Dans cette section, nous donnons les concepts théoriques qui seront utilisés lors de la construction de la courbe zéro-coupon et nous démontrons que l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) induit des contraintes sur la forme de la courbe des taux, qu’il faut impérativement prendre en compte lors de la procédure de reconstruction. La lettretdésigne la date courante (aujourd’hui).
3.2.1 Autour de la notion de zéro-coupon
Obligation zéro-coupon
On appelle obligation zéro-coupon (ou plus simplement zéro-coupon) d’échéance T un instrument …nancier qui paye une unité monétaire (u.m.) à la dateT et qui ne détache aucun ‡ux avant la dateT. On noteB(t; T)le prix en datetde l’obligation d’échéanceT :
B(t; T) = prix en date tde1u.m. payée en date T.
Par dé…nition, on aB(t; t) = 1.
Lorsque les taux sont déterministes, la quantitéB(t; T)est appelée facteur d’ac-tualisation à la datet et la fonctionT !B(t; T)est appelée fonction d’actua-lisation à la datet. Dans la suite, nous emploierons indi¤éremment l’expression
"facteur d’actualisation" ou "zéro-coupon".
Taux zéro-coupon
Il existe plusieurs manières de dé…nir le taux de rendement d’un zéro-coupon.
Taux zéro-coupon annuel continu Le taux zéro-coupon annuel continu qui prévaut entre les datestetT, noté R(t; T), est dé…ni par la relation :
B(t; T) = exp ( R(t; T) (t; T)),R(t; T) = lnB(t; T)
(t; T) ; (3.1) où (t; T)désigne le nombre d’années entre la date t et la dateT, c’est-à-dire la maturité du zéro-coupon. La fonction T ! R(t; T) est appelée la gamme (ou courbe ou structure par terme) des taux zéro-coupon à la date t. C’est précisément cette fonction que nous cherchons à obtenir.
Taux zéro-coupon continu ‡at On appelle taux zéro-coupon continu ‡at ou, plus simplement, taux zéro-coupon ‡at la quantité dé…nie par :
R~(t; T) =R(t; T) (t; T) = lnB(t; T): (3.2) Etant donné queB(t; t) = 1, on aR~(t; t) = 0.
Taux zéro-coupon annuel linéaire Le taux zéro-coupon annuel linéaire qui prévaut entre les datestetT, noté L(t; T), est dé…ni par la relation :
B(t; T) = 1
1 +L(t; T) L(t; T) ,L(t; T) = 1
L(t; T) 1
B(t; T) 1 : (3.3) La quantité L(t; T)désigne le nombre d’années entre la date t et la date T. L’indice "L" signi…e simplement que l’on ne mesure pas nécessairement les an-nées de la même manière lorsque le taux considéré est linéaire et lorsque le taux considéré est continu. Ce point sera discuté dans la suite.
Nous pouvons maintenant introduire la notion de taux forward.
3.2.2 Taux forward
D’une manière générale, le terme "forward" désigne tout instrument ou toute grandeur …nancière relative à une période dont la date de départTest supérieure à la date courantet.
Zéro-coupon forward-start
Un zéro-coupon forward-start est un zéro coupon dont la date de départT est supérieure à la datet. On note B(T; U)le prix qu’il faudra payer à la dateT pour détenir le zéro-coupon forward-start d’échéanceU T :
B(T; U) = prix en dateT de1u.m. payée en date U.
Il est possible de …xer à la datetle prix futurB(T; U). Le principe est d’acheter le zéro-coupon d’échéanceU et de vendre simultanémentB(t; U)=B(t; T) zéro-coupons d’échéanceT. La stratégie donne lieu à deux ‡ux : un ‡ux sortant à la
dateT (égal àB(t; U)=B(t; T)) et un ‡ux entrant à la dateU (égal à1u.m.).
On reconnaît un zéro-coupon synthétique de départT et d’échéance U dont le prix est donné par la formule :
Bt(T; U)def= B(t; U)
B(t; T); T U: (3.4)
L’indice "t" signi…e qu’il s’agit d’une quantité "vue det". En faisantT =t et U =T dans la formule ci-dessus on retrouve le prix d’un zéro-coupon départt: i.e.Bt(t; T) =B(t; T). Donc la dé…nition (3.4) est consistante.
Taux zéro-coupon forward
Comme dans le cas des opérations départt, il existe plusieurs manières de dé…nir le taux de rendement associé à un zéro-coupon forward-start.
Taux zéro-coupon forward annuel continu Le taux de rendement associé au zéro-coupon forward-start est notéRt(T; U)et dé…ni par :
Rt(T; U) = lnBt(T; U)
(T; U) = lnB(t; T) lnB(t; U)
(T; U) ; (3.5)
où (T; U)est le nombre d’années entre la date T et la dateU, c’est-à-dire la maturité de l’obligation.
Taux zéro-coupon forward continu ‡at Le taux de rendement associé au zéro-coupon forward-start est notéR~t(T; U)et dé…ni par :
R~t(T; U) = lnBt(T; U) = lnB(t; T) lnB(t; U): (3.6) Taux zéro-coupon forward annuel linéaire Le taux de rendement forward linéaire entre la dateT et la date U est dé…ni par la relation :
Bt(T; U) = 1
1 +Lt(T; U) L(T; U): (3.7) Un simple calcul nous donne :
Lt(T; U) = 1
L(t; T)
B(t; U)
B(t; T) 1 : (3.8)
Nous disposons de tous les éléments pour dé…nir le concept de taux instantané.
