Effet du tube de sortie

Nous allons voir que le tube de sortie du four permet de concentrer les atomes sur l’axe z, c’est `a dire d’augmenter la directionnalit´e du jet par rapport `a un jet purement effusif que l’on obtiendrait avec une ouverture de faible ´epaisseur. Cette collimation m´ecanique permet en premier lieu d’avoir un vide plus propre dans la chambre 1 en dirigeant les atomes vers le diaphragme D et de diminuer ainsi la quantit´e de gaz `a ´evacuer par la pompe `a diffusion d’huile et la consommation totale de c´esium. D’autre part, elle permet de capturer une plus grande fraction d’atomes dans la m´elasse, en diminuant leur composante de vitesse transverse.

Id´ealement, le tube devrait permettre de diriger tous les atomes dans un cˆone d’´emission tel que leur vitesse transverse v⊥ soit inf´erieure `a la vitesse de capture Doppler (voir le §1.3.1). Nous donnons ici quelques d´etails sur les effets attendus du tube, en s’appuyant sur les articles de D.C. Gray et al. [12], J.A. Giordmaine et al. [13] et de H.C.W. Beijerinck et N.F. Verster [14].

D´efinitions

Le tube et le diaphragme sont de sym´etrie circulaire. Hors du four, le libre parcours moyen ℓ est toujours assez long pour que l’on soit dans le r´egime balistique, les trajectoires atomiques sont donc des lignes droites,⁷que l’on rep`ere par leur angle polaire θ par rapport `a l’axe z, le probl`eme est invariant par rapport `a l’angle azimutalϕ. On appelle Φ le flux total d’atomes `a travers le tube, c’est `a dire le nombre d’atomes traversant le tube par unit´e de temps, Φ est exprim´e en s⁻¹. Dans une direction donn´ee, l’intensit´e du jetIat(θ,ϕ) =Iat(θ) est d´efinie comme le nombre d’atomes par unit´e de temps par unit´e d’angle solide dans cette direction, exprim´e en s⁻¹str⁻¹. Pour les exp´eriences de lithographie ou de d´epˆot direct, on veut g´en´eralement connaˆıtre le nombre d’atomes par unit´e de surfaces et par unit´es de temps en un point donn´e du dispositif. Cette grandeur est appel´ee la densit´e de flux D(x,y,z), en s⁻¹.cm⁻². Le flux est

7Au bout du dispositif exp´erimental, `a deux m`etres du four, les atomes ne sont d´evi´es que de quelques mm par la pesanteur.

nappe de

Fig. 2.3: G´eom´etrie et trajectoires limites `a travers le diaphragme D. Le tube de sortie du four faitL= 38 mm de long eta= 1,6 mm de diam`etre. Le diaphragme D situ´e `a une distancez<sub>D</sub> = 250 mm du bout du tube s´epare les chambres 1 et 2 et faitφ<sub>D</sub> =2,6 mm de diam`etre. La d´etection par une nappe de fluorescence est sch´ematis´ee en F, `a une distancez_F = 850 mm de la sortie du four.

simplement l’int´egrale de l’intensit´e sur 2π st´eradians, et l’int´egrale de la densit´e de flux sur une section du jet. Soit :

Φ =

On parle de jet effusif si le four est reli´e `a la chambre par un trou d’´epaisseur n´egligeable.

Pour une ouverture de sectiona, le nombre d’atomes traversant l’ouverture par unit´e de temps, c’est-`a-dire le flux Φ est donn´e par :

Φ = n_fvπa¯ ²

La distribution de vitesse dans le four est isotrope, on d´eduit de l’expression du flux l’expression de l’intensit´e dans une direction θ :

Iat(θ) = cosθ 4π

nfvπa¯ ²

4 (2.6)

Sch´ematiquement, du fait du tube de sortie, seules les trajectoires atomiques suffisamment proches de l’axe z peuvent traverser le tube, le profil angulaire f(θ) de la source d´efini par f(θ) = Iat(θ)/I(0) est modifi´e par rapport au jet effusif o`u il vaut cosθ.

2.2. Source de c´esium 27 On distingue deux r´egimes d’´ecoulement `a travers le tube (d’apr`es le travail de J.A. Giord-maine et T.C. Wang [13]), selon le rapport d’aspect du tube et la pression de vapeur dans le four.

– R´egime transparent : le libre parcours moyen ℓ des atomes est grand devant la longueur et le diam`etre du tube. Il n’y a pas de collisions inter-atomiques `a l’int´erieur du tube.

La distribution angulaire du jet est alors d´etermin´ee par le rapport d’aspect du tube de sortie.

– R´egime opaque : le libre parcours moyen est inf´erieur ou de l’ordre de la longueur du tube, et sup´erieur `a son diam`etre. Il y a des collisions inter-atomiques dans le tube, qui conduisent `a une redistribution des vitesses. La partie utile `a la collimation m´ecanique est r´eduite `a la partie du tube dans laquelle la pression a diminu´e suffisamment pour qu’on retrouve la condition de r´egime transparent.

Nous nous situons `a la transition de ces deux r´egimes. En effet, la pression de vapeur saturantePvs est de 2 10<sup>−3</sup>mBar `a 115˚C (temp´erature du tube de sortie), et de 0,5 10⁻³ mBar

`a 95 ˚C (temp´erature de la r´eserve de c´esium). Le libre parcours moyen vaut respectivement 0,98 cm et 3,3 cm pour ces temp´eratures et ℓ est donc comparable `a la longueur du tube.

On peut comparer les valeurs de flux total et d’intensit´e sur l’axe dans les articles de J.A.

Giordmaine [13] et D.C. Gray [12] pour les r´egimes transparent et opaque. Les applications num´eriques sont donn´ees `a 115 ˚C.

