Chapitre IV. Modélisation analytique du comportement thermique du fantôme
4. Expression analytique des transferts de chaleur dans un fantôme exposé à une onde
dans
un
fantôme
exposé
à
une
onde
électromagnétique
4.1. Modèle d'exposition considéré
Les illustrations présentées en Figure IV.17, montrent les différences principales entre le modèle thermique 1D de tissu homogène semi-infini [4] utilisé pour évaluer le DAS à partir de données d'élévation de température expérimentales et celui spécifique au modèle du fantôme équivalent de la peau humaine à 60 GHz d'épaisseur finie.
Contrairement aux modèles de tissus présentés en section 1.1, le fantôme utilisé en mesure est généralement d'épaisseur finie L et ne présente pas de système interne de refroidissement/dissipation de chaleur tel que la circulation sanguine dans le corps. Cela se traduit donc par deux différences majeures entre ces deux modèles. La première est que le fantôme (Figure IV.17b) présente deux surfaces en z = 0 et en z = L en contact avec le milieu extérieur, c'est-à-dire l'air, alors que le modèle de tissu semi-infini (Figure IV.17a) n'en présente qu'une seule en z = 0. La deuxième est que, dans le cas du fantôme, il n'y pas de paramètre relatif au flux sanguin fs contrairement au modèle relatif au tissu.
(a) (b)
Figure IV.17 - Modèles (a) de tissu semi-infini et (b) de fantôme à épaisseur finie L exposés à une onde plane en incidence normale.
4.2. Equation de transfert de chaleur
Le modèle du fantôme homogène est considéré infini suivant les directions x ou y, et d'épaisseur finie L suivant z (Figure IV.17b). Le fantôme est exposé à une onde plane en incidence normale à 60 GHz. Pour ce modèle la diffusion thermique dans le fantôme peut être décrite analytiquement par l'équation de transfert de chaleur (HTE) différentielle non-homogène suivante
ߩ ܿ ݇ ߲ܶሺݖǡ ݐሻ ߲ݐ ൌ ߲;ܶሺݖǡ ݐሻ ߲ݖ; ݍሺݖሻǡ (30)
où T(z,t) désigne l'élévation de température (°C) à la profondeur z du fantôme et à l'instant t, c'est- à-dire la différence entre la température absolue du fantôme à un instant t (Tfantôme(z,t)) et la
température initiale (Tfantôme(z,0))
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q(z) est la chaleur générée par l'absorption électromagnétique qui se traduit analytiquement
d'après les travaux de Foster et al. [4] par
ݍሺݖሻ ൌ ݍͲ݁െʹݖߜ ൌʹ ܲͲߜ ݇ሺͳ െ ܴሻ݁െʹݖߜ (32)
où le coefficient R et la profondeur • dépendent de la fréquence d'exposition et des propriétés diélectriques du fantôme (Figure IV.18).
(a) (b)
Figure IV.18 - Dépendance en fréquence de la valeur (a) du coefficient de réflexion en puissance R et (b) de la profondeur de pénétration du rayonnement dans le fantôme sur la bande 30-100 GHz.
4.3. Conditions spécifiques au modèle
Comme expliqué dans la section 2.3 de ce chapitre, le comportement thermique d'un matériau est non seulement lié aux mécanismes internes de transfert de chaleur, mais aussi à la condition initiale ainsi qu'aux conditions limites qui gèrent les échanges thermiques avec le milieu extérieur. Il est donc indispensable d'établir ces conditions pour compléter le modèle analytique du fantôme d'épaisseur finie.
4.3.1. Condition initiale
Il est supposé, qu'avant l'exposition du fantôme, le système est stable et que la température absolue du fantôme Tfantôme(z,t) est égale à la température du milieu dans lequel se situe le
fantôme, c'est à dire Tair quel que soit z. Cette hypothèse amène à la condition initiale suivante :
ܶሺݖǡ Ͳሻ ൌ ݂ܶܽ݊ݐ Ø݉݁ሺݖǡ Ͳሻ െ ܶܽ݅ݎ ൌ ͲǡݖǤ (33)
Dans le cas du modèle du corps humain, la condition initiale fournit le gradient de température qui apparait entre la surface du tissu soumis aux pertes thermiques avec le milieu environnant et la température de corps dans la profondeur des tissus, lorsque Tair !Tcorps.