3.2.3 Taux instantané
Taux forward instantané
On suppose que la fonctionU !Rt(T; U)est continue. On peut alors dé…nir pour chaque dateT la quantité :
rt(T)def= lim
U!T+Rt(T; U): (3.9) rt(T) est appelé taux forward implicite instantané ou plus simplement taux forward instantané. Il s’agit du taux court qui prévaudra entre les dates futures TetT+dT, vu det. Nous en donnons une interprétation au paragraphe suivant.
En remplaçantRt(T; U)par son expression (3.5) on véri…e facilement que : rt(T) = @lnBt(T; U)
@U U=T = @lnB(t; U)
@U U=T: (3.10)
D’après (3.2), on peut remplacer lnB(t; U)parR~(t; U)dans la formule pré-cédente, ce qui nous donne une troisième expression pour le taux forward ins-tantané :
rt(T) = @R~(t; U)
@U U=T
: (3.11)
A partir de (3.10), on peut exprimer très simplement les prix zéro-coupon en fonction du taux forward instantané :
B(t; T) = exp Z T
t
rt(s)ds
!
,Bt(T; U) = exp
Z U T
rt(s)ds
!
: (3.12) Nous donnons ci-dessous une interprétation simple du taux forward instantané lorsque l’économie est stochastique.
Interprétation du taux forward instantané
On suppose que, en plus des zéro-coupons, il est possible d’investir dans un actif monétaire "sans risque", dont les intérêts sont capitalisés continûment au taux court de l’économiert, supposé stochastique. Soit t;T, la valeur à la dateT, de 1u.m. investie dans l’actif monétaire à la datet. On a clairement :
t;T = exp Z T
t
rsds
!
: (3.13)
A…n d’éviter toute opportunité d’arbitrage entre l’actif monétaire et le zéro-coupon, il faut imposer la condition suivante : un investissement de B(t; T) u.m. dans le zéro-coupon d’échéance T et un investissement de B(t; T) u.m.
dans l’actif monétaire doivent tous deux générer1u.m. à la dateT. Etant donné
que le taux court évolue de manière stochastique, cette condition se traduit par la relation (Rebonato 2002) :
B(t; T) = EQ
"
exp Z T
t
rsds
! jFt
#
; (3.14)
où EQ[ jFt] est l’opérateur "espérance sous Q conditionnellement à l’infor-mation disponible en t" et Q désigne une mesure de probabilité risque-neutre (Harrison et Kreps 1979, Harrison et Pliska 1981). Par un raisonnement ana-logue, on démontre aussi la relation :
Bt(T; U) = EQ
"
exp
Z U T
rsds
! jFt
#
: (3.15)
En nous basant sur (3.15), on peut écrire2 :
@lnBt(T; U)
@U = @Bt(T; U)=@U Bt(T; U)
= 1
Bt(T; U)EQ
"
@exp
Z U T
rsds
!
=@UjFt
#
= 1
Bt(T; U)EQ
"
rUexp
Z U T
rsds
! jFt
#
: (3.16) En faisantU =T dans (3.16) on obtient :
@lnBt(T; U)
@U = EQ[rTjFt]: (3.17)
En identi…ant le résultat obtenu avec (3.10) il vient :
rt(T) = EQ[rTjFt]; T t: (3.18) La relation précédente montre que, lorsque les taux sont stochastiques, le taux forward instantané est la meilleure estimation possible du taux court futur.
Lorsque l’on suppose que les taux sont déterministes, on peut supprimer l’opé-rateur espérance dans la formule (3.18) qui s’écrit alors :
rt(T) =rT: (3.19)
Dans ce cas, le taux forward instantané est égal au taux court qui prévaudra dans le futur.
Les concepts introduits jusqu’ici reposent implicitement sur l’hypothèse d’ab-sence d’opportunité d’arbitrage (ou AOA) dont nous analysons les conséquences ci-dessous.
2Pour une présentation détaillée, le lecteur pourra consulter Muselia et Rutkowski (1997).
3.2.4 Courbe de taux admissible
L’AOA induit des contraintes sur la forme de la courbe des taux, qu’il faut impérativement prendre en compte lors de la procédure de construction. Nous énonçons ces contraintes ci-dessous (voir démonstration en Annexe A).
Proposition 3.1 Lorsque la courbe des taux ne présente pas d’opportunité d’ar-bitrage, alors les trois propositions équivalentes suivantes sont véri…ées :
1. la fonction d’actualisation est décroissante, 2. les taux continus ‡ats sont croissants, 3. les taux forwards instantanés sont positifs.
Nous donnons ci-dessous la dé…nition d’une courbe de taux admissible, au sens de l’AOA.
Dé…nition 3.1 On dit que la courbe des taux zéro-coupon est admissible si et seulement si l’un des trois points de la proposition (3.1) est véri…é.
Pour pouvoir mettre en oeuvre les outils théoriques introduits dans cette section, il est indispensable de connaître les conventions et les termes techniques utilisés par les intervenants qui opèrent sur les marchés de taux. Cela fait l’objet de la section suivante.