Complété formel d^un préschéma le long d'une partie fermée

( 10.8.1) Soient X un préschéma (usuel) localement noethérien, X7 une partie fermée de l'espace sous-jacent à X ; désignons par <D l'ensemble des faisceaux cohérents d'idéaux / dans ex? te^ ^^ 1e support de (9^\ / soit X'. L'ensemble 0 n'est pas vide (5.2.1, 4.1.4 et 6. i . i) ; nous l'ordonnerons par la relation D.

Lemme (10.8.2). — U ensemble ordonné 0 est filtrant ; si X est noethérien^ pour tout ^eO, l'ensemble des puissances /^ {n>o} est cofinal à 0.

En effet, si /^ et /^ appartiennent à O, et si on pose / = /^ /^ / est cohérent puisque Q^ est cohérent (6.1.1 et 0, 5.3.4)5 et l'on a / y ^ - ^ / ^ x ^ ^/^x'> P0111' tovi^

^eX, donc /y=Qy, pour x^^K.' et /y^rQy^ pour ^eX', ce qui prouve que ^sO.

D'autre part, si X est noethérien, et si /^ et / appartiennent à 0, il existe un entier n>o tel que /W^l/)=o (9.3.4), ce qui signifie que / ^ C / .

(10.8.3) Soit maintenant y un ^x-Module cohérent ; pour tout ^e0, ^r®^ (^x/^) est un éx~M°dule cohérent (9. i . i), de support contenu dans X', et que nous identifierons le plus souvent à sa restriction à X\ Lorsque ^ parcourt 0, ces faisceaux forment un système projectif de faisceaux de groupes abéliens.

Définition (10.8.4). — Étant donnés une partie fermée X' d^un préschéma localement noethérien X et un (O^-Module cohérent ^', on appelle complété de y le long de X7 et on désigne par y ^ ou par S^ (lorsque aucune confusion n^est possible) la restriction à X7 du faisceau

\im[^®^ {Q^f/}) \ on ^lt ^ ses Etions au-dessus de X' sont les sections formelles de y

<^

le long de X\

II est immédiat que pour tout ouvert UcX, on a (^\ U)//unx')= (^/x') I (UnX7).

Par passage à la limite projective, il est clair que (^x)/x' est un faisceau d'anneaux, et que ^'/x7 peut être considéré comme un ((îy/x^Module. En outre, comme il existe une base de la topologie de X' formée d'ouverts quasi-compacts, on peut considérer (^x)/x^ (^sp. ^/x') comme un faisceau d'anneaux topologiques (resp. de groupes topologiques}

limite projective des faisceaux d'anneaux (resp. groupes) pseudo-discrets (9-y^/ (resp.

y®€^(()^/)=^^/y\ ^ P^ passage à la limite projective, ^ ^ devient alors un (^x) ^'-Module topologique (0, 3.8.1 et 3.8.2) ; rappelons que pour tout ouvert quasi-compact UcX, I^UnX7, (^x)yx') (resp. I^UnX', e^/x')) est alors limite projective des anneaux (resp. groupes) discrets r(U, G^l/} (resp. r(U, ^l/^}}.

Si maintenant u : J^->^ est un homomorphisme de (9x-Modules, on en déduit canoniquement des homomorphismes u^ : ^^r®^ (^x/^) -> ^®^ (^x/<^) pour ^tout

^'e0, et ces homomorphismes forment un système projectif. Par passage à la limite projective et restriction à X', ils donnent donc un (^x)/x'~homomorphisme continu

^/x' ~^ ^/x'î note u|x' ou ^î et appelé le complété de F homomorphisme u le long de X'.

Il est clair que si v : ^->^f est un second homomorphisme de 0^-M.oduï.es, on a (yo^x^^/x'M^/x') donc y ^ est un fondeur additif covariant en ^r, de la catégorie des (Px-Modules cohérents, à valeurs dans la catégorie des (^x)/x'"Modules topologiques.

