UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON 1 INSTITUT DE SCIENCE FINANCIÈRE ET
D’ASSURANCES
INGÉNIERIE DES PRODUITS STRUCTURÉS.
Essais sur les méthodes de simulation numérique et sur la modélisation des données de marché.
Pierre-Alain Patard
Directeur de thèse :
M. le professeur Jean-Claude Augros
Version : 11 juillet 2008
Résumé
Cette thèse regroupe un ensemble de travaux sur les problématiques de simu- lation numérique et de modélisation des données de marché rencontrées lors du développement d’un système d’évaluation des produits dérivés actions.
La première partie porte sur l’utilisation des méthodes de simulation Monte Carlo et Quasi-Monte Carlo pour évaluer des produits dérivés. Elle insiste plus particulièrement sur le choix et sur l’implémentation des générateurs uniformes, sur les techniques de simulation des variables gaussiennes et sur l’utilisation des méthodes de réduction de variance pour accélérer la convergence des estima- teurs.
La seconde partie porte sur la modélisation des paramètres de marché qui inter- viennent dans la dynamique des prix d’une action. Elle aborde successivement la construction des courbes zéro-coupon et des surfaces de volatilité implicite en absence d’arbitrage puis l’évaluation d’une option Européenne en présence de dividendes discrets dont les montants sont connus à l’avance.
Mots-Clefs : [à dé…nir]
Abstract
This thesis gathers a set of studies dealing with the problematic of numerical procedures and with the problematic of market data modelling met during the development of an equity derivatives valuation tool.
The …rst part relates to the use of Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo simu- lations in order to price derivatives. It insists more particularly on the choice and the implementation of uniform generators, on the techniques employed to simulate Gaussian variables and on the variance reduction procedures that can be applied to improve the convergence rate of the estimators.
The second part relates to the modelling of the market parameters, which in-
‡uence the stock price dynamic. The …rst two chapters deal successively with the zero curve construction and the implied volatility surface …tting under the no- arbitrage assumption. The third chapter resolves the European option-pricing problem in the presence of discrete cash dividends.
Keywords : [to be de…ned]
Table des matières
Introduction Générale 1
I Méthodes de simulation numérique 16
1 Intégration probabiliste Monte Carlo 19
1.1 Introduction . . . 19
1.2 Générateurs pseudo-aléatoires . . . 21
1.3 Simulation de la loi normale unidimensionnelle . . . 39
1.4 Simulation de la loi normale multidimensionnelle . . . 48
1.5 Méthode de Monte Carlo . . . 55
1.6 Evaluation d’options par simulation . . . 60
1.7 Conclusion . . . 66
A Méthode de Schrage . . . 69
B Méthode de Box-Muller . . . 70
C Factorisation de Cholesky . . . 71
Références . . . 73
2 Intégration déterministe Quasi-Monte Carlo 77 2.1 Introduction . . . 77
2.2 Intégration Quasi-Monte Carlo . . . 81
2.3 Suites de Weyl . . . 93
2.4 Suites de Halton . . . 105
2.5 Comparaison des temps de calcul . . . 123
2.6 Quasi-Monte Carlo dans la pratique . . . 125
2.7 Conclusion . . . 133
A Quadratures déterministes classiques . . . 136
B Démonstration du théorème 2.8 . . . 137
C Démonstration du théorème 2.16 . . . 138
D Démonstration du lemme 2.19 . . . 141
Références . . . 142
II Modélisation des données de marché 146
3 Construction de la gamme des taux zéro-coupon en l’absence
d’opportunité d’arbitrage 149
3.1 Introduction . . . 149
3.2 Eléments de théorie . . . 151
3.3 Conventions de marchés . . . 156
3.4 Choix des instruments de calibration . . . 159
3.5 Extraction des facteurs d’actualisation . . . 163
3.6 Interpolation non-arbitrable de la courbe des taux . . . 173
3.7 Comparaison des méthodes proposées . . . 186
3.8 Conclusion . . . 191
A Démonstration de la proposition 3.1 . . . 192
B Caractéristiques des taux IBOR . . . 192
C Démonstration de la formule (3.64) . . . 193
D Calculs du paragraphe 3.6.3 . . . 194
Références . . . 196
4 Construction de la surface de volatilité implicite en l’absence d’opportunité d’arbitrage 199 4.1 La volatilité implicite : un enjeu stratégique . . . 200
4.2 Normalisation du marché . . . 209
4.3 Contraintes de non-arbitrage . . . 212
4.4 Données utilisées dans le chapitre . . . 218
4.5 Modélisations possibles pour la surface de volatilité implicite . . 229
4.6 Construction d’une surface de volatilité non-arbitrable . . . 243
4.7 Conclusion . . . 263
A Démonstrations du paragraphe 4.3 . . . 265
B Prix normalisé d’un call dans le modèle de Merton . . . 270
C Démonstrations du paragraphe 4.6.3 . . . 272
Références . . . 275
5 Evaluation d’un call Européen en présence de dividendes dis- crets. 279 5.1 Introduction . . . 279
5.2 Approximations comonotones d’une somme de variables aléatoires lognormales dépendantes . . . 282
5.3 Approximations comonotones du prix d’un call Européen . . . . 288
5.4 Applications numériques . . . 293
5.5 Conclusion . . . 297
A Approximations du prix d’un call Européen . . . 300
Références . . . 303
Conclusion Générale 304
Bibliographie 308
Introduction Générale
L’émergence de la gestion collective
Avant les années 70, l’accès aux marchés …nanciers était réservé aux personnes possédant un patrimoine important et une certaine connaissance des mécanismes boursiers. L’épargnant au patrimoine plus modeste devait s’orienter vers des placements tels que le Livret A ou les emprunts d’Etat.
Vers la …n des années 70, le développement des Organismes de Placements Col- lectifs en Valeurs Mobilières (OPCVM) a largement modi…é cette situation : l’accès aux marchés …nanciers s’est démocratisé par le biais de gestionnaires professionnels auxquels on con…e son épargne.
Un OPCVM est un instrument qui permet de mutualiser d’importantes sommes collectées auprès de personnes physiques ou morales pour en con…er l’investisse- ment et la gestion à des professionnels. Il existe en France deux types d’OPCVM dont la nature juridique est di¤érente : les SICAV (Société d’Investissement à Capital Variable), créées par une ordonnance de 1945 et les FCP (Fonds Com- mun de Placement), créés en 1979, qui sont des copropriétés de valeurs mobi- lières.
Par dé…nition, une SICAV possède la personnalité morale (il s’agit d’une société anonyme) et elle émet des actions. Tout investisseur devient actionnaire et peut s’exprimer par son vote au sein des assemblées générales. Une SICAV peut assurer elle-même la gestion de ses investissements ou con…er cette fonction à une société de gestion de portefeuilles1 française agréée par l’AMF2 (Autorité des Marchés Financiers).
Un FCP n’a pas de personnalité morale. Il n’émet donc pas des actions, mais des parts. En achetant des parts, l’investisseur devient membre d’une copropriété de valeurs mobilières mais ne dispose d’aucun droit de vote. Un FCP est représenté et géré, sur les plans administratif, …nancier et comptable, par une société de gestion de portefeuilles agréée par l’AMF.
1Une société de gestion de portefeuilles est une société d’investissement dont le but est d’assurer la gestion d’organismes de placements collectifs. La plupart des sociétés de gestion sont des …liales de grands groupes bancaires et sont généralistes, mais il existe aussi des sociétés de gestion indépendantes, souvent spécialisées dans certaines stratégies d’investissements.
2Site Internet de l’AMF :http://www.amf-france.org.
Les FCP sont des instruments …nanciers plus ‡exibles que les SICAV. En e¤et, pour créer un FCP (copropriété), il faut réunir au moins 2 porteurs qui apportent un actif minimal de 300 000 euros. En comparaison, la création d’une SICAV (société anonyme) représente un engagement plus lourd : il faut réunir au moins 7 actionnaires qui apportent un actif minimal de 4 000 000 d’euros3.
