Expression des figures d’interf´ erences

par le sillon, par rapport au champ diffract´e par la fente. Nous avons enfin fait varier les param`etres g´eom´etriques du sillon, pour pouvoir d´eterminer leur influence sur le comportement du syst`eme. En plus de ces structures compos´ees d’une fente et d’un sillon, nous avons mesur´e, comme nous le verrons plus loin (§4.4), les caract´eristiques d’une s´erie de doublets compos´es d’un trou de section circulaire de 300 nm de diam`etre et d’un sillon de 100 nm de large et 70 nm de profondeur.

Le tableau 4.2 r´ecapitule l’ensemble des ´echantillons ´etudi´es.

Label Largeur Profondeur Distance Pas nombre

(nm) (nm) maximale (µm) (nm) de sillons

VIIIa 415 100 80 830 2

VIIIb 415 100 80 830 2

VIIIc 415 100 80 830 1

VIIId 415 100 80 830 1

Xa 100 100 6 103 2

Xb 415 100 6 103 2

Xd 100 100 6 103 1

XIIIa `a XIIIh 100 32 `a 256 3,5 103 1

XIVa `a XIVg 415 32 `a 256 3,5 103 1

XVI trou + sillon, a= 300 nmb = 100 nm, h = 70 nm 103 1 Tab. 4.1: Tableaux r´ecapitulatif des ´echantillons ´etudi´es.

Les structures comportant deux sillons donnent des r´esultats concordant avec les mesures effectu´ees sur des structures comportant un seul sillon. Pour simplifier la discussion, nous ne pr´esenterons pas les r´esultats obtenus pour les structures sym´etriques.

4.3 Expression des figures d’interf´ erences

Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons donn´e un mod`ele permettant de reproduire les spectres angulaires observ´e. Nous reprenons ici cette description avec un peu plus de d´etails.

Le mod`ele pr´esent´e a simplement pour but de clarifier la discussion des r´esultats observ´es et ne pr´etend pas ˆetre une description th´eorique rigoureuse de la r´eponse optique des structures consid´er´ees.

4.3.1 D´ efinitions

On consid`ere dans tout ce chapitre des champs scalaires E(x,z)e^i(kr−ωt).

Le champ incident est not´e Ei. On travaille toujours avec un champ polaris´e TM. Dans la mesure o`u la largeur en 1/e² est grande devant la taille des structures (300µm contre quelques µm), on peut consid´erer le champ incident comme une onde plane.

Le champ associ´e `a la fente se d´ecompose en cinq termes : – le champ radiatif diffus´e dans le verre (milieu 1), E<sub>f1</sub> – le champ de surface `a l’interface air/m´etal, Ef s3

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Fig. 4.2: D´efinition des grandeurs g´eom´etriques d’un doublet fente-sillon.

Dans tout ce qui suit, le sillon est plac´e `a gauche de la fente, et les angles sont donn´es avec l’orientation de θdonn´ee sur ce sch´ema.

– le champ `a l’int´erieur de la fente, Ef2

– le champ radiatif diffus´e dans l’air (milieu 3), Ef3

– le champ de surface `a l’interface verre/m´etal, E_{f s1}. De mˆeme pour le champ associ´e au sillon, on a trois termes³⁷ :

– le champ radiatif diffus´e dans l’air, E_g3

– le champ de surface `a l’interface air/m´etal, Egs

– le champ `a l’int´erieur du sillon, Egl.

Voir la figure 4.3 pour une repr´esentation sch´ematique des diff´erents champs consid´er´es.

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Fig. 4.3: Sch´ema des diff´erents champs consid´er´es en face de sortie.

