Champ ´ electromagn´ etique ` a une interface m´ etal/di´ electrique

Rappels

Les ´equations de Maxwell sont `a la base de tous les mod`eles donn´es par la suite. Pour un milieu non magn´etique, dans le syst`eme d’unit´es MKS, on a

∇.B = 0 (1.1)

∇.E = ρ ε0

(1.2)

∇∧E = −∂B

∂t (1.3)

∇∧H = J+ ∂(ε0E+P)

∂t (1.4)

Dans ces ´equations J est la densit´e locale de courant, ρ la densit´e de charge. On a en outre les ´equations constitutives en r´egime lin´eaire :

H = 1

µ0

B pour un milieu non magn´etique (1.5)

D = ε0E+P=ε0E+ε0χE=εE (1.6)

o`u χ est la susceptibilit´e du milieu et ε sa permittivit´e. On d´efinit la permittivit´e relative εr =ε/ε0 = 1 +χ, aussi appel´ee fonction di´electrique.

Dans le volume d’un m´etal ou d’un di´electrique, J et ρ sont nuls. Ce n’est pas vrai `a une interface m´etal/di´electrique, o`u un champ ´electromagn´etique incident cr´ee des courants de surface, et o`u des charges peuvent s’accumuler au voisinage d’une discontinuit´e. Pour une description tr`es didactique et compl`ete du comportement d’une onde ´electromagn´etique se r´efl´echissant sur une surface m´etallique, on se rapportera `a l’introduction de l’article de A.R.

Zakharian, M. Mansuripur et J.V. Moloney [45], qui traite de la transmission de la lumi`ere par des ouvertures elliptiques.

A partir de ces ´equations, et en d´ecrivant le m´etal comme un plasma d’´electrons de conduc-` tion se propageant avec un certain taux de collisions dans un r´eseau, dans le mod`ele de Drude [46, 47], on peut d´ecrire le comportement d’un champ ´electromagn´etique `a une inter-face m´etal/di´electrique, c’est-`a-dire d´eterminer une expression de la relation de dispersion `a cette interface.

Mod`ele de Drude

On consid`ere les ´electrons de conduction d’un m´etal dans le cadre d’un mod`ele de Drude.

Le gaz d’´electrons a une densit´e n et un temps moyen entre deux collisions τ.

1.1. Processus ´el´ementaires 87 En n´egligeant la force de Lorentz, l’´equation du mouvement d’un ´electron dans un champ

´electrique :

m_ex¨ = −mex˙

τ −eE soit (1.7)

meω²(x−x0) = im_eω

τ (x−x0) +eE en r´egime harmonique.

En statique, ¨x = 0, et on a un courant j = nex˙ = σE o`u σ = ne²τ /m. La mesure de la conductivit´eσ permet alors de d´eterminer τ.

Le vecteur polarisation P est d´efinit comme la densit´e de dipˆole induits : P=ne(x−x0)

soit d’apr`es l’´equation (1.7),

P=− ne²

meω²+i^m_τ^eωE (1.8)

D’autre part, par d´efinition du vecteur d´eplacement,D =ε0E+P=ε0εm(ω)E, la fonction di´electrique complexe du m´etal εm(ω) = ε^′_m+iε^′′_m v´erifie donc :

εm(ω) = 1− ω²_p ω²

1

1−i/ωτ ≃1− ω²_p

ω²(1 +i/ωτ) avecωp =ne²/ε0me (1.9) On a n´eglig´e ici (1/ωτ)² de l’ordre de 10⁻⁴ aux fr´equences optiques.

La pulsationω_p est appel´ee pulsation plasma et la longueur d’onde associ´ee est de l’ordre de 300 nm pour les m´etaux nobles. Pour des pulsations sup´erieures `a ωp, le milieu est transparent et la partie r´eelle de la fonction di´electrique est positive, Re(εm) > 0. En dessous de cette fr´equence, Re(ε_m) < 0, il n’existe pas de mode propagatif pour le champ ´electromagn´etique dans le m´etal. Pour ω = ωp, Re(εm)(ω) = 0, il existe un mode transverse stationnaire, le plasmon de volume, qui est le quantum d’excitation collective des ´electrons du m´etal, et peut ˆetre vu comme une modulation p´eriodique de la densit´e ´electronique.