Pour cette raison, la plupart des sociétés de gestion préfèrent monter des FCP plutôt que des SICAV, d’autant plus que les deux supports fonctionnent d’une manière très similaire. Ils permettent aux investisseurs (particuliers ou institu- tionnels) de pro…ter de la rentabilité des marchés …nanciers français ou inter- nationaux au travers d’une large gamme de produits qui couvre la plupart des marchés (marchés actions, marchés monétaires, marchés obligataires, marchés émergents. . .) au travers de di¤érentes stratégies (performance absolue, répli- cation indicielle, stratégies diversi…ées ou garanties, produits dérivés et struc- turés, stratégies alternatives. . .). Les OPCVM constituent donc une alternative attractive pour l’épargnant ou l’institutionnel qui ne dispose pas des moyens, des compétences ou des habilitations nécessaires pour investir en direct sur les marchés …nanciers.
Le marché de la gestion collective a connu un essor sans précédent au cours des quarante dernières années, comme en attestent les chi¤res suivants. On dénombrait en France 53 OPCVM pour un actif d’environ 13 milliards de francs en 1970 (Vitrac 2002). A la …n de l’année 2007, l’AMF recensait 8243 OPCVM pour un actif total d’environ 1350 milliards d’Euros4. La France est considérée comme l’un des leaders mondiaux de la gestion collective.
Une activité très réglementée
Compte tenu des encours gérés, l’activité de gestion collective joue un rôle de premier plan dans l’économie du pays. Tout d’abord, elle mobilise de manière ac- crue l’épargne des particuliers et se positionne comme une alternative sérieuse à des placements plus classiques tels que les livrets d’épargne. Ensuite elle permet à un nombre croissant d’institutionnels (associations ou entreprises) de gérer leur trésorerie. En…n, l’ensemble des fonds de la place détiennent des parts très importantes du capital ou de la dette de nombreuses entreprises françaises ou étrangères, ce qui met les sociétés de gestion en position d’in‡uencer la stratégie des dirigeants de ces entreprises. Pour ces raisons, les pouvoirs publics ont mis en place un appareil législatif étendu qui permet de garantir la déontologie, la transparence et la sécurité des investissements …nanciers et de s’assurer que les organismes gestionnaires agissent dans le seul intérêt des porteurs de parts.
La surveillance des activités de gestion collective par les autorités s’exerce à trois niveaux.
3Voir l’article 411-14 du Livre IV du Règlement Général de l’AMF (AMF 2007a).
4Document disponible sur le site de l’AMF à la rubrique : OPCVM & produits d’épargne
>Liste des encours.
Surveillance au niveau de l’Etat français avec l’AMF
L’AMF5, est un organisme public indépendant, doté de la personnalité morale et disposant d’une autonomie …nancière, qui a pour mission de veiller :
– à la protection de l’épargne investie dans les instruments …nanciers et tout autre placement donnant lieu à appel public à l’épargne,
– à l’information des investisseurs,
– au bon fonctionnement des marchés d’instruments …nanciers.
Elle apporte aussi son concours à la régulation des marchés européens et inter- nationaux.
L’AMF réglemente et contrôle l’ensemble des activités de gestion collective.
1. Elle délivre les agréments et autorise les sociétés de gestion à exercer leur activité. Elle veille au respect des règles de déontologie en vigueur. Elle impose des pratiques de marché visant à privilégier l’intérêt des porteurs.
Elle s’assure que les sociétés de gestion mettent en œuvre les moyens …nan- ciers, juridiques, techniques et humains nécessaires au bon déroulement de leur activité, de manière à o¤rir une sécurité et une transparence maxi- male aux investisseurs. Elle peut restreindre ou retirer les agréments de manière temporaire ou, le cas échéant, de manière dé…nitive.
2. Elle délivre les agréments pour la création et la dissolution des OPCVM et procède à des véri…cations au cours de la durée de vie de ces fonds.
Dans un souci d’information et de protection des porteurs, elle impose depuis 2004 aux sociétés de gestion d’établir un prospectus pour chaque fonds créé, véritable carte d’identité de l’OPCVM (AMF 2004). Le pros- pectus présente en particulier : l’objectif de gestion du fonds décrit de manière claire et précise, les règles d’investissement et d’évaluation des actifs, les conditions de souscription et de rachat, les frais de gestion, les droits d’entrée et de sortie6.
3. Elle s’assure que les sociétés de gestion opèrent en parfaite indépendance par rapport à leurs contreparties …nancières et par rapport à leurs action- naires. En particulier, dans le cas des sociétés de gestion attachées à une banque, elle s’assure que les intérêts de la maison mère (la banque ou la société d’assurance) ne soient pas confondus avec les intérêts des clients.
4. Elle joue un rôle consultatif auprès des sociétés et des épargnants. En par- ticulier, elle peut être interrogée par les sociétés de gestion concernant des questions réglementaires ou d’habilitation à exercer certains types d’opé- rations ou à réaliser certains types de montages.
5L’AMF a été créée en août 2003 par la loi n 2003-706 de sécurité …nancière. Elle est issue de la fusion de la Commission des opérations de bourse créée en 1967 (COB), du Conseil des marchés …nanciers créé en 1996 (CMF) et du Conseil de discipline de la gestion …nancière (CDGF). L’ob jectif de ce rapprochement était de renforcer l’e¢ cacité et la visibilité de la régulation de la place …nancière française.
6Pour une présentation du contenu et de l’élaboration du prospectus, on pourra se référer au document d’information AMF (2007b).
En outre, l’AMF dispose de cinq pouvoirs : elle peut réglementer, elle peut ordonner à tout agent économique de mettre …n à des pratiques qu’elle juge né- fastes pour le marché, elle peut enquêter (sur un délit d’initié éventuellement), elle peut saisir la justice pour mettre …n à des irrégularités portant atteinte aux droits des épargnants, elle peut prononcer des sanctions …nancières à l’en- contre de personnes physiques ou morales ayant enfreint la réglementation ou la déontologie du marché.
Surveillance au niveau de la profession avec l’AFG
L’Association Française de la Gestion Financière ou AFG7 est l’organisation professionnelle de la gestion pour compte de tiers. Elle réunit tous les acteurs du métier de la gestion, qu’elle soit collective ou individualisée sous mandat. L’AFG assure la représentation des intérêts économiques, …nanciers et moraux de ses membres, des organismes qu’ils gèrent et de leurs clients. Elle est l’interlocuteur des pouvoirs publics français et européens et contribue activement à l’évolution de la réglementation.
L’AFG joue également un rôle important au niveau de la déontologie et elle veille à ce que les sociétés d’investissement agissent dans le seul intérêt des porteurs de parts. En…n, l’AFG a un rôle consultatif : les sociétés de gestion peuvent prendre des avis ou faire part de problèmes rencontrés dus, par exemple, à l’évolution de la réglementation et aux di¢ cultés soulevées par la mise en application d’un nouveau règlement.
Surveillance au niveau européen avec la MIFID
La directive MIFID (Market In Financial Instruments Directive, en anglais) dé…nit le nouveau cadre réglementaire d’exercice des activités de marché dans l’ensemble de l’Union Européenne. Elle poursuit trois objectifs : l’ouverture à la concurrence des lieux de négociations, l’harmonisation des réglementations nationales, une meilleure protection des investisseurs et une transparence accrue des négociations sur actions. La directive MIF est en vigueur en France depuis le1ernovembre2007, ainsi que dans la plupart des pays de l’Union Européenne.
Toutefois, certains états, comme la Hollande ou l’Espagne, ont pris du retard dans la transposition de règles et ne seront prêts que l’année prochaine.
