(7.2.1) Toute limite projective d'anneaux discrets est évidemment un anneau linéairement topologisé, séparé et complet. Inversement, soit A un anneau linéairement topologisé, et soit (3x) un système fondamental de voisinages ouverts de o dans A formé
d'idéaux. Les applications canoniques <p^ : A->A/y forment un système projectif de représentations continues et définissent donc une représentation continue y : A->limA/y;
si A est séparé, cp est un isomorphisme topologique de A sur un sous-anneau partout dense de limA/3^; si, en outre, A est complet, y est un isomorphisme topologique de A sur limA/y.
Lemme (7.2.2). — Pour qu'un anneau linéairement topologisé soit admissible, il faut et il suffit qu'il soit isomorphe à une limite projective A==limA^, où (A^, u^) est un système projectif d'anneaux discrets ayant pour ensemble d'indices un ensemble ordonné filtrant L {pour ^) qui admet un plus petit élément noté o et satisfait aux conditions suivantes : i° les u-^ : A—>A-^ sont surjectifs ; 2° le noyau 3x ae ^ox : ^À'^^O est ^iipotent. Lorsqu'il en est ainsi, le noyau 3 de UQ : A->A() est égal à limy.
La nécessité de la condition résulte de ( 7 . 2 . i), en prenant pour (3^) un système fondamental de voisinages de o formé d'idéaux de définition contenus dans l'un d'eux 3o et appliquant (7.1.4, (i)). La réciproque résulte de la définition d'une limite projective et de ( 7 . 1 . 2 ) , et la dernière assertion est immédiate.
(7.2.3) Soient A un anneau topologique admissible, 3 un idéal de A contenu dans un idéal de définition (autrement dit (7.1.4) tel que (V) tende vers o) ; on peut considérer sur A la topologie d'anneau ayant pour système fondamental de voisinages de o les puissances y (n> o) ; nous l'appellerons encore la topologie ^-préadique.
L'hypothèse que A est admissible entraîne que nV^0? donc la topologie 3-préadique
^ n
sur A est séparée ; soit A=limA/y le complété de A pour cette topologie (où les A/y sont munis de la topologie discrète), et désignons par u l'homomorphisme d'anneaux
^\
A->A (non nécessairement continu), limite projective de la suite d'homomorphismes u^ : A->A/y. D'autre part, la topologie 3-préadique sur A est plus fine que la topologie donnée ST sur A ; comme A est séparé et complet pour c^", on peut prolonger par continuité l'application identique de A (muni de la topologie 3-préadique) dans A muni de y ; cela donne une représentation continue v : A->A.
Proposition (7.2.4). — Si A est un anneau admissible et 3 ^t contenu dans un idéal de définition de A, A est séparé et complet pour la topologie ^-préadique.
En effet, avec les notations de ( 7 . 2 . 3 ) , il est immédiat que vou est l'application identique de A. D'autre part, u^ov : A-^A/y est le prolongement par continuité (pour la topologie 3-préadique sur A et la topologie discrète sur A/y) de l'application
cano-^
nique u^ ; autrement dit, c'est l'application canonique de A== limA/y sur A/y ; uov est
^
donc limite projective de cette suite d'applications, c'est-à-dire par définition l'application
^.
identique de A ; ceci démontre la proposition.
Corollaire (7.2.5). — Sous les hypothèses de ( 7 . 2 . 3 ) 3 les conditions suivantes sont équivalentes :
a) L'homomorphisme u est continu ;
63
b) U homomorphisme v est bicontinu ; c) A est un anneau ^-adique.
Corollaire (7.2.6). — Soient A un anneau admissible, 3 un idéal de définition de A. Pour que A soit noethérien^ il faut et il suffit que A/3 soit noethérien et que 3/32 soit un (A/^3) -module de type fini.