Si on consid`ere maintenant un champ se r´efl´echissant `a une interface entre un milieu di´elec-trique de permittivit´eε1 et un m´etal de permittivit´e relative εm =ε^′_m+iε^′′_m, on montre que le champ `a l’int´erieur du m´etal s’´ecrit

E(z) = exp(−z/δ)cos(ωt−z/δ) o`u δ = p

2/µ0ωσ est l’´epaisseur de peau du m´etal. Le champ est pratiquement nul `a une profondeur de quelques δ, soit quelques dizaines de nanom`etres dans le domaine optique pour des m´etaux usuels. Le tableau 1.1 donne les valeurs exp´erimentales de ces constantes pour l’argent , d’apr`es P. Johnson et R. W. Christy [48]. Nous allons maintenant voir qu’il existe aussi un mode propre du champ confin´e `a l’interface m´etal/di´electrique et ´evanescent selon z dans les deux milieux, appel´e plasmon polariton de surface.

Constantes du m´etal

densit´e ´electronique n 5,9 10²⁸ m⁻³

temps de relaxation τ 31±12 10⁻¹⁵s

conductivit´e statique σ0 6,3 10⁷Ω⁻¹m⁻¹

pulsation plasma ωp 8,85 10¹⁵ Hz

Donn´ees `a 852 nm

permittivit´e relative ε^′_m+iε^′′_m −33,3 +i1,31

indice de l’interface n^′_sp 1,015

profondeur de peau δ 8,5 nm

port´ee du champ ´evanescent dans l’air zˆ1 800 nm port´ee du champ ´evanescent dans le m´etal zˆm 23 nm Tab. 1.1:Constantes utiles pour l’argent m´etallique, d’apr`es P. Johnson et R.

W. Christy [48]. La permittivit´e relative `a 852 nm a ´et´e mesur´ee par H. Lezec

`

a Caltech par ellipsom´etrie sur les films m´etalliques que nous avons employ´es dans nos ´etudes.

diélectrique

métal z

y ^✂✁

☎✄

✆ ✝ ✄ ✝ ✁

✞✠✟

✆

Fig. 1.1: Interface di´electrique/m´etal

1.1. Processus ´el´ementaires 89 Plasmon polariton de surface

On consid`ere des champs harmoniques de pulsation ω. Supposons qu’il existe `a l’interface une onde ´evanescente selon z avec des port´ees ˆz₁ et ˆz_m dans le m´etal et le di´electrique, res-pectivement. Nous allons montrer que la relation de dispersion associ´ee `a un tel champ est unique.

Ce champ se propage selon x (voir la figure 1.1.1). Le champ magn´etique est parall`ele `aey, et ne d´epend pas dey. On ´ecrit alors :

Ce champ doit v´erifier les ´equations de Maxwell et les conditions aux limites du probl`emes : Hy1 =Hym continuit´e du champ magn´etique transverse (1.12) E<sub>x1</sub> =E<sub>xm</sub> continuit´e du champ ´electrique longitudinal (1.13) ε1Ez1 =εmEzm continuit´e de la composante normale du vecteur d´eplacement (1.14) Pour une pulsation ω donn´ee, ces contraintes imposent une relation de dispersion unique pour le champ de surface. D’apr`es (1.13),

Ex1exp(iksp1x) = Exmexp(ikspmx)∀x ⇒ksp1 =kspm=ksp (1.15)

De plus, la relation de dispersion dans le milieu j s’´ecrit : k_sp² −κ²_j =εj

ω c

2

(1.18) En combinant les relations (1.17) et (1.18), on obtient la relation de dispersion d’un plasmon polariton de surface, avec k0 =ω/c :

On ´ecrit en outre ksp =k^′_sp+ik_sp^′′ =k0(n^′_sp+in^′′_sp), o`unsp =n<sup>′</sup><sub>sp</sub>+in<sup>′′</sup><sub>sp</sub> est l’indice de r´efraction associ´e `a l’interface.

Par exemple, si le milieu 1 est le vide, ε1 = 1, on peut r´e-´ecrire l’´equation (1.19) d’apr`es la d´efinition de εm du mod`ele de Drude donn´e par l’´equation (1.9) :

Re(k_sp² ) =ω

On peut simplifier cette expression pour un m´etal de conductivit´e infinie, τ →0 :

Re(k²_sp) =ω

Fig. 1.2: Relation de dispersion d’un plasmon polariton de surface, les lon-gueurs d’ondes sont donn´ees pour l’argent. En trait pleins ´epais : partie r´eelle de k_sp, en pointill´es : partie imaginaire de k_sp. La droite en trait fin a pour

´equationω=k/c, tous les modes propagatifs sont `a gauche de cette ligne. Le cercle indique le domaine du proche infra-rouge o`u ont lieux nos exp´eriences.

La relation (1.20) pr´esente une r´esonance quand ω = ωp/√

2 ≡ ωsp appel´ee r´esonance plasmon de surface. La densit´e de modes plasmons polaritons est grande, et on a une oscillation collective des ´electrons de surface, avec une vitesse de phase qui tend vers z´ero.¹³ En observant la figure 1.2, on peut distinguer quatre r´egimes dans cette relation :

1. ω < ωsp, ε^′_m < −ε1 : Caract`ere polariton dominant, la vitesse de groupe est proche de c, le champ de surface est propagatif (voir la r´ef´erence [49]).

