace topo-30
logique sous-jacent à l'espace annelé (X, ja^), et ^ le faisceau structural. Ce dernier se note ^x? et sa fibre en un point ^ e X se note ^x a; ou simplement 0 ^ lorsqu'il n'en résulte pas de confusion.
On désignera par i ou e la section unité de (9^ au-dessus de X (élément unité de
F(X, ^)).
Comme dans ce Traité nous aurons surtout à considérer des faisceaux d'anneaux commutatifs, il sera sous-entendu, lorsque nous parlerons d'un espace annelé (X, ^) sans préciser, que ^/ est un faisceau d'anneaux commutatifs.
Les espaces annelés à faisceau structural non nécessairement commutatif (resp.
les espaces topologiquement annelés) forment une catégorie, lorsqu'on définit un morphisme (X, ^/) ->• (Y, SS') comme un couple ( ^ , 6 ) = = T* formé d'une application continue ^ : X->Y et d'un ^-morphisme 6 : ^—^y ( 3 - 5 -1) de faisceaux d'anneaux (resp. de faisceaux d'anneaux topologiques) ; le composé d'un second morphisme Y ' ^ ^ O ' ) : (Y.^-^Z,^) et de y, noté Y^Y'oY, est le morphisme W\Q") où ^'^^o^, et G" est le composé de 9 et 6' (égal à ^(6)06', cf. 3.5.2). Pour les espaces annelés, rappelons que l'on a alors Q"^==Q^oy(Q'^ (3.5.5) ; donc si 6^ et 6^
sont des homomorphismes injectifs (resp. surjectifs), il en est de même de Q"^, compte tenu du fait que ^op^) est un isomorphisme pour tout ^ e X (3.7.2). On vérifie aussitôt, grâce à ce qui précède, que lorsque ^ est une application continue injective et 6^
un homomorphisme surjectif de faisceaux d'anneaux, le morphisme (^i, 6) est un mono-morphisme (T, 1.1) dans la catégorie des espaces annelés.
Par abus de langage, on remplacera souvent ^ par Y dans les notations, par exemple en écrivant ^F—1(U) au lieu de ^^(U) pour une partie U de Y, lorsque cela ne risquera pas d'entraîner confusion.
(4.1.2) Pour toute partie M de X, le couple (M, J^|M) est évidemment un espace annelé, dit induit sur M par l'espace annelé (X, s/) (et appelé encore la restriction de (X, ^/) à M). Si j est l'injection canonique M->X et co l'application identique de J^|M, (7, (o^) est un monomorphisme (M, J3^[M)->(X, ^/) d'espaces annelés, appelé l'injection canonique. Le composé d'un morphisme Y : (X, ^)-^(Y, Se} et de cette injection est appelé la restriction de Y à M.
(4.1.3) Nous ne reviendrons pas sur la définition des ^'Modules ou faisceaux algébriques sur un espace annelé (X, e^) (G, II, 2 . 2 ) ; lorsque ^ est un faisceau d'anneaux non nécessairement commutatifs, par ^-Module, il faudra toujours sous-entendre
« ^-Module à gauche » sauf mention expresse du contraire. Les sous-j^-Modules de ^é seront qualifiés de faisceaux rideaux (à gauche, à droite ou bilatères) dans ^ ou de
^-Idéaux.
Lorsque ^ est un faisceau d'anneaux commutatifs, et que, dans la définition des ja^-Modules, on remplace partout la structure de module par celle d'algèbre, on obtient la définition d'une ^/-Algèbre sur X. Il revient au même de dire qu'une j^-Algèbre (non nécessairement commutative) est un j^-Module ^, muni d'un homomorphisme de ja^-Modules 9 : ^ê®^—^ et d'une section e au-dessus de X, tels que : i° Le diagramme
36
V®^®^ ^ ^®^f
1®<? <p
^ ^
^(g)^--^ ^
ÎÇ
soit commutatif; 2° pour tout ouvert U c X et toute section jeF(U, ^), on ait 9 ((^|U)®J) =îp(^®(^|U)) ==.?. Dire que ^ est une e^-Algèbre commutative revient en outre à dire que le diagramme
^®^4^®^
<p \ ^/v
est commutatif, a désignant la symétrie canonique du produit tensoriel cê®^(ê.
Les homomorphismes de j^-Algèbres se définissent aussi comme les homomor-phismes de se- Modules dans (G, II, 2 . 2 ) , mais naturellement ne forment plus un groupe abélien.
Si ^ est un sous-e^- Module d'une ^-Algèbre ^, la sous-^-Algèbre de V engendrée par ^
n
est la somme des images des homomorphismes ®^->(ê (pour les 72^0). C'est aussi le faisceau associé au préfaisceau U->^(U) d'algèbres, ^?(U) étant la sous-algèbre de r(U, %") engendrée par le sous-module r(U.e^).
(4.1.4) On dit qu'un faisceau d'anneaux ^ sur un espace topologique X est réduit en un point A: de X si la fibre ja^. est un anneau réduit ( i . i . i ) ; on dit que se est réduit s'il est réduit en tout point de X. Rappelons qu'un anneau A est dit régulier si chacun des anneaux locaux A? (où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers de A) est un anneau local régulier ; nous dirons qu'un faisceau d'anneaux ^ sur X est régulier en un point x (resp. régulier) si la fibre sé.^ est un anneau régulier (resp. si se est régulier en tout point).