La MIFID introduit de nouvelles règles pour renforcer le devoir d’information et formaliser les obligations de "meilleure exécution" des ordres sur instruments
…nanciers. Elle responsabilise davantage l’ensemble des acteurs (établissements bancaires, intermédiaires …nanciers, clients) en …xant clairement les droits et devoirs de chacun :
– pour les intermédiaires …nanciers, des règles de bonne conduite et de trans- parence,
7Site Internet de l’AFG :http://www.afg.asso.fr/.
– pour les clients, l’information sur leur situation patrimoniale et …nancière a…n de béné…cier pleinement de l’ensemble des protections qu’elle peut o¤rir.
La directive distingue trois catégories de clients :
– les "Contreparties Eligibles", qui sont essentiellement les établissements de crédit, les compagnies d’assurance, les sociétés de gestion,
– les "Clients Professionnels", regroupant les grandes entreprises qui remplissent certains critères en terme de taille de bilan,
– les "Clients non Professionnels", c’est-à-dire tous les autres clients.
A chaque catégorie correspond un niveau de traitement et d’information spéci-
…ques.Ainsi, les Clients Professionnels (et à fortiori les Contreparties Eligibles) sont présumés avoir l’expérience et la connaissance des instruments …nanciers complexes et disposer d’une situation …nancière leur permettant de faire face aux risques …nanciers liés aux transactions sur ces instruments …nanciers ; ils béné…cient d’une protection moindre. Les épargnants, en tant que clients non professionnels, béné…cient d’un niveau de conseil et d’information accru. D’une manière générale, l’intermédiaire …nancier doit être en mesure de prouver qu’il a agi dans l’intérêt de l’épargnant, en privilégiant le choix des meilleures contre- parties ou qu’il a traité aux coûts les plus bas.
L’activité de gestion est donc particulièrement contrôlée en France. Les di¤é- rentes normes réglementaires au niveau français (AMF) et au niveau européen (MIFID) militent en faveur d’une plus grande sécurité …nancière pour les épar- gnants et elles incitent les sociétés de gestion à se doter d’outils performants pour mesurer et gérer les risques qu’elles prennent et qu’elles font prendre à leurs clients.
Le marché des fonds à formule
Le besoin de concilier sécurité et performance
Après les krachs boursiers de la …n des années 80, les épargnants recherchent des placements sécuritaires. Ils se détournent alors des fonds investis en actions et en obligations dont les rendements sont jugés trop incertains pour aller vers des supports de type monétaire. Mais la faiblesse des taux d’intérêt a rendu les fonds monétaires traditionnels moins rentables qu’auparavant, donc moins attractifs pour les clients.
A…n de conserver leur clientèle dans cette conjoncture économique di¢ cile, de continuer d’attirer de nouveaux investisseurs et de préserver leurs marges, les banques ont commencé de proposer des OPCVM dont le capital est garanti à un certain horizon et qui o¤rent une perspective de performance attrayante, en général indexée sur les marchés boursiers8. Ces fonds répondent aux attentes des particuliers qui recherchent à la fois la sécurité (par l’intermédiaire de la garantie
8Les premiers fonds de ce type furent lancés au début des années 90 par La Poste, devenue aujourd’hui La Banque Postale.
en capital totale ou partielle) et le rendement potentiel (lié à l’exposition aux marchés boursiers). Ils constituent une catégorie AMF à part entière : les fonds à formule.
Caractéristiques des fonds à formule
Un fonds à formule a pour objectif9 d’o¤rir au souscripteur qui investit à la date de création du fonds :
– une garantie totale ou partielle du capital à l’échéance du fonds,
– la performance d’un payo¤ exotique portant sur l’évolution d’un ou de plu- sieurs sous-jacents (actions ou indices actions dans la majorité des cas).
Ces garanties s’appliquent uniquement à l’échéance du produit.
En d’autres termes on peut schématiquement écrire :
Fonds à formule=Zéro-Coupon+Payo¤ Exotique (1) Dans le cas des fonds destinés aux particuliers, la garantie en capital est le plus souvent totale, de sorte que, à l’échéance du fonds, l’investisseur est assuré de récupérer au minimum la somme investie. Il existe toutefois des fonds plus dy- namiques qui ne garantissent qu’une fraction du capital initial ou qui protègent le capital tant que le marché n’est pas descendu en dessous d’un certain seuil.
Ces fonds o¤rent une espérance de rendement supérieure en compensation de l’augmentation de la prise de risque.
Le payo¤ exotique (ou structuré) est acheté par l’OPCVM auprès de la salle des marchés d’une banque d’investissement. Sa nature (option à cliquets, op- tion sur maximum, option sur moyenne, option sur panier de valeurs. . .) est déterminée par la société de gestion en fonction du type de clientèle ciblé et ses caractéristiques (nombre de points dans la moyenne, fréquence d’observation des sous-jacents, niveau de barrière. . .) sont déterminées en fonction des conditions de marché.
La combinaison (1) est synthétisée par le gestionnaire qui négocie un swap struc- turé dans lequel l’OPCVM échange les ‡ux associés au rendement total d’un certain portefeuille investi en actions ou en obligations10 contre les ‡ux générés par la structure optionnelle et qui constituent la rémunération promise au client.
Pour une étude approfondie des techniques de montage et de gestion des fonds à formule, on pourra consulter Patard (2001).
Soulignons en…n que, les fonds à formule permettent de pro…ter pleinement de la …scalité avantageuse o¤erte par le PEA (Plan d’Epargne en Actions) ou
9Une dé…nition o¢ cielle des fonds à formule est donnée à l’article R214-27 du code moné- taire et …nancier.
1 0Ce portefeuille constitue l’actif physique du fonds et n’est en aucun cas lié aux sous-jacents du payo¤ structuré qui représente la performance o¤erte au client.
Fonds à Formule
0 10 20 30 40 50 60 70 80
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 20012002 2003 2004 2005 2006 2007
Actif Géré (Mds EUR)
Fonds à Vocation Générale
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
199419951996 1997 19981999 20002001 20022003 20042005 20062007
Actif Géré (Mds EUR)
Fig.1 – Encours annuels moyens en milliards d’euros sur les fonds à formule (graphique de gauche) et sur les fonds à vocation générale (graphique de droite).
Années considérées : 1994 à 2007. (Source : AFG/AMF).
l’assurance vie11, ce qui a assurément contribué à la démocratisation de ces produits auprès des particuliers.
Le succès incontestable des fonds à formule
La …gure 1 permet de comparer l’évolution des encours annuels moyens12 sur les fonds à formules (graphique de gauche) et sur les fonds à vocation générale (graphique de droite).
En 1994, on estime que l’ensemble des sommes placées sur les fonds à formule étaient de l’ordre de11:12milliards d’euros. En 2007, l’encours sur l’ensemble des fonds à formule est voisin de74:01milliards d’euros. Les actifs sous gestion sur les fonds à formule ont donc été multipliés par6:66en l’espace de 14 ans.
Ces chi¤res sont à comparer avec l’évolution des encours sur l’ensemble des fonds à vocation générale, qui représentent l’ensemble des fonds accessibles au public. De 1994 à 2007, les encours annuels sur l’ensemble de ces fonds sont passés de433:01milliards d’euros à1423:55milliards d’euros, ce qui signi…e que les encours ont été multiplié par 3:29. Le taux de croissance des encours sur les fonds à formule a donc été le double de celui des encours sur les fonds plus traditionnels au cours des 14 dernières années.
La période 2000 - 2003 correspond à l’éclatement de la bulle spéculative sur les nouvelles technologies. De nombreux investisseurs, notamment des parti- culiers, qui s’étaient positionnés sur les marchés actions (en direct ou via des OPCVM) en espérant réaliser de fortes plus-values, ont perdu beaucoup d’ar- gent durant cette période. La chute du marché a entraîné un regain d’intérêt
1 1Ces enveloppes …scales attractives permettent une exonération de l’impôt sur les plus- values de valeurs mobilières à condition que les sommes restent investies au-delà d’un certain horizon (5 ans pour le PEA et 8 ans pour l’assurance vie).