Le processus de transmission de la lumi`ere par les structures ´etudi´ees est d´ecrit comme un couplage entre ces diff´erents champs. On a vu dans le premier chapitre (voir §1.1.2) qu’on ne pouvait pas coupler directement un champ radiatif `a un champ de surface. Dans notre description, les champs locaux sont donc les interm´ediaires entre le champ radiatif et le champ de surface. On note par des lettres grecques minuscules les efficacit´es de conversion d’un champ vers l’autre. Les coefficients complexes de conversions via la fente du milieu j vers le milieu i sont not´ees αij, etβij pour le sillon. Les indices i et j d´esignent les milieux 1 pour le substrat de verre, 2 pour le di´electrique dans le motif, 3 pour l’air et s pour l’interface. La norme de

37On utilise l’indice g (comme groove) pour les champs issus du sillon, l’indice s´etant utilis´e pour d´esigner les champs de surface.

4.3. Expression des figures d’interf´erences 159 ces coefficients donne l’efficacit´e scalaire de conversion du champ Ej vers le champ Ei et leur phase, not´eeϕij (ψij pour le sillon) le retard de phase associ´e `a cette conversion. Par exemple, la conversion d’un champ de surface vers un champ radiatif par diffraction par le sillon s’´ecrira<sup>38</sup> : Eg3(xg,0) =|β3s|exp(iψ3s)Es(xg), o`uEs(xg) est le champ de surface ´evanescent issu de la fente.

4.3.2 hypoth` eses

On reprend les hypoth`eses du chapitre pr´ec´edent (§3.3.3) :

1. les champs radiatifs ´emis sont cylindriques (ils ne d´ependent pas de l’angle θ) : Erad(r) = Erad(x,0)

r exp i(kr−ωt)

o`u la position r est rep´er´ee par rapport `a la source consid´er´ee en (x,0).

2. les champs de surface sont d´ecrits comme des champs ´evanescents se propageant sur la surface avec une constante de propagation effective ks = nsk, ns est appel´e indice de la surface, leur amplitude d´epend ´eventuellement de la distance `a la fente :

E_s(x,z) =E_s(x₀,0)f(x) expi[±k_s(x−x₀)−ωt]

o`u ks et κ sont des r´eels. La fonction f(x) permet de rendre compte de l’´eventuelle d´ependance de l’amplitude de E<sub>s</sub> avec la distance `a sa source.

Comme pr´ec´edemment, nous ´etudions deux situations : le sillon est plac´e face au laser d’excitation (face d’entr´ee) puis face au d´etecteur (face de sortie).

4.3.3 Sillon en face d’entr´ ee

Le champ incident est diffract´e par la fente et le sillon. On mesure l’intensit´e transmise `a travers le substrat (z < e), I1 ∝ E1.E<sub>1</sub><sup>∗</sup>. Le champ radiatif E1 est proportionnel `a l’amplitude du champ local dans la fente, Ef2 =α21E1. Ce champ r´esulte de l’interf´erence entre le champ incident et le champ de surface issu du sillon en (0,−e) (voir la figure 4.4). Seuls ces deux chemins optiques sont consid´er´es, c’est-`a-dire qu’on ne tient pas compte des processus d’ordres sup´erieurs, comme par exemple le chemin qui passerait par le champ de surface issu de la r´eflexion par le sillon du champ de surface cr´e´e par la fente. On peut donc ´ecrire :

E1 =α12El =α12(α23E3+α2sEse^iφs) =α12(α23+α2sβs3f(x)e^iφs)E3 (4.1) On suppose que les coefficients complexesα_ij etβ_s3 ne d´ependent que de la g´eom´etrie de la fente et du sillon, respectivement. Le terme exp(iφs) correspond au retard de phase associ´e `a la propagation du champ de surface entre le sillon et la fente.

φs =ns

2π

λ xg (4.2)

38Un formalisme similaire pour le taux de transmission d’une fente seule est employ´e dans l’´equation (1.37), p.98 d’apr`es Y. Takakura [53].

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Fig. 4.4: L’intensit´e observ´ee r´esulte des interf´erences entre les deux chemins A et B.

D’o`u l’expression de l’intensit´e transmise en fonction de la distance fente-sillon : I(xg) = I0

φi est appel´ee la phase intrins`eque du champ associ´e au sillon. On suppose que ce retard de phase ne d´epend pas de la distance fente-sillon. On pose par convention ϕ23 = 0.

