(7.6.1) Soient A un anneau linéairement topologisé, (3^) un système fondamental de voisinages de o dans A formé d'idéaux, S une partie multiplicative de A. Soit u^
l'homomorphisme canonique A->A^==A/3^, et pour 3^c3^, soit u^ l'homomorphisme canonique A^-^A^. Posons S^==^(S), de sorte que ^(SJ=S^. Les u^ donnent canoniquement des homomorphismes surjectifs S^A^ -> S^A^, pour lesquels ces anneaux forment un système projectif ; désignons par A{S-1} la limite projective de ce système.
Cette définition ne dépend pas du système fondamental de voisinages (3^) choisi ; en effet : Proposition (7.6.2). — U anneau A{S'~1} est topologiquement isomorphe au séparé complété de Panneau S^A pour la topologie dont un système fondamental de voisinages de o est formé des S-^x.
En effet, si v^ est l'homomorphisme canonique S^A -> S^A^ déduit de u^ le noyau de v-^ est S"^^ et v^ est surjectif, d'où la proposition ( 7 . 2 . 1 ) .
Corollaire (7.6.3). — Si S ' est l'image canonique de S dans le séparé complété À de A, A{S—1} s'identifie canoniquement à A^S'""1}.
On notera que même si A est séparé et complet, il n'en est pas de même de S^A pour la topologie définie par les S""1^, comme on le voit par exemple en prenant pour S l'ensemble des /n (n^o), où/est topologiquement niipotent et non niipotent : en effet, S^A n'est pas réduit à o et d'autre part, pour tout À il existe n tel que /^J^, donc
i^/feS-^ et S-^S^A.
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Corollaire (7.6.4). — Si, dans A, o n'est pas adhérent à S, F'anneau A{S--1} n'est pas réduit à o.
En effet, o n'est pas adhérent à {1} dans l'anneau S^A ; sinon, on aurait i eS"^
pour tout idéal ouvert 3^ de A, et il en résulterait que 3^n S 4= 0 pour tout À, contrairement à l'hypothèse.
(7.6.5) Nous dirons que A{S~1} est Vanneau complet des fractions de A ayant leurs dénominateurs dans S. Avec les notations précédentes, il est clair que l'image réciproque de S"'1^ dans A contient 3^, donc l'application canonique A-^S^A est continue, et si on la compose avec l'application canonique S~1A-^A{S—1}5 on obtient un homomor-phisme canonique continu A->A{S~1}, limite proj écrive des homomorphismes A-^S^A^.
(7.6.6) Le couple formé de A{S~1} et de l'application canonique A-^A{S~1} est caractérisé par la propriété universelle suivante : tout homomorphisme continu u de A dans un anneau linéairement topologisé B, séparé et complet, tel que u (S) soit formé d'éléments inversibles dans B, se factorise d'une seule manière en A-^A{S~l}M>B, où u' est continu. En effet, u se factorise d'une seule manière en A-^S^A-^B ; comme pour tout idéal ouvert ^ de B, u^ÇSi) contient un 3^, v'^ÇSï) contient nécessairement S"^^, donc v ' est continu ; puisque B est séparé et complet, v ' se factorise d'une seule manière en S—1A-^A{S'"~1}->B, où u1 est continu ; d'où notre assertion.
(7.6.7) Soient B un second anneau linéairement topologisé, T une partie multi-plicative de B, 9 : A->-B un homomorphisme continu tel que <p(S)cT. D'après ce qui précède, l'homomorphisme continu A-^B->B{T~1} se factorise de façon unique en A->A{S—1}^B{T~1}, où 9' est continu. En particulier, si B==A et si <p est l'identité, on voit que pour ScT on a un homomorphisme continu p^8 : A{S~1} -> A{T~1} obtenu par passage au séparé complété à partir de S^A-^T^A ; si U est une troisième partie multiplicative de A telle que ScTcU, on a p^^ p^op^8.