1 2Sur le site de l’AFG, consulter la rubrique ECONOMIE ET STATISTIQUES> Actifs mensuels Historique depuis 1993.
pour des supports d’épargne sécurisés, représentés entre autres par les fonds à formule à capital garanti. A partir de cette période, les entreprises d’investis- sement (banques et assurances) ont proposé de manière quasi systématique des produits garantis à leurs clients particuliers, devenus spécialement désireux de protéger leur épargne contre les aléas des marchés actions13.
Une réglementation spéci…que et renforcée pour les fonds à formule
Les fonds à formule représentent depuis quelques années une part signi…cative des nouveaux agréments d’OPCVM et de la collecte, notamment auprès des particuliers.
L’AMF a adopté une réglementation spéci…que pour ces fonds a…n de protéger les intérêts des investisseurs, très attirés par ce type de produits et mis en con…ance par le sentiment de sécurité qu’ils inspirent.
Prévenir les risques de dérive commerciale
Les fonds à formule peuvent attirer une clientèle nouvelle, non initiée aux pro- duits …nanciers. Ces produits peuvent être facilement présentés par les réseaux commerciaux comme des produits sans risque avec des perspectives de rende- ments très intéressants ayant toutes chances de se réaliser.
S’il est vrai que les fonds à formule ont des avantages indéniables (avec la garan- tie totale ou partielle du capital investi et de belles perspectives de rendement) et peuvent séduire une clientèle aux moyens …nanciers limités, désireuse de faire prospérer son épargne sans prendre de risque sur son capital, ils ont, comme tout produit …nancier, leurs inconvénients et c’est de ceux-là, qu’à l’égal de leurs avantages, l’AMF entend que les réseaux commerciaux avertissent clairement le souscripteur a…n d’éviter d’éventuelles déconvenues. En e¤et :
– Les frais d’entrée compris entre1%et3%du capital investi réduisent d’autant le montant du capital apporté par le souscripteur.
– Les fonds investis ne sont pas bloqués mais, en cas de sortie anticipée, des frais s’élevant entre 2% et 6% de la valeur liquidative sont pénalisants. Le souscripteur doit être conscient qu’il ne doit placer que les fonds dont il est sûr de ne pas avoir l’usage pendant la durée du contrat.
– A l’échéance, le client retrouve bien le montant du capital garanti. Mais la garantie totale du capital n’est pas systématique. Dans le cas où le capital n’est pas garanti ou garanti partiellement, le client doit savoir que la partie non garantie, si elle peut lui apporter une forte plus value, peut aussi perdre de sa valeur selon l’évolution des marchés.
1 3A ce sujet, on pourra consulter le dossier du magazine Capital de mars 2008 (No. 198), intitulé : "les fonds garantis, une bonne réponse à la crise boursière".
Un prospectus étendu
A…n de prévenir toute dérive commerciale, comme cela a quelquefois pu se pro- duire, l’AMF impose dorénavant aux établissements …nanciers d’établir, dans le cas des fonds à formule, un prospectus spéci…que, qui donne plus d’informations que celui des fonds traditionnels.
Le prospectus doit insister sur la durée de l’investissement recommandée et sur le fait que la valeur liquidative14 du fonds pourra évoluer di¤éremment des in- dices sous-jacents. Il contient aussi quatre rubriques permettant au souscripteur d’appréhender le produit et les espérances de gains a…n de faire un choix en toute connaissance (AMF 2002) :
– une description détaillée du payo¤ exotique, des objectifs du produit, de ses avantages et inconvénients,
– une présentation et une analyse des scénarios de marché favorables et défavo- rables au fonds,
– un back-testing du fonds qui illustre les rendements que l’on aurait obtenus s’il avait été lancé dans le passé,
– une comparaison, pour la même période, avec les rendements d’autres place- ments (placement sur le sous-jacent du payo¤ exotique et placement au taux sans risque).
Prévenir les risques de con‡it d’intérêt
La structuration …nancière des fonds à formule repose exclusivement sur l’utili- sation de payo¤ structurés qui sont vendus et couverts par les salles des marchés des banques d’investissement. Cela conduit à deux risques potentiels.
1. Un risque de con‡it d’intérêts entre la société de gestion, qui agit au nom et pour le compte des porteurs de parts, et les salles des marchés qui agissent pour le compte propre des banques. Il faut éviter que la société de gestion privilégie une contrepartie pour des raisons autres que le prix du produit ou la qualité de service.
2. Un risque …nancier pour les porteurs de parts. En e¤et, les salles des mar- chés ont un savoir-faire en matière d’évaluation, de couverture et d’analyse des risques sur les produits dérivés que les sociétés de gestion ne possèdent pas. Il faut éviter qu’une société de gestion engage, sur les conseils d’une contrepartie bancaire, ses clients sur un produit structuré "novateur" dont elle maîtrise mal les di¤érents aspects.
A…n de garantir l’autonomie des sociétés de gestion par rapport à leurs contre- parties bancaires et dans le souci de protéger les intérêts des investisseurs, l’AMF impose aux sociétés de gestion de pouvoir réévaluer à tout instant et de manière autonome les positions sur les produits structurés détenus par les OPCVM.
Les principes et les obligations de cette contrainte réglementaire sont dé…nis à l’article R214-13 du code monétaire et …nancier dont nous reproduisons un extrait ci-dessous.
1 4La valeur liquidative désigne la valeur d’une part du fonds.
"Un organisme de placement collectif en valeurs mobilières peut conclure des contrats constituant des instruments …nanciers à terme en vue de protéger ses actifs ou de réaliser son objectif de gestion [. . . ]
Ils font l’objet d’une valorisation e¤ectuée par l’organisme de pla- cement collectif en valeurs mobilières, qui ne se fonde pas uniquement sur des prix de marché donnés par la contrepartie et satisfait aux critères suivants :
1) La valorisation se fonde sur une valeur de marché actuelle, qui a été établie de manière …able pour l’instrument ou, si une telle valeur n’est pas disponible, sur un modèle de valorisation utilisant une méthode reconnue et appropriée ;
2) Cette valorisation est véri…ée soit par un tiers indépendant du cocontractant, de façon régulière et selon des modalités telles que l’organisme de placement collectif en valeurs mobilières puisse la contrôler, soit par un service de l’organisme de placement collectif en valeurs mobilières indépendant des fonctions opérationnelles et en mesure de procéder à cette véri…cation."
La société de gestion ne peut donc pas se contenter de négocier les produits structurés puis d’utiliser les prix qui lui sont communiqués par ses contreparties pour déterminer la valeur de l’actif du fonds :
– elle doit véri…er ces prix à l’aide d’un modèle de marché adapté, ce qui sous- entend qu’elle ne peut pas utiliser un modèle aux hypothèses trop simples et qu’elle doit disposer des équipes compétentes pour implémenter et comprendre des modèles complexes,
– cette véri…cation doit être e¤ectuée en toute indépendance par rapport aux services de gestion, a…n de limiter d’éventuels con‡its d’intérêts, ce qui sous- entend qu’elle doit disposer d’un service capable d’évaluer les produits com- plexes ou bien qu’elle doit sous-traiter cette tâche.
Des contraintes opérationnelles fortes
Les exigences de l’article R214-13 se traduisent par deux contraintes opération- nelles fortes pour les sociétés de gestion qui souhaitent monter et commercialiser des fonds à formule.
La première contrainte pour la société de gestion est d’obtenir un agrément de l’AMF qui l’autorise à traiter des produits structurés. Pour cela, elle doit présenter un programme d’activité qui décrit les produits sur lesquels elle in- terviendra ainsi que les moyens humains et techniques qu’elle entend mettre en œuvre pour gérer ces produits dans les meilleures conditions. Ce document doit être particulièrement précis, notamment en ce qui concerne les modèles de marché utilisés AMF (2003a, 2003b).
1. La société de gestion doit justi…er le choix et la pertinence des modèles de marché qui seront mis en œuvre. Pour cela, elle présente les tests qui
ont été menés pour valider les modèles et elle communique les Curriculum Vitae des personnes qui ont pris les di¤érentes décisions.