Enfin, nous dirons qu'un faisceau d'anneaux ^ sur X est normal en un point x (resp.
normal) si sa fibre ^ est un anneau intègre et intégralement clos (resp. si ^ est normal en tout point). Nous dirons qu'un espace annelé (X, ^/) a l'une des propriétés précédentes si le faisceau d'anneaux s/ a cette propriété.
Un faisceau Panneaux gradués ^ est par définition un faisceau d'anneaux qui est somme directe (G, II, 2 . 7 ) d'une famille (^)^çz ^e faisceaux de groupes abéliens avec les conditions ja^j^cj^^.^; un s^-Module gradué est un j^-Module ^ somme directe d'une famille {^n)nçz ^e faisceaux de groupes abéliens, satisfaisant aux conditions
^w^^^w+n- ^ revient d'ailleurs au même de dire que l'on a (^m^x^n^x^-i^m+^x (resp. (<LW,C(^,JJ en tout point x.
(4.1.5) Étant donné un espace annelé (X, ^) (non nécessairement commutatif), nous ne rappellerons pas ici les définitions des bifoncteurs ^r®^^, ^om^^y ^) et Hom^^, ^) (G, II, 2.8 et 2.2) dans les catégories des ^-Modules à gauche ou à droite (selon les cas), à valeurs dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens (ou plus
37
généralement des ^-Modules, si ^ est le centre de j^). La fibre (^®^^ en tout point xeX. s'identifie canoniquement à e^®^^ et on définit un homomorphisme canonique fonctoriel (^w^^, ^))^ -> Hom^(^, ^) qui, en général, n'est ni injectif ni surjectif. Les bifoncteurs considérés ci-dessus sont additifs et, en particulier, commutent aux sommes directes finies ; J^®^ est exact à droite en ^ et en ^, commute aux limites inductives, et j^®^ (resp. y®^^) s'identifie canoniquement à ^ (resp. ^r). Les foncteurs jfow^(^', ^) et Hom^^, ^) sont exacts à gauche en ^ et ^ ; de façon précise, si on a une suite exacte de la forme o-^'-^-^7', la suite
o->^om^, gT) ^^w^(^-, ^) ^j^m^(^, <S")
est exacte, et si on a une suite exacte de la forme y->y->y'->o^ la suite o->^om^", ^) ->j^^(^, ^) ->^om^', ^)
est exacte, avec des propriétés analogues pour le foncteur Hom. En outre, jfom^(j^, ^) s'identifie canoniquement à ^ ; enfin, pour tout ouvert UcX, on a
r(U,^m^, ^))=Hom^u(^'|U, ^|U).
Pour tout j^-Module à gauche y (resp. à droite), on appelle dual de y et on note 3^ le j^-Module à droite (resp. à gauche) J^w^(^, j^).
Enfin, si j^ est un faisceau d'anneaux commutatifs, S^ un ^-Module, U->Ar(U, e^') est un préfaisceau dont le faisceau associé est un j^-Module qui se note f\y et s'appelleP la puissance extérieure p-ème de y ; on vérifie aisément que l'application canonique du
p p
préfaisceau U->Ar(U, ^) dans le faisceau associé f\y est injectiue, et que pour tout p p p
xeX, on a (A^)^=A(^). Il est clair que A^ est un foncteur covariant en e^.
(4.1.6) Supposons que ^ soit un faisceau d'anneaux non nécessairement commu-tatifs, / un faisceau d'idéaux à gauche de ^ / , 3^ un ^-Module à gauche ; on note alors / y le sous-ja^-Module de ^, image de /®^ (où Z est le faisceau associé au préfaisceau constant U->Z) par l'application canonique /®^ e^—^; il est clair que pour tout xeX, on a {/^\^/^^ Lorsque ^ est commutatif, / y est aussi l'image canonique de /®^y-^y. Il est immédiat que / ^ est aussi le ^-Module associé au préfaisceau U->r(U, ^)r(U,^). Si /^ /^ sont deux faisceaux d'idéaux à gauche de j^, on a / ^ / ^ } =
(<^iA)^-(4.1.7) Soit (X^, ^^)^çL une famille d'espaces annelés ; pour tout couple (X, pi), supposons donnée une partie ouverte V^ de X^, et un isomorphisme d'espaces annelés
^PÀE. ^ (V^ ^|V^) ^ (V^, j^JV^), avec V^==X^,<p^ étant l'identité. Supposons de plus que, pour tout triplet (X, (JL, v), si on désigne par 9^ la restriction de 9^ à V^nV^, cp^ soit un isomorphisme de (V^nV^, ^l(V^nVJ) sur (V^nV^, ^J(V^nVJ) et que l'on ait (p^==(p^ocp^ {condition de recollement pour les 9^). On peut tout d'abord considérer alors l'espace topologique obtenu par recollement (au moyen des <p^) des X^
38
le long des V^ ; si on identifie X^ à la partie ouverte X^ correspondante dans X, les hypothèses entraînent que les trois ensembles V^nV^, V^nV^, V^nV^ s'identifient à X^nX^nX^. On peut alors transporter à X^ la structure d'espace annelé de X^, et si sé'-^ est le faisceau d'anneaux transporté de ^/^ les ^\ vérifient la condition de recol-lement (3.3.1) et définissent donc un faisceau d'anneaux ^ sur X ; on dit que (X, j^) est l'espace annelé obtenu par recollement des (X^, j^\) le long des V^, au moyen des ç^.