Ces conditions sont évidemment nécessaires. Inversement, supposons-les vérifiées ; comme en vertu de (7.2.4) A est complet pour la topologie 3-préadique, pour qu'il soit noethérien, il faut et il suffit que l'anneau gradué associé grad(A) (pour la filtration des y) le soit ([i], p. 18-07, th. 4). Or, soient a^, . . ., a^ des éléments de 3 dont les classes mod. 32 sont des générateurs de 3/32 en tant q^ A/3-module. Il est immédiat par récurrence que les classes mod. y+1 des monômes de degré total m en les ^ (i < î ^ n) forment un système de générateurs du (A/3)-module 3^/3^1. On en conclut que grad(A) est un anneau isomorphe à un quotient de (A/3)[Ti, ..., TJ (T^ indéterminées), ce qui achève la démonstration.
Proposition (7.2.7). — Soit (A^, u^ un système projectif (î'eN) d'anneaux discrets, et pour tout entier i, soit 3» le noyau dans A^ de l'homomorphisme u^ : A^-^AQ. On suppose que : a) Pour i ^ j , u^ est surjectif et son noyau est S^1 (donc A^ est isomorphe à A^/3^1
)-b) 3i/3î ( == 3i) €st un module de type fini sur \ == Ai/3i.
Soit A==limA^, et pour tout entier TZ^O, soient u^ r homomorphisme canonique A->A,^, i
^(^+i)^^ ^Q^ noyau. Dans ces conditions :
(i) A est un anneau adique, ayant pour idéal de définition 3 = ^^
(ii) On a ^^y pour tout T Z > I .
(iii) 3/32 es^ isomorphe à 3l=:=3l/3Î5 e^ ^st par suite un module de type fini sur Ao==A/3.
L'hypothèse de surjectivité des u^ entraîne que u^ est surjectif ; en outre, l'hypo-thèse a) implique que 35+1==05 donc A est un anneau admissible ( 7 . 2 . 2 ) ; par définition, les ^{n} forment un système fondamental de voisinages de o dans A, donc (ii) entraîne (i).
En outre, on a 3 == lim^, et les applications 3-^3» sont surj écrives, donc (ii) entraîne (iii),
i
et on est ramené à prouver (ii). Par définition, ^{n} est formé des éléments (^)^>o de A tels que ^==0 pour k<n, donc ^^ c^^ autrement dit les ^ constituent une filtration de A. D'autre part, ^Y^"4'^ est isomorphe à la projection de 3^ sur A^ ; comme ^^lim^, cette projection n'est autre que 3^, qui est un module sur
?^n
^^n/^n- Soient alors a^=(a^^o r éléments de 3==3(l) tds que u n , . . . , a^
forment un système de générateurs de 3i sur AQ ; nous allons voir que l'ensemble S^
des monômes de degré total n en les a^ engendre l'idéal ^S^ de A. Comme c^+l=o, il est clair tout d'abord que S^c^ 5 puisque A est complet pour la filtration O^)?
il suffit de prouver que l'ensemble S^ des classes mod. ^"^ des éléments de S^ engendre le module gradué gradO^) sur l'anneau gradué grad(A) pour la filtration précédente ([i], p. 18-06, lemme) ; en vertu de la définition de la multiplication dans grad(A), 64
il suffira de prouver que pour tout m, S^ est un système de générateurs du Aç-module
^(m)y^(w+i)^ ou encore que 3^ est engendré par les monômes de degré m en les û ^ ( i < j ^ r ) . Pour cela, il reste à montrer que 3m est (en tant que A^-module) engendré par les monômes de degré ^m par rapport aux a^ ; la proposition étant évidente par définition pour m== 15 raisonnons par récurrence sur m, et soit 3m le sous-A^-module de 3m engendré par ces monômes. La relation 3m-l:=3w/-3m et l'hypothèse de récurrence prouvent que 3m-X+3m d'où, puisque 3;+l=o, l'on tire 3;=X^ et finalement 3m-X-Corollaire (7.2.8). — Sous les conditions de (7.2.7), pour que A soit noethérien, il faut et il suffit que AQ le soit,
Cela résulte aussitôt de (7.2.6).