2. Elle doit présenter les méthodes numériques retenues pour la mise en œuvre des modèles (méthode de Monte-Carlo, formules fermées, EDP. . .) et justi…er ses choix.
3. Elle doit présenter les hypothèses retenues pour la calibration des modèles ainsi que la manière dont les paramètres de marché nécessaires à sa mise en œuvre seront construits et justi…er ses choix.
L’obtention de l’agrément n’est pas systématique et, dans la pratique, seules les sociétés de gestion qui disposent de moyens importants sont capables de …nancer les équipes de recherche, de gestion et de contrôle ainsi que les outils informa- tiques indispensables à l’exercice de ce genre d’activité. Les sociétés de gestion qui n’obtiennent pas l’agrément n’ont pas d’autre choix que de sous-traiter le montage de fonds à formule auprès des sociétés habilitées à les monter. Lorsque l’agrément est accordé, le programme d’activité doit être remis à jour au fur et à mesure que la société de gestion fait évoluer les technologies qu’elle utilise ou la gamme des produits qu’elle négocie. L’AMF se réserve la possibilité d’e¤ectuer à tout moment des contrôles approfondis a…n de s’assurer que les engagements pris dans le programme d’activité sont bien tenus. A cette occasion, elle peut restreindre ou supprimer, de manière temporaire ou dé…nitive, l’agrément de la société de gestion sur les produits structurés.
La seconde contrainte porte sur la négociation des opérations de swaps struc- turés des fonds à formule qui doit reposer sur le principe de concurrence (AMF 2002). Cela signi…e que la société de gestion doit procéder à un appel d’o¤res entre les di¤érentes contreparties bancaires susceptibles de réaliser l’opération.
L’objectif étant de rechercher les meilleures conditions de prix et de respecter le principe fondamental de la primauté de l’intérêt des porteurs. L’AMF re- commande de retenir plusieurs contreparties à l’issu de l’appel d’o¤res a…n de diversi…er les risques de marché. Toutefois, la société de gestion a la possibilité de contracter avec une contrepartie unique ou avec une contrepartie liée (par exemple la salle des marchés de la banque dont elle est …liale). Dans ce cas, elle engage directement sa responsabilité si elle n’a pas obtenu pour ses clients des conditions similaires à celles du marché.
La nécessité de diversi…er les contreparties pour une même opération implique que le nombre de swaps structurés gérés par la société de gestion est nettement plus important que le nombre de fonds commercialisés (il y a en moyenne 3 swaps par fonds15). Cette stratégie limite assurément les risques …nanciers et les risques de contrepartie. En revanche, elle augmente considérablement la charge de travail qui pèse sur l’organe de contrôle des prix des opérations et elle induit des risques opérationnels importants16 et peut ralentir sévèrement le processus de publication de la valeur liquidative du fonds.
1 5L’opération de swap structuré est systématiquement divisée entre plusieurs contreparties.
Le nombre de contreparties est déterminé par le montant nominal du swap.
1 6En multipliant les contreparties sur une opération, on augmente mécaniquement les risques
Industrialisation des processus de gestion des fonds à formule
L’augmentation considérable du nombre de fonds sous gestion et les contraintes réglementaires particulièrement fortes auxquelles sont soumises les sociétés de gestion militent en faveur du développement de systèmes de gestion très auto- matisés. Autrement dit, on assiste aujourd’hui à une industrialisation accélérée des processus de gestion des fonds à formule.
Industrialisation du montage des fonds
Le marché des fonds à formule est rémunérateur pour les réseaux placeurs, mais il est fortement concurrentiel, car ce sont des produits qui permettent d’attirer de nouveaux clients. Il est donc fondamental que la société de gestion soit en mesure d’innover rapidement en ce qui concerne les payo¤ exotiques pour se distinguer des concurrents et pour entretenir l’intérêt des clients potentiels pour ces produits. En…n, l’élaboration du prospectus d’un fonds à formule nécessite de renseigner di¤érentes rubriques dont le contenu est similaire d’un fonds à l’autre.
Ces di¤érents points incitent à mettre en place des outils automatisés pour construire et pour tester les payo¤ et pour réaliser les simulations numériques du prospectus.
Dans la phase de structuration, le gérant recherche des pro…ls de payo¤ pré- sentant un couple rendement/risque optimal. Cela peut se faire sur la base de simulations numériques des distributions de rendement des produits, à condition toutefois de disposer d’un modèle de marché réaliste (Argou 2003).
Industrialisation des systèmes d’évaluation des produits struc- turés
Pour permettre les entrées et les sorties des clients durant la vie du fonds17, la société de gestion publie périodiquement la valeur de la part du fonds (ou valeur liquidative), déterminée sur la base des cours d’ouverture ou des cours de clôture des sous-jacents du produit. La fréquence de valorisation et le type de cours utilisé sont des données du prospectus18.
En principe, la valeur liquidative doit être calculée le jour prévu et une accu- mulation des retards de publication des valeurs liquidatives peut entraîner des rappels à l’ordre de l’AMF.
suivants : (i) ne pas recevoir l’ensemble des réévaluations des positions pour calculer la valeur liquidative en temps voulu, (ii) ne pas avoir des réévaluations e¤ectuées sur les bons niveaux de marché (clôture veille au lieu d’ouverture par exemple), (iii) ne pas recevoir de réévaluations suite à un problème informatique de l’une des contreparties.
1 7Dans le cas des fonds à formule, cette opération n’est pas conseillée, car les frais de sortie anticipée sont pénalisants.
1 8En général, la fréquence est quotidienne ou hebdomadaire. Dans de rares cas, elle est bimensuelle.
Dans le cas d’un fonds à formule, publier la valeur liquidative implique de réévaluer l’ensemble des swaps structurés qui composent le portefeuille et de confronter les valorisations obtenues à celles envoyées par les contreparties. Il est fréquent que les contreparties envoient des valorisations éloignées de celles trouvées par la société de gestion. Dans ce cas, la …abilité de l’outil interne joue un rôle essentiel comme en témoignent les analyses des cas suivants.
1. Le plus souvent, la di¤érence de valorisation réside dans des choix di¤é- rents pour la modélisation des paramètres de marché inobservables tels que la volatilité des sous-jacents ou la structure par terme de dividendes.
Après avoir identi…é la cause des écarts, l’organe de valorisation de la so- ciété de gestion donne son accord pour la prise en compte du prix proposé par la contrepartie. Cela suppose que la société de gestion sache modéliser les paramètres de manière consistante.
2. Dans les périodes de krach boursier comme celui du début de l’année 2008, il n’est pas rare que des contreparties se trouvent dans l’impossibilité d’envoyer une valorisation de l’opération dans les délais impartis ou que les écarts de valorisation ne trouvent pas une explication mathématique ou …nancière19. Dans ce cas, il faut parfois plusieurs jours avant que le problème ne soit résolu. En pratique, la société de gestion, ne peut pas se permettre de retarder le processus de publication de la valeur liquidative au-delà d’une journée. Elle peut alors prendre la décision de valoriser elle- même le produit concerné, ce qui suppose qu’elle ait toute con…ance en ses systèmes de valorisation.
Ces di¤érents cas démontrent tout d’abord que l’autonomie imposée par l’AMF n’est pas uniquement une contrainte réglementaire, c’est aussi et surtout une contrainte opérationnelle. Ensuite, ils signi…ent qu’il faut penser l’architecture du processus de valorisation dans son ensemble (modèle de marché, données de marché et méthodes numériques) de manière à disposer d’un système automa- tique, homogène et robuste (Overhaus, Rerrariset al.2002).
Soulignons que les OPCVM sont structurellement acheteurs des payo¤ exo- tiques, ce qui signi…e qu’ils n’ont pas de risque lié à la couverture du produit, contrairement à leurs contreparties. En conséquence, la société de gestion ne fait pas la même utilisation des modèles de valorisation que les salles de mar- ché. Dans le cas des sociétés de gestion, c’est la recherche du compromis entre la …abilité des résultats et la rapidité des calculs qui doit guider le choix des modèles.