Proposition (10.8.5). — Le support de (^x)/x^ est ^/; l'espace topologiquement annelé (X', (^x)/x') est un préschéma formel localement noethérien, et si ^eO, / ^, est un Idéal de définition de ce préschéma formel. Si X==Spec(A) est un schéma affine d'anneau noethérien,

^"^ ^

^==33 ou 3 est un idéal de A, et X7 ==V(3), (X7, (<^x)/x') ^identifie canoniquement à Spf(A), où A est le séparé complété de A pour la topologie ^-préadique.

On peut évidemment se borner à prouver la dernière assertion. On sait (0, 7.3.3) que le séparé complété 3 de 3 pour la topologie 3-Préadique s'identifie à l'idéal ^A de A, et que À est un anneau ^'adique noethérien tel que Â/3n = A/3^ (0, 7.2.6).

Cette dernière relation montre que les idéaux premiers ouverts de À sont les idéaux P==p33 où p est un idéal premier de A contenant 3? et que l'on a pnA==p, d'où Spf(Â)=X/. Comme (!}^|^/n= (A^)^? la proposition découle aussitôt des définitions.

On dit que le préschéma formel ainsi défini est le complété de X le long de X' et on le note Xyx' ou X si aucune confusion n'est à craindre. Lorsque l'on prend X'==X, on peut prendre ^==0, et on a donc X/x=X.

Il est clair que si U est un sous-préschéma induit sur un ouvert de X, U/mnx') s'iden-tifie canoniquement au sous-préschéma formel induit par X/x' sur l'ouvert UnX7 de X\

Corollaire (10.8.6). — Le préschéma (usuel) X^ est l'unique sous-préschéma réduit de X ayant pour espace sous-jacent X7 ( 5 . 2 . 1 ) . Pour que X soit noethérien^ il faut et il suffit que X^

le soit, et il suffit que X le soit,

190

La détermination de X^ étant locale (10.5.4), on peut encore supposer que X est un schéma affine d'anneau noethérien ; avec les notations de (10.8.5)3 l'idéal 2 des éléments topologiquement niipotents de À est l'image réciproque par l'application canonique Â->Â/3=A/3 du nilradical de A/3 (0, 7.1.3), donc Â/2 est isomorphe au quotient de A/3 par son nilradical. La première assertion résulte donc de (10.5.4) et (5.1.1). Si X^ est noethérien, son espace sous-jacent X.' l'est aussi, donc les X^=Spec(^x/^) sont noethériens (6.1.2) et il en est de même de X (10.6.4) ; la réciproque est immédiate, en vertu de (6.1.2).

(io.8.7) Les homomorphismes canoniques ^x^^xl^ (pour ^e0) forment un système projectif et donnent donc, par passage à la limite projective, un homo-morphisme de faisceau d'anneaux 6 : (9^ -> ^((^/x')^11'11^/^)^ en désignant par ^

< <D

l'injection canonique X'-^X des espaces sous-jacents. Nous désignerons par i (ou î'x) le morphisme (dit canonique)

(+, 6) : X^->X d'espaces annelés.

Par tensorisation, pour tout ^x-Module cohérent ^r, les homomorphismes cano-niques Q^-^Q^/ donnent des homomorphismes y->y®Q {^xl</) de fi^-Modules qui forment encore un système projectif, et donnent donc, par passage à la limite projec-tive, un homomorphisme canonique fonctoriel y : ^r—^ (^/x7) de ^x'"M°dules.

Proposition (10.8.8). — (i) Le fondeur ^'^ (en ^ ) est exact.

(ii) U homomorphisme fonctoriel ^ : i*{^) -> ^ / x ' de {0^) ^-Modules est un isomorphisme.