4.3.2. Conditions aux interfaces
Les modes de transfert thermique entre les parois du fantôme et le milieu environnant sont convectifs et radiatifs [13]. Ces transferts thermiques imposent donc des conditions limites dites mixtes. Les transferts de chaleur aux interfaces sont ainsi décrits analytiquement en z = 0 par :
߲ܶሺͲǡ ݐሻ
߲ݖ ൌ ߙͳ ܶሺͲǡ ݐሻǡݐ Ͳǡ (34)
et en z = L par
0,39
Page 144 ߲ܶሺܮǡ ݐሻ
߲ݖ ൌ െߙʹ ܶሺܮǡ ݐሻǡݐ Ͳǡ
(35)
où le coefficient •i est égal au rapport hi/k, avec hi le coefficient de transfert de chaleur
(W/(m2·°C)) du fantôme vers l'air. Ce coefficient prend en compte différents mécanismes,
݄݅ ൌ ݄ܿ݅ ݄ݎ݅ ݄݁݅ (36)
où hci est le coefficient de transfert de chaleur par convection, hri le coefficient de transfert de
chaleur par rayonnement et hei le coefficient de transfert de chaleur par évaporation.
Pour le corps humain, le coefficient hci dépend de la forme, des dimensions et de la posture du
corps ou du membre exposé [3] [18]. Il est possible d'évaluer la valeur de ce coefficient dans le cas du corps humain à partir des données fournies dans [19]. A notre connaissance, il n'existe pas de bases de données équivalentes pour les fantômes. Cependant, une estimation de la valeur hci est
possible dans le cas du fantôme via les nombres empiriques de Nusselt, Reynolds ou Rayleigh [11] pour des gammes de température et de vitesses de déplacement du fluide données.
En ce qui concerne le coefficient de transfert par rayonnement, il dépend de la température du fantôme et varie donc avec l'augmentation de température du fantôme. Ce coefficient peut être calculé à partir de l'expression :
݄ݎ ൌ ݁ ߪ൫݂ܶܽ݊ݐ Ø݉݁ʹሺͲǡ ݐሻ ܶܽ݅ݎʹ൯൫݂ܶܽ݊ݐ Ø݉݁ሺͲǡ ݐሻ ܶܽ݅ݎ൯ (37)
où e est l'émissivité de la surface du fantôme, et la constante de Stefan-Boltzmann (5.67Í10-8 W/(m²·K4)). Attention dans cette formule les températures s'expriment en degré Kelvin.
Le coefficient de transfert de chaleur par évaporation peut avoir un effet majeur sur la dissipation de chaleur par le corps humain lorsque ce dernier est en activité, par le biais de mécanismes biologiques comme la sudation. En revanche, dans le cas de notre fantôme, la dissipation de la chaleur liée à ce changement de phase de l'eau est négligeable. Plusieurs séries de mesure sur 1 h de la permittivité complexe du fantôme ont été effectuées dans des conditions équivalentes à celles d'exposition du fantôme, montrant de faibles variations de la permittivité complexe du fantôme sur la bande 55-65 GHz (écart-type entre les mesure de !' ± 0,34 et de !'' ±
0,45). Pour ces mesures de permittivité, nous avons utilisé la sonde Slim Form Prob du kit de sondes diélectriques 85070E de chez Agilent. Cette sonde permet de mesurer les propriétés diélectriques sur une bande de fréquence s'étalant de 500 MHz à 50 GHz de liquides ou de matériaux semi-solides avec une précision de ±0,05 sur la partie réelle et imaginaire [20]. Dans l'étude nous supposons pour le fantôme hei = 0 W/(m²·K).
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