est discutable et nous expliquons notre position dans la suite. Les contrats fu-tures ne sont pas de même nature que les dépôts ou les swaps. Tout d’abord, la négociation des contrats futures est essentiellement électronique (à l’exception du marché de Chicago), donc très rapide, ce qui n’est pas le cas des dépôts et des swaps qui se négocient par téléphone. Ensuite, la vente ou l’achat d’un contrat future n’entraîne aucun paiement immédiat (à l’exception du paiement d’un dé-pôt de garantie) contrairement aux deposits qui entraînent le décaissement de la somme empruntée. En…n, la négociation des futures ne nécessite pas la mise en place d’un contrat de gré à gré comme les opérations de swaps. En d’autres termes, la négociation des contrats futures est très souple (pas de contrat) et peu coûteuse (pas de décaissement d’argent à la mise en place). Pour ces di¤érentes raisons, les contrats futures sont les instruments privilégiés des arbitragistes et des spéculateurs qui peuvent ainsi prendre une position sur le marché et l’an-nuler dans un intervalle de temps très court. Une conséquence en est que les cotations des contrats futures peuvent être très instables : il n’est pas rare de voir le prix d’un contrat donné s’écarter brusquement de son niveau d’équi-libre simplement parce que des opérateurs viennent d’intervenir sur ce contrat pour des tailles importantes. Dans ces conditions, on ne peut pas considérer que les cotations des contrats futures re‡ètent le niveau intrinsèque des taux, car elles incluent une prime spéculative non négligeable. Pour les di¤érentes raisons que nous venons d’évoquer, nous proposons de construire la courbe zéro-coupon seulement à partir des taux de deposits et des taux de swaps.
Dans la section suivante, nous montrons comment utiliser les deposits et les swaps de taux vanilles pour extraire les facteurs d’actualisation aux maturités discrètes pour lesquelles nous avons une cotation.
(maturités moyennes et longues). Dans un premier temps, nous démontrons les formules qu’il faut appliquer pour reconstruire les facteurs d’actualisation à partir des deposits. Dans un second temps, nous proposons un algorithme récursif qui permet de déterminer les facteurs d’actualisation pour les swaps.
3.5.1 Facteurs d’actualisation associés aux deposits
Préliminaires
Données disponibles On utilise 11 maturités représentatives, appelées les ténors de la courbe.
– Deposits de maturité1jour ouvré : ON, TN, SN (voir paragraphe 3.4.2 pour une description de ces taux particuliers).
– Deposits de maturité inférieure à1 mois :1W,2W,3W.
– Deposits de maturité inférieure à1 an :1M,3M,6M,9M,12M.
Quelle que soit la devise considérée, les deposits ON (OverNight) et TN (Tom-Next) couvrent respectivement les périodest !tONdef= t 1 et tON !tSN def= t 2, où la notation i signi…e que l’on ajoute i jours ouvrés à la date t. Le dépôt SN (Spot-Next) couvre la périodetSN !t 3.
Pour toutes les devises, sauf pour la devise GBP (Livre Sterling), les deposits de maturité supérieure à une semaine commencent à la date spottSN, qui est située deux jours ouvrés après la datet (voir Annexe B). Pour la devise GBP, les deposits commencent ent.
Taux cotés Les deposits sont cotés en fourchette de taux Bid/Ask. Etant donné que nous ne souhaitons pas privilégier un sens pour les opérations, nous raisonnons sur les taux milieu de fourchette (ou taux "Mid") dé…nis par :
xMiddef
= xBid+xAsk
2 :
Le taux xMid peut être vu comme le taux théorique d’équilibre de l’opération considérée et l’intervalle [xBid; xAsk] comme l’intervalle de con…ance appliqué par le market-maker autour du taux xMid. La di¤érence xAsk xBid, appelée Bid/Ask spread, mesure le degré d’incertitude autour du prix théorique. Sur les deposits, le Bid/Ask spread est en moyenne de l’ordre de0:05%, ce qui traduit la con…ance des market-makers dans les prix proposés.