I0 est l’intensit´e transmise en l’absence de sillon. L’observation de l’intensit´e transmise en fonction de xg permet de d´eduire ηi et φi.

On attend donc un signal modul´e `a la fr´equence spatiale 2πns/λ, l’amplitude de modulation

´etant proportionnelle `a l’amplitude du champ de surface. Le facteur de proportionnalit´e est ´egal au produit des efficacit´es de couplage entre le champ incident et le mode du sillon, et du mode du sillon avec le champ de surface. Notons que l’analyse ci-dessus s’applique aussi au doublet trou-sillon.

Comme nous allons le voir, une information similaire sera obtenue en pla¸cant le sillon face au d´etecteur.

4.3.4 Sillons en face de sortie

En face de sortie, on observe les interf´erences entre les champs propagatifs ´emis par la fente Ef3 et le sillon Eg3. Les deux chemins possibles sont sch´ematis´es sur la figure 4.5. On n´eglige ici encore les chemins d’ordres sup´erieurs.

Les amplitudes de ces deux champs sont proportionnelles `a l’amplitude du champ incident.

Selon nos conventions, Ef3 =α32α21E1 etEg3 =β3sαs2α21E1.

Comme dans le cas du groupe de sillon d´ecrit au chapitre pr´ec´edent, la diff´erence de phase entre ces deux champs `a un angle θ donn´e s’´ecrit (voir la figure 4.6) :

φs(θ,xg) = 2πxg

λ (ns+ sinθ) (4.6)

On peut donc donner l’expression de l’intensit´e d´etect´ee en fonction de θ : I(θ,xg) =I0

1 +η²_o+ 2ηo.cos(φs(xg) +φo)

(4.7)

4.3. Expression des figures d’interf´erences 161

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Fig. 4.5: Le champ propagatif r´esulte des interf´erences entre les deux sources sch´ematis´ees ici.

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Fig. 4.6: Diff´erence de chemin entre les faisceaux ´emis par la fente et par le sillon `a un angleθdonn´e.

Avec :

ηo(xg) = |β3s||αs2|

|α₃₂| f(xg) =η^∞_o f(xg) et φo =ψ3s+ϕs2−ϕ32

D’apr`es l’´equation (4.7) le spectre angulaire observ´e doit donc ˆetre une fonction sinuso¨ıdale de sinθ. Le contraste des oscillations d’intensit´e d´epend de l’amplitude du champ de surface, normalis´ee par l’amplitude du champ radiatif issu de la fente.<sup>39</sup>Cette amplitude d´ependa priori de la distancex<sub>g</sub> entre la fente et le sillon, de la g´eom´etrie de la fente, qui d´etermine l’amplitude relative des champs ´evanescent et radiatif, et de la g´eom´etrie du sillon, qui d´etermine l’efficacit´e de couplage entre le champ ´evanescent et le champ radiatif. En faisant varier ces param`etres, on peut analyser les contributions respectives de chacun de ces termes.

L’asym´etrie entre les deux ´emetteurs d’une structure `a un seul sillon permet en outre de mesurer directement la phase relative du champ ´emis par le sillon et du champ radiatif issu de la fente,φgs, donn´ee par la phase du signal sur l’axe optique. Cette phase d´epend de la distance fente-sillon, et du retard de phase intrins`eque φi associ´e au couplage du champ `a l’int´erieur de la fente au champ de surface, ϕs2, et du champ de surface au champ propagatif via le sillon, ψ23.

Contrairement `a l’analyse en face d’entr´ee, la description ci-dessus ne s’applique bien sˆur pas `a un doublet trou-sillon. Le champ ´emis par le trou est alors h´emisph´erique et la figure d’interf´erence obtenue ne s’exprime pas de mani`ere aussi simple. Ceci nous dissuade d’´etudier le doublet trou-sillon en face de sortie.