(7.6.8) Soient Si, Sg deux parties multiplicatives de A, et soit Sg l'image canonique de Sg dans A{Si~1}; on a alors un isomorphisme topologique canonique
^^^^""^^^{Si'^Sg'""1}, comme on le voit en partant de l'isomorphisme cano-nique (S^^A ^ S^^S^A) (où Sg7 est l'image canonique de Sg dans S^A), qui est bicontinu.
(7.6.9) Soit a un idéal ouvert de A ; on peut supposer que 3^ca pour tout À, et par suite S~13^cS—lû dans l'anneau S^A, autrement dit, S^a est un idéal ouvert de S^A;
nous désignerons par û{S~1} son séparé complété, égal à lin^S'^a/S"1^), qui est un idéal ouvert de A{S—1}, isomorphe à l'adhérence de l'image canonique de S^û. En outre, l^ anneau discret A{S—l}/a{S—l} est canoniquement isomorphe à S'^A/S'^a^S'^A/a).
Inversement, si a' est un idéal ouvert de A{S—1}3 û' contient un idéal de la forme 3^{S~1}, donc est l'image réciproque d'un idéal de S^A/S"^, qui est nécessairement (1.2.6) de la forme S^a, où dDj^. On en conclut que l'on a û'^C^S""1}. En particulier ( i . 2.6) :
Proposition (7.6.10). — L'application p->p{S~1} est une bijection croissante de l'ensemble des idéaux premiers ouverts p de A tels que p n S == 0 sur l'ensemble des idéaux premiers ouverts 73
10
de A{S--1} ; en outre, le corps des fractions de A{S-l}/p{S~l} est canoniquement isomorphe à celui de A/p.
Proposition (7.6.11). — (i) Si A est un anneau admissible, il en est de même de A/==A{S-1} et pour tout idéal de définition 3 de A, ^^{S-1} est un idéal de définition de A7.
(iï) Soient A un anneau adique, 3 un idéal de définition de A tel que 3/32 soit de type fini sur A/3 ; alors A' est un anneau ^'-adique et 37372 est de type fini sur A f^'. Si en outre A est noethérien, il en est de même de A ' .
(i) Si 3 est un idéal de définition dans A, il est clair que S~~1^ est un idéal de définition dans Panneau topologique S^A, car on a (S"^)^ S^y. Soit A" l'anneau séparé associé à S^A, ^/ / l'image de S-^ dans A7 7 ; l'image de S-^ est 3^, donc 3'^
tend vers o dans A" ; comme 3' est l'adhérence de 3" dans A, ^ 'n est contenu dans l'adhérence de 3//^ donc tend vers o dans A'.
(ii) Posons A^A^"1'1, et pour i^j, soit u^ l'homomorphisme canonique A/3?+1--^A/3^+1; soit S, l'image canonique de S dans A,, et posons A^S^A,; soit enfin u'^ : Ay'-^A^ l'homomorphisme déduit canoniquement de ^.. Montrons que le système projectif (A,', u'^ vérifie les conditions de la prop. ( 7 . 2 . 7 ) : il est clair que les u^
sont surjectifs ; d'autre part, le noyau de ^ est S^O^1^1) ( 1 . 3 . 2 ) , égal à ^i+l, où S—S^O^) ; enfin, TO^S^O/S2), et comme 3/32 est de type fini sur A/32, 3i/3i2 est de type fini sur Ap Enfin, si A est noethérien, il en est de même de A^S^A^), ce qui achève de démontrer la proposition (7.2.8).
Corollaire (7.6.12). — Sous les hypothèses de (7.6.11, (ii)), on a (3{S~l})n=3n{S-l}.
Gela résulte en effet de (7.2.7) et de la démonstration de (7.6.11).
Proposition (7.6.13). — Soient A un anneau adique noethérien, S une partie multiplicative de A ; alors A{S~1} est un A-module plat.
En effet, si 3 est un idéal de définition de A, A{S-1} est le séparé complété de l'anneau noethérien S^A muni de la topologie S'^-préadique ; par suite (7.3.3) A{S~1} est un S^A-module plat ; comme S^A est un A-module plat (6.3.1), la proposition résulte de la transitivité de la platitude ( 6 . 2 . 1 ) .