Correction des facteurs d’actualisation Notre objectif est d’obtenir une courbe de taux zéro-coupon dont la date de départ est égale à t (la date de calibration). Cela signi…e que, lorsque les ténors cotés ont pour date de départ tSN=t 2, il faut apporter une correction aux facteurs d’actualisation trouvés a…n de les convertir en facteurs d’actualisation dont la date de départ est égale àt. Le terme correcteur est déterminé en combinant les facteurs d’actualisation ON et TN qui couvrent respectivement les périodes t ! tON et tON ! tSN. Le graphique ci-dessous illustre le fonctionnement de l’ajustement proposé dans
le cas du deposit 1M. Les notations sont les suivantes : BON est le facteur d’actualisation ON,BTN est le facteur d’actualisation TN etB1Mest le facteur d’actualisation associé au ténor1M.
tSpot+1M tSpot
tON t
BON BTN B1M
tSpot+1M tSpot
tON t
BON BTN B1M
L’idée est de multiplier le facteurB1MparBONetBTNa…n d’obtenir un facteur d’actualisation qui couvre la période comprise entre la date courantet(incluse) et la date d’échéance correspondant au ténor1M(exclue). Nous justi…erons ces calculs dans la suite.
Facteur d’actualisation associé à un ténor quelconque
Formule générale Un deposit est un zéro-coupon, donc son prix est donné par la formule :
Bt(tVal; T) = 1
1 +xT Dep(tVal; T); (3.24) où tVal est la date de départ du dépôt, T sa date d’échéance, Dep(tVal; T) désigne le nombre d’années entre la datetVal(incluse) et la dateT(exclue) dans la base de calcul du dépôt considéré etxT est le taux milieu de fourchette coté10. Cette formule générale permet d’obtenir le facteur d’actualisation correspondant à chaque ténor.
Détermination de la date d’échéance La dateT est obtenue en ajoutant la maturité du deposit considéré (1 jour ouvré,1W,2W,3W,1M,3M,. . . ) à la date de valeur tVal. Quand la date ainsi obtenue ne correspond pas à un jour ouvré, elle est ajustée selon la convention Modi…ed Following.
Facteur d’actualisation Pré-Spot
Ténor OverNight Le ténor ON correspond à un placement sur un jour ouvré entre la datet et la datetON. Le facteur d’actualisation associé au dépôt ON est obtenu en remplaçanttVal partet T partON dans la formule (3.24) :
B(t; tON) = 1
1 +xON ON(t; tON); (3.25) oùxON est le taux OverNight milieu de fourchette et ON(t; tON)est le nombre d’années entre la datetet la date tON.
1 0On rappelle que pour toutes les devises, le taux coté est un taux linéaire annualisé.
Ténor Tom-Next Le ténor TN correspond à un placement sur un jour ouvré entre la datetON et la datetSN. Le facteur d’actualisation associé au dépôt ON est obtenu en remplaçanttVal partON etT partSN dans la formule (3.24) :
Bt(tON; tSN) = 1
1 +xTN TN(tON; tSN); (3.26) oùxTNest le taux Tom-Next milieu de fourchette et TN(tON; tSN)est le nombre d’années entre la datetON et la datetSN.
Obtention d’un facteur d’actualisation en départt
Lorsque la date de départ d’un deposit quelconque (i.e.tVal) est égale à la date spot, il faut corriger le facteur d’actualisation donné par (3.24) en le multi-pliant parB(t; tON)etBt(tON; tSN). SoitT > tSN la date d’échéance du ténor considéré, alors en utilisant la formule (3.4) on a :
B(t; T) = B(t; tSN)Bt(tSN; T)
= B(t; tON)Bt(tON; tSN)Bt(tSN; T): La quantité :
B(t; tSN)def= B(t; tON)Bt(tON; tSN); (3.27) est appelée facteur d’actualisation pré-spot. Elle correspond au facteur d’actua-lisation entre la datetet la datetSN.