Mise en place d’une veille technologique
Les salles de marché font évoluer leurs technologies en permanence, tant au ni- veau du service o¤ert qu’au niveau des modèles utilisés, ce qui leur permet de
1 9En général, ces écarts proviennent du fait que les contreparties choisissent des niveaux très prudentiels pour les paramètres qui sont alors très éloignés de ceux que l’on peut estimer en observant le marché.
proposer constamment de nouveaux payo¤ exotiques. Par ailleurs, la réglemen- tation AMF impose aux sociétés de gestion de savoir réévaluer l’ensemble des payo¤ traités de manière consistante. En…n, l’industrie des fonds à formule est basée sur le caractère innovant des produits commercialisés.
En conséquence, les sociétés de gestion qui désirent occuper une place de premier plan sur le marché des fonds à formule doivent innover dans les technologies de valorisation, a…n de pouvoir traiter les nouveaux payo¤ sans di¢ culté. Cela im- plique la mise en place et le …nancement d’une veille technologique permanente a…n de faire évoluer ou de remplacer les systèmes existants.
L’apparition depuis quelques années de sociétés telles que Reech Capital20, Nu- merix21 ou Pricing Partners22 qui proposent des services de valorisation in- dépendante et qui éditent des logiciels de valorisation de produits exotiques démontrent qu’il existe aujourd’hui un véritable marché des problématiques de valorisation (Benhamou 2007). En faisant l’acquisition d’un outil de valorisation externe, une société de gestion s’a¤ranchit des problèmes de recherche théorique et d’implémentation des modèles de marché et elle peut concentrer les e¤orts de ses équipes sur la modélisation des données de marché utilisées pour faire fonctionner les modèles et sur l’innovation produit.
Périmètre de l’étude
Les problématiques de modélisation quantitative peuvent être réparties en trois catégories :
– la construction et/ou l’étude de modèles de marché mathématiques,
– l’étude et l’implémentation de méthode numériques pour évaluer les actifs conditionnels,
– la construction des paramètres qui servent d’inputs aux modèles d’évaluation à partir des données de marché.
Le périmètre de notre étude concerne la mise en œuvre des méthodes numériques et la modélisation des paramètres de marché. Ces deux points constituent un partie importante du travail des praticiens. L’objectif est de mettre en œuvre, de tester et de faire évoluer les modèles de la littérature pour les adapter aux contraintes opérationnelles telles que la nécessité d’e¤ectuer les calculs dans un intervalle de temps réduit et avec le maximum de précision ou la nécessité de préparer et de modéliser des données de marché incomplètes ou arbitrables pour procéder à la calibration des modèles.
Cette thèse regroupe un ensemble de travaux qui ont été menés sur les probléma- tiques de simulation numérique et de modélisation des données de marché dans le cadre d’une activité de gestion et de recherche quantitative au sein du pôle de
2 0Site Internet :www.sungard.com/reech.
2 1Site Internet :www.numerix.com.
2 2Site Internet :www.pricingpartners.com.
gestion quantitative de CM-CIC Asset Management, la société de gestion pour compte de tiers du groupe Crédit Mutuel CIC.
Notre travail s’organise en deux parties.
La première partie montre comment le praticien peut mettre en œuvre les tech- niques de simulation Monte Carlo et Quasi-Monte Carlo, pour implémenter un outil d’évaluation des produits dérivés. On y insiste plus particulièrement sur le choix et l’implémentation des générateurs de nombres uniformes et sur la simulation gaussienne.
La seconde partie est consacrée à la modélisation des paramètres de marché nécessaires à l’évaluation des produits dérivés sur les actions et sur les indices : les courbes de taux zéro-coupon, la volatilité implicite et les dividendes. Elle met en évidence les problèmes pratiques rencontrés lors de l’extraction des données de marché et propose des solutions permettant de surmonter ces di¢ cultés.
Première partie
Méthodes de simulation
numérique
Depuis quelques années, on assiste à un développement très important de l’in- dustrie des produits dérivés qui se traduit par une augmentation considérable des volumes de transactions, une complexi…cation notoire des stratégies (pro- duits hybrides portant sur plusieurs classes d’actifs, options sur CPPI23. . . ) et une diversi…cation des sous-jacents (actions et indices, taux, crédit, in‡ation, matières premières, fonds. . . ).
Ce phénomène s’explique principalement par une concurrence accrue entre les banques d’investissement qui souhaitent préserver leurs marges et par les exi- gences croissantes de clients de plus en plus avertis, informés et désireux de pro…ter de toutes les opportunités o¤ertes par les marchés mondiaux.
Pour mesurer et analyser les risques qu’implique cette intensi…cation des échanges, les intervenants (salles de marché, sociétés de gestion, fonds d’investissement) doivent développer des modèles de marché probabilistes qui capturent les carac- téristiques comportementales des sous-jacents de manière toujours plus réaliste.
Par exemple, on peut remplacer la volatilité constante de la di¤usion lognormale du modèle de Black et Scholes (1973) par une volatilité stochastique (Hull et White 1987, Heston 1993) ou bien combiner le mouvement Brownien qui per- turbe l’évolution des rendements avec un processus à sauts (Merton 1976, Kou 2002). Mais ces modèles ne conduisent plus à des formules analytiques telles que la formule de Black et Scholes (1973).
Les méthodes de simulation numérique du type Monte Carlo ou Quasi-Monte Carlo deviennent alors un outil incontournable pour estimer la valeur des pro- duits dérivés complexes (Bouleau et Lépingle 1993, Jäckel 2002, Glasserman 2004).
Cette partie s’organise en deux chapitres.
Le premier chapitre24porte sur la méthode d’intégration numérique probabiliste Monte Carlo. Nous nous attachons à identi…er un générateur pseudo-aléatoire de nombres uniformes rapide et robuste. Nous proposons une technique d’échan- tillonnage de la loi normale scalaire et vectorielle adaptée aux contraintes cal- culatoires de la simulation numérique intensive. Nous présentons les techniques de simulation Monte Carlo et deux solutions pour accélérer la convergence de l’estimateur et nous montrons comment ces méthodes peuvent être appliquées pour évaluer une option dont le prix dépend du chemin suivi par le sous-jacent.
Le second chapitre porte sur la méthode de Quasi-Monte Carlo, fréquemment considérée comme une version déterministe de la méthode de Monte Carlo, car
2 3CPPI signi…e Constant Proportion Portfolio Insurance. Stratégie de gestion dynamique consistant à allouer dynamiquement un portefeuille composé schématiquement d’une poche risquée et d’une poche sans risque, a…n de maintenir un e¤et de levier constant sur l’actif risqué, tout en sécurisant les performances déjà réalisées par le portefeuille.
2 4Une version de ce chapitre a été publiée dans le Bulletin Français d’Actuariat Bulletin, Vol. 8, No. 14, juillet - décembre 2007, sous le nom “Outils numériques pour la simulation Monte Carlo des produits dérivés complexes”.
elle repose sur l’utilisation de suites déterministes qui présentent un très haut degré d’uniformité, appelées suites à discrépance faible. Nous menons une étude complète (propriétés théoriques et implémentation) de deux familles de suites à discrépance faible classiques et nous proposons une solution pour améliorer leurs propriétés en grande dimension. Par ailleurs, en procédant à des tests nu- mériques, nous montrons comment implémenter la méthode de Quasi-Monte Carlo pour obtenir une réduction de l’erreur signi…cative par rapport à la mé- thode de Monte Carlo.
Les méthodes présentées nécessitant des calculs intensifs et répétitifs, nous avons accordé une importance particulière à la manière dont il faut implémenter les générateurs de nombres uniformes de manière à réduire les temps d’échantillon- nage.