13Cette r´esonance se traduira par exemple par une pic d’absorption dans le spectre d’un faisceau d’´electrons se r´efl´echissant `a l’interface [46].

1.1. Processus ´el´ementaires 91 2. ω → ωsp, ε^′_m → −ε1 : Caract`ere plasmon dominant, la vitesse de groupe des modes est

faible, la modulation de densit´e ´electronique est quasi-stationnaire.

3. ω_sp < ω < ω_p,k^′′_sp ≫k^′_sp,−ε₁ < ε^′ <0 : R´egime d’oscillations amorties, l’onde de surface s’att´enue rapidement.

4. ω > ωp, ε^′_m >0 : r´egime transparent pour le m´etal, le champ n’est plus ´evanescent.

Dans le domaine optique, ω < ωsp, un plasmon polariton de surface est alors une onde de surface `a caract`ere mixte :

– Une oscillation de la densit´e de charge pr`es de l’interface.

– Une onde ´electromagn´etique ´evanescente de vecteur d’onde k_sp [47]

On se rapportera `a l’article de J.A. Dione et al. [50] pour une discussion de la relation de dispersion d’un plasmon polariton de surface dans le cas d’un m´etal r´eel, les auteurs ´etudiant cette relation `a partir des mesures exp´erimentales de la constante di´electrique pour les longueurs d’onde de 200 `a 2000 nm dans l’argent. On notera en particulier les diff´erences importantes entre la courbe exp´erimentale donn´ee dans l’article et celle obtenue avec l’´equation (1.21) pour les pulsations sup´erieures `aω_sp, pour lesquelles le mod`ele de Drude n’est plus adapt´e.

z

Fig. 1.3: Vue sch´ematique d’un plasmon polariton de surface `a une interface m´etal/di´electrique

On d´eduit enfin des relations de dispersion (1.18) et (1.19) les port´ees du champ dans les deux milieux, ˆz1 et ˆzm sont donn´ees par les relations : maintenant comment on peut coupler un champ optique radiatif au mode guid´e que nous venons de d´ecrire.

Couplage `a un champ optique

Pour une fr´equence ω < ωsp donn´ee, la norme du vecteur d’onde d’onde plasmon k_sp^′ est sup´erieure `ak0. Autrement dit, le vecteur d’onde est `a droite de la “ligne de lumi`ere” d’´equation ω =k/csur la figure 1.2. On ne peut donc pas coupler directement une onde plane incidente de fr´equence ω `a un plasmon de surface. Pour cela, il faut “ajouter” au moins un vecteur d’onde δkx=ksp−k0 au vecteur d’onde incident.

Diff´erentes m´ethodes de couplage d’un champ incident `a un plasmon polariton de surface sont donn´ees par H. Raether [47] et dans la revue de A.V. Zayats et I.I. Smolyaninov [49], dont la m´ethode de couplage par un r´eseau : pour un champ incident, polaris´e TM,<sup>14</sup> et faisant un angle θ avec la normale du r´eseau, le spectre du champ diffract´e s’´ecrit comme une somme de vecteurs d’onde α<sub>n</sub>(k<sub>0</sub>sin θ+n.g) o`ug est un vecteur du r´eseau r´eciproque etn l’ordre (entier) de diffraction. On peut alors avoirn.g =δkx.

Le champ diffract´e est alors coupl´e au plasmon polariton de surface.¹⁵ Mais on peut remar-quer qu’un d´efaut de surface quelconque peut se d´ecomposer sur la base de Fourier, c’est-`a-dire ˆetre assimil´e `a une superposition de vecteurs de l’espace r´eciproque qui peuvent “fournir” le vecteur δkx manquant. C’est en particulier le cas des motifs sub-longueur d’onde ´etudi´es ici, et les plasmons polaritons de surface seront souvent invoqu´es par la suite pour expliquer les ph´enom`enes (ou une partie des ph´enom`enes) de transmission extraordinaire de la lumi`ere par des ouvertures sub-longueur d’onde.

Notons que le terme plasmon d´esigne tr`es g´en´eralement tout couplage entre les ´electrons de conduction d’un m´etal et un champ ´electromagn´etique. Dans le cas de particules m´etalliques par exemple, on parlera de plasmons de surface localis´es. Contrairement aux plasmons polaritons de surface ces modes peuvent ˆetre excit´es directement par la lumi`ere incidente. On parlera parfois de plasmon localis´e pour les modes propres `a l’int´erieur d’une ouverture ou d’un d´efaut (voir la revue tr`es compl`ete de A.V. Zayats et I.I. Smolyaninov [49]).