3.5.2 Facteurs d’actualisation associés aux swaps
Préliminaires
La construction de la courbe zéro-coupon est e¤ectuée selon un processus ité-ratif, appelé méthode du "bootstrap" : chaque nouveau point de la courbe est calculé à partir des points précédemment construits. Comme nous le verrons dans la suite, cette approche suppose que nous disposons d’une cotation pour toutes les maturités multiples de la fréquence des paiements de la jambe …xe du swap. Lorsque ce n’est pas le cas, nous proposons une solution nouvelle qui permet d’extraire les facteurs d’actualisation isolés sans interpoler les taux manquants.
Hypothèses de travail Les hypothèses sur lesquelles reposent nos raisonne-ments sont les suivantes.
1. Les swaps cotés obéissent aux mêmes conventions de marché. En parti-culier, la période entre deux paiements de la jambe …xe (notée PF) et la période entre deux paiements de la jambe variable (notée PV) sont les mêmes pour tous les swaps.
2. Tous les swaps cotés ont la même date de départ.
3. La date de départ de chaque jambe coïncide avec la date de départ du swap.
4. Les dates d’échéance des deux jambes sont les mêmes.
5. On dispose d’un taux coté pour toutes les maturités de la forme Tn def= n PFavec1 n N.
La première hypothèse est vraie pour presque toutes les devises. En général, la fréquence de paiement de la jambe …xe est semestrielle (PF = 6M) ou annuelle (PF = 1Y). La fréquence de la jambe variable est toujours inférieure ou égale à la fréquence de paiement de la jambe …xe :PV = 3M,6M ou 1Y.
L’hypothèse 2 est toujours vraie. En général, la date de départ est la date courantetou la date spottSN=t 2.
Les hypothèses 3 et 4 sont toujours véri…ées en pratique.
L’hypothèse 5 n’est pas toujours véri…ée, car les cotations sont espacées irrégu-lièrement. On doit donc interpoler les cotations manquantes. Le procédé utilisé est décrit au paragraphe 3.5.2.
Démarche générale La démarche générale est la suivante. Le premier fac-teur d’actualisationT1est connu : il s’agit du facteur d’actualisation6M ou1Y obtenu à partir des taux de dépôt. Ensuite, on construit les facteurs d’actualisa-tion de proche en proche, le facteur d’actualisad’actualisa-tion d’échéanceTi étant obtenu à partir du facteur d’actualisation d’échéanceTi 1.
Evaluation d’un swap quelconque
Par dé…nition, une opération de swap est équitable, ce qui signi…e que les deux jambes du swap ont la même valeur de marché lors de la mise en place. Dans ce qui suit nous démontrons la formule d’évaluation de la jambe variable.
Notations On noteftj:j= 1; : : : ; mg les dates de paiement de la jambe va-riable du swap etfTi :i= 1; : : : ; ngles dates de paiement de la jambe …xe. Soit t0 (resp. T0), la date de départ de la jambe variable (resp. de la jambe …xe).
D’après les hypothèses 2 et 3,
tVal=t0=T0: (3.28)
SoitT la date d’échéance du swap, d’après l’hypothèse 4, on a :
T =tm=Tn: (3.29)
On pose :
j = V(tj 1; tj); j= 1; : : : ; m; (3.30)
i = F(Ti 1; Ti); i= 1; : : : ; n: (3.31) Les notations Vet F indiquent que les bases de calcul sont propres à chaque jambe. En…n, le taux variable (EURIBOR ou LIBOR) payé en datetj est noté
Lj(ce taux est …xé entj 1). Le taux …xe du swap (taux milieu de fourchette) est notéxn. Le graphique ci-dessous illustre le fonctionnement du swap présenté (la période des paiements de la jambe …xe est le double de la période des paiements de la jambe variable).