Proposition (7.2.9). — Supposons vérifiées les hypothèses de ( 7 . 2 . 7 ) : pour tout entier i, soit M^ un A^module, et, pour i ^ j , soit v^ : My->M^ un u^-homomorphisme, tels que (M^, v^
soit un système projectif. Supposons en outre que Mç soit un A^-module de type fini, que v^. soit surjectif et que son noyau soit 3î•+lM^ Alors M = limM^ est un A-module de type fini, et le noyau du u^-homomorphisme surjectif v^ : M—>-M^ est 3n+lM (de sorte que My^ s'identifie à
MI y
+^ = M ®^ (AI y
+1) ).
Soient ^== (^;)^>o im système de s éléments de M tels que les ^0(1 ^h^s) forment un système de générateurs de Mo ; on va montrer que les ^ engendrent le A-module M, Le A-module M est séparé et complet pour la filtration formée par les M^, où M^ est l'ensemble des y== (j^;)fc>o de M tels que j^;==o pour k<n ; il est clair que Pon a ^McM^ et que M(n}|M{n+l) =^M^ On est donc ramené à montrer que les classes des ^ mod. M^ engendrent le module gradué grad(M) (pour la filtration précédente) sur Panneau gradué grad(A) ([i], p. 18-06, lemme) ; pour cela, on constate aisément qu'il suffit encore de prouver que les ^ (i^h^s) engendrent le A^-module M^.
On raisonne de nouveau par récurrence sur n, la proposition étant évidente par définition pour n = o ; la relation M^__^ = M^/3^M^ et l'hypothèse de récurrence montrent que si M^ est le sous-module de M^ engendré par les ^, on a M^==M^+3î^, et comme 3n est niipotent, cela entraîne M^=M^. Le même raisonnement de passage aux modules gradués associés montre que l'application canonique de 3(n)M dans M^ est surjective (donc bijective), autrement dit que 3(n)M==3nM est le noyau de M-^M^.
Corollaire (7.2.10). — Soit (N^, w^) un second système projectif de A^-modules vérifiant les conditions de (7.2.9)3 et soit N==limN^ II y a correspondance biunivoque entre les systèmes projectifs (h^) de A^-homomorphismes h^ : M^N^ et les homomorphismes de A-modules h : M->N
(qui sont nécessairement continus pour les topologies ^-adiques).
Il est clair que si h : M->N est un A-homomorphisme, on a Â(3nM) 03^, d'où la continuité de h ; par passage aux quotients, il correspond donc à h un système projectif de A^-homomorphismes h^ : M^->N^, dont h est la limite projective, d'où le corollaire.
Remarque (7.2.11). — Soit A un anneau adique ayant un idéal de définition 3 tel que 3/32 solt un (A/3)-module de type fini ; il est clair que les A^A/3^1 vérifient
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les conditions de (7.2.7) ; comme A est la limite projective des A,, on voit que la prop. (7.2.7) donne la description de tous les anneaux adiques du type considéré (et en particulier de tous les anneaux adiques noethériens).
Exemple (7.2.12). — Soient B un anneau, 3 un idéal de B tel que 3/32 soit un module de type fini sur B/3 (ou sur B, ce qui revient au même) ; posons A^imB/y4"1 ;
n
A est le séparé complété de B muni de la topologie 3-préadique. Si A^B^^S il est immédiat que les \ vérifient les conditions de ( 7 . 2 . 7 ) ; donc A est un anneau adique et si 3 est l'adhérence dans A de l'image canonique de 3? 3 est un idéal de définition de A,
^ est l'adhérence de l'image canonique de y, A/3" s'identifie à B/y et 3/32 est isomorphe à 3/32 en tant q^ (A/3)-module. De même, si N est tel que N/3N soit un B-module de type fini, et si on pose M^N/^^N, M==limM^ est un A-module de type fini, isomorphe au séparé complété de N pour la topologie 3-Préadi(lueî 3"M s'identifie à l'adhérence de l'image canonique de 3^, et M/^M à N^N.