Chapitre 1
Intégration probabiliste Monte Carlo
1.1 Introduction
La simulation aléatoire consiste d’une part à produire des échantillons indépen- dants, identiquement distribués (i.i.d.) de loi uniformeU(0;1) par un procédé déterministe (L’Ecuyer 2004a) –il convient donc de porter une attention particu- lière sur les générateurs pseudo-aléatoires utilisés, car ce sont eux qui permettent d’échantillonner les lois de probabilité sous-jacentes du modèle théorique – et d’autre part à déterminer une transformation de la loi uniforme pour engendrer la loi de probabilité souhaitée, sachant que la plupart des lois de probabilité se déduisent de la loi uniforme par des transformations plus ou moins triviales (Devroye 1986, Niederreiter 1992).
1.1.1 Origines de la méthode de Monte Carlo
Une application majeure de la simulation de systèmes stochastiques complexes est la méthode de Monte Carlo. C’est un outil d’inférence statistique qui permet d’approcher une quantité déterministe, telle que l’espérance d’une variable aléa- toire. Le principe consiste (i) à simuler un grand nombre de réalisations de la variable aléatoire considérée puis (ii) à approcher l’espérance de cette variable par la moyenne empirique de l’échantillon ainsi construit. L’utilisation systéma- tique de la méthode de Monte Carlo pour résoudre des problèmes complexes coïncide avec l’apparition des premiers ordinateurs au milieu des années 1940.
On peut considérer que John von Neumann et Stanislaw Ulam sont les premiers à avoir eu l’idée d’utiliser des nombres aléatoires générés par un ordinateur.
Leur objectif était de résoudre les problèmes rencontrés lors de la mise au point de la bombe atomique (Lemieux 2008). Le terme Monte Carlo, utilisé par Me- tropolis et Ulam (1949), fait référence au célèbre casino de la principauté de Monaco où l’on peut pratiquer le jeu de roulette qui peut être assimilé à une
succession d’épreuves aléatoires. La méthode de Monte Carlo a connu un essor considérable dans la période 1950-1980. Parmi les auteurs ayant contribué à son développement, nous pouvons citer Hammersley et Morton (1956), Hammersley et Handscomb (1964), Haber (1966), Kuipers et Niederreiter (1974) et Nieder- reiter (1978). Cette liste non exhaustive donne les principales références sur le sujet.
Boyle (1977) est, à notre connaissance, le premier à avoir proposé d’appliquer la méthode de Monte Carlo pour évaluer des produits optionnels. L’idée sous- jacente consiste à remarquer que la valeur d’une option est égale à l’espérance de son payo¤ actualisé. On peut alors mettre en oeuvre la méthode de Monte Carlo en simulant un grand nombre de réalisation du payo¤ considéré. L’approche Monte Carlo est aujourd’hui utilisée dans presque tous les domaines de la …nance quantitative pour simuler la dynamique des variables de marché. L’objectif étant d’e¤ectuer des calculs de risques, de déterminer des allocations optimales de portefeuilles et d’évaluer les contrats optionnels aux caractéristiques complexes (Jäckel 2002, Glasserman 2004).
1.1.2 Organisation du chapitre
Ce chapitre s’inscrit dans un contexte où les méthodes de simulation numérique sont devenues un outil indispensable pour la modélisation et la quanti…cation des risques de nature …nancière. Il s’attache à montrer comment le praticien peut utiliser les résultats théoriques de la littérature spécialisée pour répondre au problème de l’évaluation des produits dérivés par la méthode de Monte Carlo.
Les sections 2, 3 et 4 sont consacrées au choix fondamental des outils de simula- tion, tandis que les sections 5 et 6 présentent la méthode de Monte Carlo, deux méthodes systématiques pour réduire la variance ainsi que leur implémentation pour évaluer un produit dérivé.
La section 2 pose le problème de l’imitation du hasard sur un ordinateur, i.e.
par un procédé déterministe. A ce titre, nous comparons di¤érents générateurs aléatoires. En particulier, nous présentons une technologie récente dite "Mer- senne Twister" (Matsumoto et Nishimura 1998) et montrons qu’elle constitue une solution rapide et robuste pour simuler la loi uniformeU(0;1). La section 3 est consacrée à la simulation de la loi normale, car cette loi de probabilité est très fréquemment utilisée pour modéliser l’évolution des facteurs de risque du marché. Nous envisageons successivement deux approches pour échantillonner la loi gaussienne : la transformation non linéaire d’un jeu de variables uniformes (méthode de Box-Muller), puis la méthode d’inversion de la fonction de répar- tition (Beasley et Springer 1977, Moro 1995, Acklam 2000). Les tests pratiqués s’inspirent des travaux de Neave (1973) et montrent que la première solution in- duit des biais d’échantillonnage non négligeables, tandis que la seconde solution permet de supprimer ces biais. Dans la section 4, nous abordons le problème de la simulation de la loi normale multidimensionnelle à partir de la loi nor- male scalaire. Nous discutons le problème de la décomposition de la matrice de
covariance et nous proposons un algorithme e¢ cace et rapide pour simuler des variables suivant une loi de Gauss multivariée. Dans la section 5, nous rappelons les principes et les propriétés de la méthode de Monte Carlo, puis nous présen- tons ensuite deux techniques pour réduire systématiquement la variance de l’es- timateur quelle que soit la forme initiale du problème : la méthode "classique"
des variables antithétiques et une méthode dite "adaptative", plus récente et plus ‡exible que la méthode antithétique (Arouna 2004, Bouchard 2006). Dans la section 6, nous appliquons les méthodes étudiées précédemment pour évaluer des produits dérivés complexes. Nous prenons comme exemple le cas d’une op- tion asiatique géométrique mono sous-jacent, pour laquelle le prix est connu sous une forme explicite1. Nous montrons comment les méthodes de réduction de va- riance permettent de contrôler l’incertitude sur le prix simulé et nous procédons à une analyse numérique du comportement des estimateurs mis en oeuvre. Nous donnons la conclusion du chapitre dans la section 7.
1.2 Générateurs pseudo-aléatoires
En raison de leur simplicité et parce qu’elles nécessitent des calculs intensifs et répétitifs, les méthodes de simulation se prêtent bien à une implémentation informatique. Cela suppose que l’on soit capable de produire rapidement des nombres au hasard par un procédé déterministe. Nous discutons ce point dans la suite.
1.2.1 Considérations générales sur les nombres aléatoires
Choix d’une source de hasard
Sources de hasard réel On connaît aujourd’hui une seule méthode pour obtenir des nombres véritablement aléatoires. Elle consiste à mesurer des phé- nomènes physiques intrinsèquement aléatoires, comme le bruit thermique dans les semi-conducteurs ou les émissions d’une source radioactive (Lachaud et Leclanche 2003). Cette approche semble particulièrement prometteuse dans le domaine de la cryptographie. Ainsi, on sait obtenir des clés de chi¤rement uniques et imprédictibles en exploitant les propriétés quantiques de photons polarisés (Langlois 1999). Cependant, elle nécessite des équipements spéciaux particulièrement onéreux, ce qui la rend impropre à la simulation numérique sur les systèmes courants.
Sources de hasard virtuel Les spécialistes préfèrent exploiter d’autres tech- niques, dont l’objectif est d’imiter le hasard le mieux possible. Pour cela, on utilise des algorithmes purement déterministes, appelés générateurs pseudo- aléatoires. Les séquences construites par un tel générateur sont sensées repro- duire …dèlement les propriétés statistiques de suites de nombres véritablement
1Etant donné que le prix "réel" du produit est connu, nous serons en mesure d’apprécier la convergence de la méthode numérique vers son ob jectif théorique.
aléatoires. On démontre qu’il ne su¢ t pas de juxtaposer "au hasard" des ins- tructions machine pour obtenir un bon générateur. Cette démarche peut s’avérer désastreuse. En conséquence, l’élaboration d’un générateur doit reposer sur des fondements théoriques solides.