xn∆1
L1δ1
xn∆2 xn∆3
L2δ2 L3δ3 L4δ4 L5δ5 L6δ6 t6
t1 t2 t3 t4 t5
Branche Fixe
Branche Variable
T1 T2 T3
xn∆1
L1δ1
xn∆2 xn∆3
L2δ2 L3δ3 L4δ4 L5δ5 L6δ6 t6
t1 t2 t3 t4 t5
Branche Fixe
Branche Variable
T1 T2 T3
Evaluation de la jambe variable SoitJVn0 la valeur de marché de la jambe variable à la date de départt0> t. En AOA, elle est égale à la somme des ‡ux variables actualisés sur la courbe de taux sans risque :
JVn0 = Xm j=1
Lj jBt(t0; tj): (3.32)
Les taux forwardsLj sont donnés par la formule (3.8) : Lj = 1
j
Bt(t0; tj 1)
Bt(t0; tj) 1 : (3.33)
En injectant (3.33) dans (3.32) et en utilisant la relationBt(t0; t0) = 1, on peut écrire :
JVn0 = Xm j=1
Bt(t0; tj 1)
Bt(t0; tj) 1 Bt(t0; tj)
= Xm j=1
(Bt(t0; tj 1) Bt(t0; tj))
= 1 Bt(t0; tm): (3.34)
D’après (3.29) on a :
JVn0 = 1 Bt(t0; Tn): (3.35)
Evaluation de la jambe …xe Soit JFn0, la valeur de marché de la branche
…xe à la date de départt0. Un simple calcul d’actualisation permet d’écrire : JFn0 =
Xn i=1
xn iBt(t0; Ti) =xn nBt(t0; Tn) +xn nX1
i=1
iBt(t0; Ti)
!
: (3.36) D’après l’hypothèse4, les datesT0; T1; : : : ; Tn 1sont communes aux échéanciers des swaps d’échéanceTn 1 et d’échéanceTn. Alors on a :
JFn0 1=
nX1 i=1
xn 1 iBt(t0; Ti),
nX1 i=1
iBt(t0; Ti) = JFn0 1 xn 1
: (3.37) En injectant (3.37) dans (3.36) il vient :
JFn0 =xn nBt(t0; Tn) + xn
xn 1JFn0 1: (3.38) Nous disposons à présent de tous les éléments pour établir la formule de récur-rence entre les facteurs d’actualisation.
Détermination des facteurs d’actualisation par récurrence
Les deux branches du swap ont la même valeur à la datet0. En appliquant ce résultat aux swaps d’échéancesTn 1et Tn il vient :
JFn0 = JVn0; JFn0 1= JVn0 1: (3.39) Alors, en injectant ces relations dans (3.38) on peut écrire :
JVn0 =xn nBt(t0; Tn) + xn
xn 1JVn0 1: (3.40) En appliquant la relation (3.35) avec les datesTn 1 et Tn on a :
JVn0 = 1 Bt(t0; Tn); JVn0 1= 1 Bt(t0; Tn 1): (3.41) On remplaceJVn0 etJVn0 1par leur valeur respective dans (3.40) et l’on obtient tous calculs faits :
Bt(t0; Tn) =1 xxn
n 1 (1 Bt(t0; Tn 1)) 1 +xn n
: (3.42)
Cette formule permet de déterminer le facteur d’actualisation entre t0 et Tn
à partir du facteur d’actualisation d’échéanceTn 1. Le facteur d’actualisation d’échéanceT1 étant connu, on peut alors déterminer tous les facteurs d’actuali-sation de proche en proche jusqu’à la dernière maturitéTN. Contrairement aux formules habituellement proposées dans la littérature qui sont valables unique-ment pour une fréquence de coupon …xe égale à 1Y, la formule établie ici est complètement indépendante de la fréquence des paiements de la jambe …xe et elle s’applique à tous les swaps rencontrés sur le marché.