Corollaire (7.6.14). — Sous les hypothèses de (7.6.13), soit S'cS une seconde partie multiplicative de A ; alors A{S--1} est un A{S/—1} -module plat.
En effet (7.6.8), A{S-1} s'identifie canoniquement à A{S/-l}{So-l}, où S, est l'image canonique de S dans A{S/-1}, et A{S/-1} est noethérien (7.6.11).
(7.6.15) Pour tout élément y d'un anneau linéairement topologisé A, nous dési-gnerons par A^ l'anneau complet de fractions A{S^~1}, où S^ est l'ensemble multiplicatif des/" (n^-6) ; pour tout idéal ouvert a de A, nous écrirons dm au lieu de a{S:~1}. Si g est un second élément de A, on a un homomorphisme canonique continu A r n — ^ A r . . (7.6.7).
Lorsque / parcourt une partie multiplicative S de A, les A^ forment donc un système inductif filtrant d'anneaux pour les homomorphismes précédents ; nous poserons A^==limA^. Pour tout /eS, on a un homomorphisme A^->A{S"~1} (7.6.7), et
7^
ces homomorphismes forment un système inductif ; par passage à la limite inductive, ils définissent donc un homomorphisme canonique A.s}->A{S~1}.
Proposition (7.6.16). — Si A est un anneau noethérien, A{S-1} est un module plat sur A^.
En effet (7.6.14), A{S-1} est plat sur chacun des anneaux A^ pour /eS, et la conclusion résulte de (6.2.3).
Proposition (7.6.17). — Soit p un idéal premier ouvert dans un anneau admissible A, et soit S = A — p . Alors les anneaux A{S-1} et A^ sont des anneaux locaux, F homomorphisme canonique A^->A{S-1} est local et les corps résiduels de A^ et A{S-1} sont canoniquement isomorphes au corps des fractions de A/p.
En effet, soit 3cp un idéal de définition de A ; on a S-^cS-1? =pAp, donc
^/^S ^t un anneau local; on conclut de ( 7 . 1 . 1 2 ) , (7.6.9) et (7.6.11, (i)) que A{S~1} est un anneau local. Posons m = limp^, qui est un idéal de A^ ; nous allons voir
Tit
que tout élément de A^ n'appartenant pas à m est inversible. En effet, un tel élément est l'image dans A^ d'un élément ^A^ n'appartenant pas à p^, pour un /eS ; son image canonique ^ dans A^/3^ = S^(A/3) n'appartient donc pas à S^p/^) (7.6.9), ce qui signifie que ^==^7^ où x(f:p et ï,/sont les classes de A:,/mod. 3. Comme xeS, on a g==xfeS, et dans S^A, j^==^+1/^ image canonique de x/f^S^A, admet un inverse ^-y2^. Cela entraîne a fortiori que l'image de ^ dans S^A/S^g est inversible, donc (7.6.9 et 7.1.12) l'image canonique^ de ^ dans A^ est inversible; l'image de ^ dans A^ (égale à celle dej^) est par suite inversible. On voit donc que A^ est un anneau local d'idéal maximal m ; en outre, l'image de p^ dans A{S-1} est contenue dans l'idéal maximal p{S-1} de cet anneau ; a fortiori, l'image de m dans A{S-1} est contenue dans p{S-1}, donc l'homomorphisme canonique A^}-^A{S~1} est local. Enfin, comme tout élément de A{S-l}/p{S-l} est image d'un élément d'un anneau S^A pour un /eS convenable, Phomomorphisme A^-^^S^^S"^} est surjectif, et donne
donc par passage aux quotients un isomorphisme des corps résiduels.
Corollaire (7.6.18). — Sous les hypothèses de (7.6.17), si on suppose de plus que A est un anneau adique noethérien, les anneaux locaux A{S-1} et A^ sont noethériens, et A{S-1} est un A^-module fidèlement plat.
On sait déjà (7.6.11, (ii)) que A{S-1} est noethérien et A^-plat (7.6.16);
comme l'homomorphisme A^->A{S-1} est local, on en conclut que A{S-1} est un A^-module fidèlement plat (6.6.2), et par suite que A^ est noethérien (6.5.2).