(i) II suffit de prouver que si o->y'—^^'-^y1->o est une suite exacte de

^x'Modules cohérents, et U un ouvert affine de X, d'anneau noethérien A, la suite o-^UnX7, ^;x-) -> rÇUnX7, ^/x') -> ^(UnX/, ^;x')^o

est exacte. On a alors <^|U==M, ^'/|U=M/, ^"\V==.M", où M, M7, M" sont trois A-modules de type fini tels que la suite o->M.l->M-^M"->o soit exacte (1.5.1 et 1.3.11) ; soit /^<S> et soit 3 un idéal de A tel que ^[U==3. On a alors

rounx

⁷

, y®^Qx^/

ⁿ

}='^®KW

ⁿ

)

(1.3.12) ; donc, par définition de la limite projective, on a

rCUnX7, ^xO-^CM®^/^^!^

n

séparé complété de M pour la topologie 3-préadique, et de même I^UnX⁷, e^;x0 =M^/, I^UnX⁷, ^;x0 ==M."

notre assertion résulte alors de ce que lorsque A est noethérien, le foncteur M en M est exact sur la catégorie des A-modules de type fini (0, 7.3.3).

196

(ii) La question étant locale, on peut supposer que l'on a une suite exacte (9^(9^->y->Q (0, 5.3.2) ; comme y^ est fonctoriel, et que les foncteurs z*^) et 3F ^, sont exacts à droite (d'après (i) et (0, 4.3.1)), on a le diagramme commutatif

r(^x) ^W) ->W-^o

(I0.8.8.I) y» ^ Y»

(^)/X^(^)/X'-^X'-->0

dont les lignes sont exactes. En outre, les deux foncteurs i*^) et e^/x' commutent aux sommes directes finies (0, 3.2.6 et 4.3.2) et on est donc ramené à démontrer notre assertion pour ^==0^. On a alors i*{Q^=={Q^ ^'==(0^ (O? 4 - 3 - 4 ) 3 et Ï^ est un homo-morphisme de (9 ^-Modules ; il suffit donc de vérifier que y^ transforme la section unité de fi^ au-dessus d'un ouvert de X7 en elle-même, ce qui est immédiat et montre donc que dans ce cas y* est l'identité.

Corollaire (10.8.9). — Le morphisme d^ espaces annelés i : X/x'-^X est plat,

Cela résulte en effet de (0, 6.7.3) et de (10.8.8, (i)).

Corollaire (10.8.10). — Si 3^ et ^S sont des 0^-Modules cohérents, il existe des isomor-phismes canoniques fonctoriels (en 3F et (S)

( 1 0 . 8 . 1 0 . 1 ) (^/x')®(^)/x'(^/x0 ^ (^®<^)/x⁷ (10.8.10.2) (^m^(^, ^))/x' ^e^m^/x^/x^ ^/x0

Cela résulte de l'identification canonique de F^) et de e^/x' $ l'existence du premier isomorphisme est alors un résultat valable pour tous les morphismes d'espaces annelés (0, 4.3.3.i) et celle du second est un résultat valable pour tous les morphismes plats (0, 6.7.6), donc découle de (10.8.9).

Proposition ( 1 0 . 8 . 1 1 ) . — Pour tout 0^-Module cohérent e^', le noyau de Vhomomorphisme canonique F(X, e^) -> r(X/, e^x') déduit de ^->^/x' est formé des sections nulles dans un voisinage de X\

II résulte de la définition de e^/x' ç^c l'image canonique d'une telle section est nulle. Réciproquement, si ^er(X, e^) a une image nulle dans FÇX', ^/x7)? il suffit de voir que tout A:eX' admet un voisinage dans X dans lequel s est nulle, et on peut donc se ramener au cas où X==Spec(A) est affine, A noethérien, X'=V(3)î où 3 est un idéal de A, et ^'==M, où M est un A-module de type fini. Alors r(X7, <^'/x0 est le séparé complétée de M pour la topologie ^-présidiqïie, et l'homomorphisme r(X, ^) -> I^X7, e^'/xO est

l'homomorphisme canonique M—AÏ. On sait (0, 7.3.7) que le noyau de cet homo-morphisme est l'ensemble des ^eM annulés par un élément de i+3- On a donc Çï-{-f)s==o pour un fe^ $ pour tout ;veX' on en déduit (laî+^-^^o? et comme i^+X est inversible dans ^ {'Sx^x etant contenu dans l'idéal maximal de 6^), on a ^==0, ce qui démontre la proposition.