Obtention de facteurs d’actualisation en départ t Comme dans le cas des facteurs d’actualisation associés aux opérations de dépôt, si la date t0 est égale à la date spot, on corrige les facteurs d’actualisation trouvés en les mul-tipliant par le facteur pré-spotB(t; tSN). Dans le cas où t0 est égale à la date courante, aucun ajustement n’est nécessaire.
Détermination des facteurs d’actualisation isolés
La méthode décrite au paragraphe précédent permet de déterminer très rapide-ment les facteurs d’actualisation, à condition (hypothèse 5) que l’on connaisse le taux de swap associé à chaque maturité de la formeTn=n PF. Par exemple, pour les swaps contre EURIBOR, cette propriété est véri…ée jusqu’au ténor 15Y. Au-delà de cette maturité, on dispose d’un taux coté tous les5ans (20Y, 25Y, 30Y), de sorte qu’il n’est plus possible d’appliquer la formule récursive (3.42) pour construire les facteurs d’actualisation cherchés. Une approche fré-quemment utilisée par les praticiens consiste à interpoler linéairement les taux de swap cotés pour les maturités non disponibles. On dispose ainsi d’un jeu de données complet et l’on applique la méthode précédente. Cette approche très simple donne en général de bons résultats, mais elle revient à ajouter de l’information arti…cielle, là où il n’y en avait pas (Hagan et West 2006). Nous proposons ci-dessous une méthode qui permet de déterminer directement le taux zéro-coupon cherché sans procéder à une construction des taux aux maturités manquantes.
Transformation du problème On suppose que l’on cherche à déterminer le facteur d’actualisation du ténorTn, dont le taux de swap coté estxn. Le dernier ténor coté estTn k (taux de swapxn k). Les taux des datesTn k+1; : : : ; Tn 1
sont inconnus. Les notations sont les mêmes que celles du paragraphe précédent.
L’égalité de la jambe …xe et de la jambe variable du swap d’échéanceTn s’écrit : 1 Bt(t0; Tn) = xn
Xn i=1
iBt(t0; Ti)
= xn n kX
i=1
iBt(t0; Ti) + Xn i=n k+1
iBt(t0; Ti)
!
= xn xn k
JFn k0 +xn Xn i=n k+1
iBt(t0; Ti): (3.43) La dernière égalité provient du fait que les swaps de maturités Tn k et Tn
partagent le même échéancier jusqu’à la date Tn k. En utilisant les identités (3.39) et (3.35) au rangn k, il vient :
JFn k0 = JVn k0 = 1 Bt(t0; Tn k): (3.44)
Injectons (3.44) dans (3.43) : 1 Bt(t0; Tn) = xn
xn k
(1 Bt(t0; Tn k)) +xn Xn i=n k+1
iBt(t0; Ti): (3.45) Par ailleurs, la relation (3.4) entre les zéro-coupons forward-starts nous donne : Bt(t0; Ti) =Bt(t0; Tn k)Bt(Tn k; Ti); n k+ 1 i n: (3.46) En convenant de noterBn k à la place deBt(t0; Tn k)et Bn k;i à la place de Bt(Tn k; Ti), l’égalité (3.45) devient :
1 Bn kBn k;n = xn xn k
(1 Bn k) +xnBn k Xn i=n k+1
iBn k;i: (3.47) En regroupant les termes connus à droite et les termes inconnusBn k;ià gauche on a :
xn Xn i=n k+1
iBn k;i+Bn k;n=1 xxn
n k(1 Bn k) Bn k
: (3.48) Ci-dessous, nous utilisons l’expression obtenue pour déterminer le facteur d’ac-tualisation manquant.