R´egime transparent

Dans le cas o`u il n’y a pas de collisions inter-atomiques dans le tube, l’intensit´e en θ= 0 ne d´epend pas de la longueur du tube, et s’´ecrit toujours, d’apr`es J.A. Giordmaine et l’´equation pr´ec´edente :

Iat(0)dΩ = nfva¯ ²

16 dΩ = 1,4 10¹⁵ s⁻¹.str⁻¹ (2.7) Le flux total d´epend par contre de la g´eom´etrie du tube :

Φ = π 4

nfva¯ ³

3L = a

3LΦ_effusif = 2,5 10¹⁴ s⁻¹ (2.8)

A intensit´e sur l’axe constante, le flux total est donc diminu´e d’un facteur` a/3L = 1/71 par rapport au jet effusif, ce qui permet de limiter la consommation de c´esium, le travail de la pompe `a diffusion d’huile de la chambre 1 et donc d’am´eliorer la qualit´e du vide et la propret´e de la chambre.

D.C. Gray et al. [12] donnent une expression diff´erente pour le flux : Φ =KPvs

πa² 4√

2πmkBT =Kπnfva¯ ²

16 = 4,5 10¹⁴ s⁻¹ (2.9)

Dans cette derni`ere expression,K est le facteur de Clausing, qui tient compte de l’att´enuation du flux du fait des collisions des atomes dans le tube. On a K ≃(1 + 3L/8a)⁻¹.

Ces deux valeurs diff`erent d’un facteur 1,8. On peu consid´erer qu’elles fournissent un ordre de grandeur du flux total.

Une autre grandeur int´eressante est la largeur `a mi-hauteur de la distribution angulaire d’intensit´e, qui donne une id´ee de la collimation par le tube. Selon J.A. Giordmaine et al., cet angle s’´ecrit :

θ1/2 = 1,68 a

2L = 35 mrad (2.10)

Les ´equations 10 et 11 de l’article de T.C. Gray et al. permettent de calculer un angle `a mi-hauteur de 44 mrad. La figure 2.4 donne en outre un trac´e du profil angulaire f(θ) pr´evu par les auteurs pour nos conditions exp´erimentales (toujours dans l’approximation du r´egime transparent). On remarque sur ce graphique que la distribution angulaire a des “pieds” non nuls et ´etendus. `A flux constant, l’intensit´e sur l’axe optique serait 70 fois plus importante avec le tube que pour le jet effusif.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Distribution angulaire

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Angle (rad.)

Fig. 2.4: Profil angulaire th´eorique `a la sortie du four en r´egime transparent, selon [12]. En gris : pour un jet effusif, en noir pour notre tube de sortie. Les deux distributions sont normalis´ees par rapport `a l’intensit´e sur l’axe du jet.

A partir de ces ´equations, ont peut aussi d´eterminer la fraction du jet comprise dans un` cˆone d’angleϑ donn´e, soit :

1 A

Z ϑ 0

f(θ) sinθdθ avec A= Z π/2

0

f(θ) sinθdθ (2.11)

Cette fonction est trac´ee dans le graphique de la figure 2.5.

R´egime opaque

Selon J.A Giordmaine et T.C. Wang, l’´equation (2.8) reste valide dans le cas du r´egime opaque, on a donc un flux total de l’ordre de 10¹⁴s⁻¹.str⁻¹. La largeur `a mi-hauteur de la distribution angulaire vaut selon ces mˆemes auteurs :

θ_1/2 = 2^3/43^1/2rCs

1,78(a¯v/2)^1/2

√Φ≃46mrad (2.12)

2.2. Source de c´esium 29

Fig. 2.5: Fraction du jet comprise dans un cˆone d’angle ϑ en fonction de ϑ.En gris : pour un jet effusif, en noir pour notre tube de sortie.

o`ur<sub>Cs</sub>= 0,4 nm est le rayon de l’atome d´efinit parπr<sup>2</sup><sub>Cs</sub>=σ<sub>col</sub>, o`uσ_col est la section efficace de collision. On obtient donc un plein angle de divergence `a mi-hauteur proche de 40 mrad dans les deux approximations consid´er´ees.

Distribution de vitesse

A priori, le tube de sortie du four modifie aussi la distribution de vitesse longitudinale dans le jet, par rapport `a la distribution classique de Maxwell-Boltzmann not´ee F(v). `A la suite de D.C. Gray et al., nous rendrons compte de cette modification en introduisant une fonction de correction ξ(v) dans la d´efinition de la distribution de vitesse. C’est-`a-dire :

F(v)dv =ξ(v)F(v)dv=ξ(v)2v³

La vitesse moyenne ¯v est alors donn´ee par la relation :

¯

Nous avons donn´e les caract´eristiques pr´evues du jet produit par le tube de sortie. Le diaphragme D situ´e `a 250 mm de la sortie du four va permettre de s´electionner la r´egion centrale de cette distribution d’intensit´e. Seuls les atomes ´emis dans un cˆone d’angle θ<sub>D</sub> = arctan(a+φD/2zD) = 8,4 mrad traversent le diaphragme. Cet angle est petit devant les valeurs pr´evues de θ1/2, et on consid´erera toujours que la distribution d’intensit´e est constante dans ce cˆone, c’est-`a-dire que f(θ)|θ<θD =κ. La constante κ traduira donc le gain d’intensit´e sur l’axe par rapport au jet effusif `a flux constant.

En d´efinitive, l’effet du tube de sortie est simplement une augmentation du flux d’un facteur κsur l’axe du jet. La pr´e-collimation due au tube permettant en outre de capturer plus d’atomes dans la m´elasse. (voir la section 3.3).