Corollaire (10.8.12). — Le support de y ' ^ est égal à Supp^^X'.

Il est clair que 3F ^ est un (fi^/x'-Module de type fini (10.8.8, (ii)) et (0, 5.2.4)3

197

donc son support est fermé (0, 5 . 2 . 2 ) et évidemment contenu dans Supp(^)nX⁷. Pour montrer qu'il est égal à ce dernier ensemble, on est aussitôt ramené à prouver que la relation ^{~Kf,^r^)=o entraîne SvippÇ^n'K'=0', or cela résulte de (10.8.11) et de ( i . 4 . 1 ) .

Corollaire (10.8.13). — Soit u : y—^^S un homomorphisme de (0^-Modules cohérents.

Pour que u,^ : ^/x' ^-> ^/x^{7 soî}^ ^nu^ il faut ^ il suffit que u soit nul dans un voisinage de X⁷. En effet, d'après (10.8.85 (ii)), u^, s'identifie à i*(u), donc si on considère u comme une section au-dessus de X du faisceau ^ =^om^ ( y , ^), u^. est la section de f(J^)==J^/x' au-dessus de X' qui lui correspond canoniquement ((10.8.10.2) et (0, 4.4.6)). Il suffit donc d'appliquer (10.8.11) au ^x-Module cohérent J^.

Corollaire (10.8.14). — Soit u : y—>^S un homomorphisme de 0^-Modules cohérents.

Pour que u,y soit un monomorphisme (resp. un épimorphisme), il faut et il suffit que u soit un monomorphisme (resp. un épimorphisme) dans un voisinage de X7.

Soient 8^ et ^ le conoyau et le noyau de u, de sorte qu'on a la suite exacte o-^-^^-^^^-^o, d'où (10.8.8, (i)) la suite exacte

v Ix' u Ix' w Ix'

0-^T/x' ——^ ^IX' -^ ^IX' ——^ ^/x'->0.

Si u^, est un monomorphisme (resp. un épimorphisme), on a v^r=o (resp. w^==o), donc il y a un voisinage de X' dans lequel y==o (resp. w==o) en vertu de (10.8.13).

io.9. Prolongement d'un morphisme aux complétés.

( 10.9.1) Soient X, Y deux préschémas (usuels) localement noethériens, /: X->Y un morphisme, X' (resp. Y') une partie fermée de l'espace sous-jacent X (resp. Y), telles que yÇX^cY7. Soit / (resp. Jf) un faisceau d'idéaux de 0^ (resp. (Py) tel que le support de Q^\ / (resp. ^y/jT) soit X⁷ (resp. Y⁷) et que ./"(^fi^^? ^on notera qu'il existe toujours de tels faisceaux d'idéaux, car on peut par exemple prendre pour / le plus grand faisceau d'idéaux de (9^ définissant un sous-préschéma de X ayant X7

pour espace sous-jacent ( 5 . 2 . 1 ) 3 et l'hypothèse /(X7) cY' entraîne alors /"(^fi^^

(5.2.4). On a donc pour tout entier n> o, /* (Jf^) (9^ c /n ( 0 , 4 . 3 . 5 ) ; par suite (4.4.6), si on pose X^=(X7, ^/n+l), Y^Y7, ^/jr^1), on déduit d e / u n morphisme f^ : X^Y^, et il est immédiat que les f^ forment un système inductif. Nous désignerons sa limite inductive (10.6.8) par / : X/x' -> Y/y', et nous dirons (par abus de langage) que/^ est le prolongement de f aux complétés de X et Y le long de X7 et Y7. Il est immédiat de vérifier que ce morphisme ne dépend pas du choix des faisceaux d'idéaux /', jf vérifiant les conditions ci-dessus. Il suffit de le voir en effet lorsque X et Y sont des schémas affines