Calcul du facteur d’actualisation à la date Tn L’idée est d’exploiter les propriétés de la méthode d’interpolation RT-Linéaire des taux zéro-coupon qui est présentée en détail au paragraphe 3.6.3. Dans cette approche, les taux continus ‡ats sont interpolés linéairement entre deux dates d’observation consé-cutives :
R~(t; T) =a (Tn k; T) +b; Tn k T Tn; (3.49) où (Tn k; T) est le nombre d’années entre Tn k et T dé…ni par (3.58). Les coe¢ cientsaet bsont déterminés en imposant la continuité enTn k et Tn :
b = R~(t; Tn k); (3.50)
a = R~(t; Tn) R~(t; Tn k)
(Tn k; Tn) : (3.51)
Le coe¢ cientadépend du tauxR~(t; Tn)qui est inconnu. En l’absence d’oppor-tunité d’arbitrage, les tauxR~(t; T)sont croissants, donc on doit avoira 0.
En appliquant (3.2), il vient :
B(t; T) = e R(t;T~ )
= e (R(t;T~ n k)+a (Tn k;T))
= B(t; Tn k) e a (Tn k;T): (3.52)
En divisant parB(t; Tn k)les deux membres de l’égalité on a :
Bt(Tn k; T) = e a (Tn k;T) Tn k T Tn: (3.53) En réécrivant (3.53) aux datesTi (i=n k; : : : ; n) on obtient :
Bn k;i= e a (Tn k;Ti)= e a i; (3.54) où l’on a posé idef= (Tn k; Ti).
Remplaçons les termesBn k;i par (3.54) dans (3.48) : xn
Xn i=n k+1
ie a i+ e a n= 1 xxn
n k(1 Bn k) Bn k
: (3.55)
La fonction f : a ! xnPn
i=n k+1 ie a i + e a n est continue, strictement décroissante de R+ dans lui-même, donc l’équation (3.55) admet une unique solution, notéea , que l’on peut déterminer par la méthode de Newton (Judd 1998). Une manière d’initialiser l’algorithme est de choisir :
a0= (t; Tn)xn R~(t; Tn k)
(Tn k; Tn) ; (3.56)
où xn est le taux de swap associé au ténor Tn. En l’absence d’opportunité d’arbitrage, l’algorithme converge en quelques itérations vers la valeur cherchée
a 0.
Si la convergence n’a pas lieu dansR+, c’est que la courbe présente un arbitrage enTn et, dans ce cas, on pose :
a = (t; Tn)R(t; Tn k) R~(t; Tn k) (Tn k; Tn) :
Cela revient à cristalliser le dernier taux zéro-coupon connuR(t; Tn k). Lorsque a est estimé, il ne reste qu’à écrire la relation (3.52) avecT =Tn pour obtenir le facteur d’actualisation cherché :
B(t; Tn) =B(t; Tn k) e a n:
En procédant ainsi avec tous les ténors "isolés", on obtient des facteurs d’ac-tualisation consistants, sans introduire de l’information au niveau des données observées.
3.5.3 Calcul des taux zéro-coupon associés aux di¤érents ténors
Nous calculons les taux zéro-coupon annualisés associés aux di¤érents facteurs d’actualisation en appliquant la relation (3.1). Les taux cherchés sont exprimés en base Act/365.25 et sont donnés par les formules suivantes :
R(t; T) = 365:25
n(t; T)lnB(t; T); (3.57)
oùn(t; T)désigne le nombre de jours calendaires entre la date courante t (in-cluse) et la dateT (exclue).
On dispose à présent des facteurs d’actualisation et des taux zéro-coupon aux dates d’échéances T1 TN des instruments de calibration. On suppose que les données sont non-arbitrables11, ce qui signi…e que la suite des facteurs d’actualisation est décroissante ou que la suite des taux continus ‡ats est crois-sante (voir proposition 3.1). Dans la suite, nous montrons comment reconstituer une courbe de taux zéro-coupons continus à partir des points observés.