Architecture d’un générateur pseudo-aléatoire La plupart des généra- teurs pseudo-aléatoires fabriquent des nombres Uk apparemment i.i.d. de loi U(0;1)selon un schéma récurrent et déterministe de la forme suivante :
Uk=g(sk), oùsk =f(sk 1) ets02 S: (1.1) Les fonctions f : S ! S (fonction de transfert) et g : S !(0;1) (fonction de sortie) sont déterministes. L’espace des étatsSest un ensemble …ni de symboles représentables en machine. Le symbole produit à la k-ième itération, sk, est l’état interne du générateur. Cette présentation formelle des générateurs pseudo- aléatoires est due à L’Ecuyer (2004a).
Choix de l’état initial L’état initials0, qui permet d’amorcer la récurrence, est aussi appelé la graine ou encore le germe du générateur (seed en anglais).
Lorsqu’il est …xé une fois pour toutes, on obtient invariablement la même sé- quence. Cela facilite le développement et la mise au point des modèles et permet de reproduire une expérience virtuelle avec les mêmes conditions initiales. En dehors de ces besoins particuliers, il est recommandé d’amorcer le générateur avec des graines uniformément i.i.d. dans l’espace des états, ce qui permet d’en- visager, équitablement et sans biais, l’ensemble des évolutions possibles pour le modèle. Comme l’objectif visé est l’analyse d’un phénomène simulé et non pas la sécurité d’un système, on peut engendrer les graines successives avec un générateur pseudo-aléatoire auxiliaire (plus facile à exploiter qu’une source de hasard physique).
Propriétés indésirables et propriétés recherchées
Défauts structurels des algorithmes pseudo-aléatoires Comme l’espace des états est …ni, l’algorithme ne peut renvoyer qu’un nombre …ni de valeurs distinctes et, comme la dynamique (1.1) est déterministe, le générateur retrouve le même état interne au bout d’un certain nombre d’itérations. Ensuite, les mêmes séquences sont à nouveau générées. En d’autres termes, les générateurs pseudo-aléatoires sont périodiques. Ces propriétés des séquences simulées ne sont pas en accord avec le fait qu’une séquence véritablement aléatoire de loi U(0;1)est par nature non-périodique et qu’elle prend une in…nité de valeurs.
En pratique, on exige que la période T du générateur (déterminée par f et card (S)) soit largement supérieure à la longueur de toutes les séquences envi- sageables et que l’échantillonnage du segment unité (déterminé parS et g) soit le plus …n possible. Il est communément admis que pour un bon générateur on doit avoir
T 'card (S) et, si possible,T 260'1:15 1018: (1.2)
Pour cela, on peut choisirf comme une permutation imprédictible des éléments deS et construireg de façon à transformer les états internes successifs en une suite de valeurs discrètes bien équidistribuées.
Propriétés statistiques recherchées Le critère (1.2) ne su¢ t pas à dé…nir un bon générateur (L’Ecuyer 2004a, p. 4). Il faut aussi véri…er les propriétés statistiques des séquences générées (uniformité, équidistribution, indépendance, imprédictibilité) par des tests exigeants qui permettent d’identi…er les algo- rithmes les plus e¢ caces. De tels tests sont présentés de manière approfondie dans Knuth (1998), L’Ecuyer (1998a, 1998b), Niederreiter (1992) ou Klimasaus- kas (2003b). Malgré tout, chaque générateur pseudo-aléatoire a des caractéris- tiques intrinsèques qui le rendent impropre à certains types d’applications. C’est pourquoi, il est recommandé d’utiliser exclusivement des générateurs dont les propriétés théoriques ont été établies par des spécialistes, puis validées par un jeu de tests connus commeDIEHARD(Marsaglia 1996) ouTestU01(L’Ecuyer et Simard 2005).
Propriétés non statistiques souhaitables Lorsque le générateur est utilisé pour la simulation numérique intensive, certaines propriétés, de nature non sta- tistique, comme la rapidité des calculs, la reproductibilité des séquences (qui per- met de recommencer une expérience virtuelle dans des conditions identiques) et la portabilité du code (pour la mise en oeuvre sur di¤érentes machines) s’avèrent particulièrement intéressantes.
Evolution de la technologie
Les algorithmes pseudo-aléatoires les plus anciens (les plus simples aussi) sont les générateurs à congruences linéaires (Niederreiter 1978, Knuth 1998). Bien qu’ils équipent la plupart des systèmes de calcul standards, leurs propriétés s’avèrent souvent décevantes (L’Ecuyer (2001) ou Klimasauskas (2003a, 2003b)).
Les spécialistes ont su faire évoluer les techniques (Gentle 2003) parallèlement à l’évolution de la puissance de calcul des ordinateurs, d’abord en combinant des générateurs connus (Wichmann et Hill 1982, L’Ecuyer 1988), puis en explorant des solutions nouvelles. Aussi, les générateurs récents sont-ils conçus autour de l’architecture binaire des ordinateurs (L’Ecuyer et Panneton 2000, Panneton 2004).
1.2.2 Générateurs linéaires congruentiels
La plupart des logiciels de calcul ou de développement disposent d’un générateur de nombres aléatoires. Pour des raisons principalement historiques, celui-là est souvent de type linéaire congruentiel. La méthode des congruences linéaires fut introduite par Lehmer en 1949. Elle est particulièrement bien présentée dans l’ouvrage de Knuth (1998, p. 10).
Approche théorique
Dynamique linéaire congruentielle La dynamique d’un générateur linéaire congruentiel (LCG) est donnée par :
Xk= (aXk 1+c) modmetX02N; (1.3) avecm2N (le module), a2N (le multiplicateur),c2N(l’incrément).
La récurrence (1.3) est appelée suite de Lehmer et son comportement est entière- ment déterminé par le triplet(m; a; c)etX0(L’Ecuyer 2004a). Par construction, l’espace des états et la période d’un générateur congruentiel véri…ent :
S Nm
def= f0; : : : ; m 1g; T m:
En distinguant le cas c = 0 (générateurs congruentiels multiplicatifs) du cas c >0(générateurs purement a¢ nes) on sait trouver des jeux de paramètres qui permettent de maximiser la période.
Obtenir des nombres uniformes dans (0;1) Comme0 Xk m 1, il y a trois possibilités pour construire un nombre uniformeUk entre0et 1:
Uk= Xk
m ouUk = Xk
m 1 ouUk= Xk+ 0:5
m =Xk
m + 1
2m:
La première (resp. la seconde) solution conduit à des nombres dans l’intervalle semi-ouvert[0;1[(resp. l’intervalle fermé[0;1]), tandis que la troisième solution génère des nombres dans l’intervalle ouvert ]0;1[. Nous recommandons cette dernière approche, car elle présente deux avantages : (i) il n’est pas possible d’obtenir0 ou 1 (intéressant lorsqu’on applique l’inverse d’une fonction de ré- partition aux sorties du générateur), (ii) les valeurs possibles pourUk sont dans l’ensemblef1=(2m); : : : ;1 1=(2m)g, qui est symétrique autour de1=2.
Générateurs congruentiels multiplicatifs (c= 0)
Dé…nition et propriété Lorsque c = 0, on parle de générateur linéaire congruentiel multiplicatif (MLCG) et la récurrence (1.3) devient :
8k2N ; Xk = (aXk 1) modm: (1.4) Dans ce cas, l’état0est absorbant : siXk = 0, alors les termes suivants dans la suite seront tous nuls. Le générateur doit donc prendre ses valeurs dansNmn f0g, de cardinalm 1. Knuth (1998, p. 20) démontre le théorème suivant.
Théorème 1.1 SoitX un MLCG dé…ni par(m; a)etX0.
– Si m est premier, la période maximale vaut m 1. Elle est atteinte si et seulement siX0^m= 1 etaest primitif2 modulo m.
2Un entieraest primitif modulomsi et seulement siam 1modm= 1etak 1modm6= 1 pourk= 1; : : : ; m 1.