/-^/ r-w'

noethériens d'anneaux A, B ; alors ^=3, ^T=A, où 3 (resp. 9i) est un idéal de A (resp. B), y correspond à un homomorphisme d'anneaux 9 : B->-A tel que 9(^)0 3 (4.4.6 et 1.7.4) ; f est alors le morphisme qui correspond (10.2.2) à V homomorphisme continu 9 : B->A, où A (resp. B) est le séparé complété de A (resp. B) pour la topologie 3-pré-adique (resp. 5^-pré3-pré-adique) (10.6.8) $ et on sait que si on remplace / par un autre 198

/^»»-'

faisceau d'idéaux / ' = ^ y tel que le support de (S^\/1 soit encore X', les topologies 3-3réadique et ^T-préadique sur A sont les mêmes (10.8.2).

On notera que, d'après cette définition, l'application continue X'-^Y' des espaces sous-jacents à X/x' et Y/y^ qui correspond à/, n'est autre que la restriction à X' de/.

(10.9.2) II résulte aussitôt de la définition précédente que le diagramme de mcrphismes d'espaces annelés

JC^Y

-[ !'•

^{y y}

X — > Y /

est commutatif, les flèches verticales étant les morphismes canoniques (10.8.7).

(10.9.3) Soient Z un troisième préschéma, g : Y—^Z un morphisme, Z' une parne fermée de Z telle que g Ç Y ' ) cZ\ Si g désigne le complété le long de Y' et Z' du morphisme g, il résulte aussitôt de (10.9.1) que l'on a Çgof)^

==g°f-Proposition (10.9.4). — Soient X, Y deux S-préschémas localement noethériens^ Y étant de type fini sur S. Soient f, g, deux S-morphismes de X dans Y tels que /(X') cY', gÇK.') cY\

Pou; que f^g, il faut et il suffit que f et g coïncident dans un voisinage de X'.

La condition est évidemment suffisante (sans hypothèse de finitude sur Y). Pour voir qu'elle est nécessaire, remarquons d'abord que l'hypothèse / -==g implique f{x) ==g(x) pour tout A^eX⁷. D'autre part, la question étant locale, on peut supposer que X et Y sont des voisinages ouverts affines respectifs de x et de jy=f(x)==g{x), d'anneaux noethériens, que S est affine et que F (Y, Oy) est une F(S, ^g)-algèbre de type fini (6.3.3). Alors/et^

correspondent à deux F (S, ^g)-homomorphismes p, o- de F (Y, (Py) dans r(X, ^x) (i • 7 • 3)3 et par hypothèse, les prolongements par continuité de ces homomorphismes au séparé complété de ]'(Y, <îy) ^sont ^^es mêmes. On conclut de (10.8. i l ) que pour toute section j-er(Y, fi^y)?

les sections p(J) et a {s) coïncident dans un voisinage de X' (dépendant de s) ; comme F(YL (Py) est une algèbre de type fini sur F (S, ^g), on en déduit aussitôt qu'il existe un voisinage V de X' tel que p(J) et a {s) coïncident dans V pour toute section ^er(Y, (Py)-Si Âer(Y, fiy est te! q^ ^W solt un voisinage de x contenu dans V, on conclut de ce qui précède et de (1.4.1, d)) que/et g coïncident dans D(Â).

Proposition (10.9.5). — Sous les hypothèses de ( 1 0 . 9 . i), pour tout O^-Module cohérent ^, il existe un isomorphisme canonique fonctoriel de (<?x) /x'~Modules

(r(^))/x'^7*(^y')

Si on identifie canoniquement(/*(^))/x'à ixC/^^îet/^^/Y')3'/*^'^^)) (10.8.8), la proposition résulte aussitôt de la commutativité du diagramme de (10.9.2).

(io.9.6) Soient maintenant y un ^"Module cohérent, ^ un éy-Module cohérent.

Si u : ^—^y est un/morphisme de ^ dans ^^r, il lui correspond un ^x'homomorphisme u^ : l/*^)-^^, donc par complétion un (^x)/x'"homomorphisme continu (^)/x' :

(/*(^))/x'"^ ^/x'î et en vertu de (10.9.5) il existe un j^morphisme v : ^/y-> ^/x'?

199

et un seul, tel que y#=(^)^'. Si on considère les triplets (^'3 X, X') (J^ étant un

^x-Module cohérent et X' une partie fermée de X) comme une catégorie, les morphismes (^r, X, X')—»-^, Y, Y') consistant en un morphisme de préschémas f : X->Y tel que fÇK.^cV et en un y-morphisme u : <^-^^', on peut donc dire que (X/x7? ^/x') est un fondeur en {^^r, X, X⁷), prenant ses valeurs dans la catégorie des couples (3?^) formés d'un préschéma formel localement noethérien 3 et d'un ^-Module J^, les morphismes de cette dernière catégorie consistant en les couples formés d'un morphisme g de préschémas formels et d'un ^-morphisme.

Proposition (10.9.7). — Soient S, X, Y trois préschémas localement noethériens, g : X-^S, h : Y->S deux morphismes, S' une partie fermée de S, X' (resp. Y') une partie fermée de X (resp. Y) telle que g(X.')cS' (resp. hÇY')cS')', soit Z = X X g Y $ supposons Z localement noethérien, et soit Z'^p^^K^nq^ÇY'), où p et q sont les projections de XXgY. Dans ces conditions, le complété Z,y s'identifie au produit des S ^.-préschémas formels (X/x') X g , (Y/y⁷) les morphismes structuraux s'identifiant à g et "h, et les projections à p et q.

Il est immédiat que la question est locale pour S, X et Y, et on est donc ramené au cas où S=Spec(A), X=Spec(B), Y=Spec(G), S'=V(3), X-=V(^), Y'=V(fi), où 3, S{, -Û sont trois idéaux tels que 9(3)c et ^(3)cfi, en désignant par 9 et ^ les homomorphismes A—^B et A->G qui correspondent à g et h. Alors on sait que Z=Spec(B®^G) et que Z'^V^m), où 3JÎ est l'idéal Im(^®^G)+Im(B0^fi). La conclusion résulte (10.7.2) de ce que le produit tensoriel complété (B®^G)" (où À, Ê, Ô sont respectivement les séparés complétés de A, B, G pour les topologies 3-5 ^- et fi-préadiques) est le séparé complété du produit tensoriel B(x)^G pour la topologie ÏR-préadique (0, 7.7.2).

On notera en outre que si T est un S-préschéma localement noethérien, u : T->X, v : T->Y deux S-morphismes, T une partie fermée de T telle que u ( T ' ) cX', ^(T) cY7, alors le prolongement aux complétés ((^, y) g)" s'identifie à (S, î ) g .

Corollaire (10.9.8). — Soient X, Y deux S-préschémas localement noethériens tels que X X g Y soit localement noethérien; soient S' une partie fermée de S, X⁷ (resp. Y') une partie fermée de X (resp. Y) dont l'image dans S est contenue dans S'. Pour tout S-morphisme f : X—^Y tel que /(X7) cY', le morphisme graphe F^ s'identifie au prolongement {T^ du morphisme graphe def.

Corollaire (10.9.9). — Soient X, Y deux préschémas localement noethériens, f : X-^Y un morphisme. Y⁷ une partie fermée de Y, X^^^^Y'). Alors le préschéma X/x⁷ s'identifie par le diagramme commutatif

X <- X/x'

'! [

^{Y Y}

^r

Y < - Y ^

au produit X X y (Y/y⁷ ) ^ préschémas formels.

Il suffit d'appliquer (10.9.7) en remplaçant S et S' par Y, X et X7 par X.

200

Remarque (10.9.10). — Si X est la somme X^uXg (3.1), X' la réunion X^uXg, où X^ est une partie fermée de X^ {i== i, 2)3 on voit aussitôt que l'on a Xp^^X^xi11^^*

Dans le document Éléments de géométrie algébrique : I. Le langage des schémas (Page 193-200)