Applications
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96 CHAPITRE 23. 127- EXPONENTIELLE DE MATRICES
Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg 2010). C’est une leçon difficile et ce n’est pas une leçon d’analyse. Il faut toutefois pouvoir justifier clairement la convergence de la série exponentielle. Les questions de surjectivité ou d’injectivité doivent être abordées. Par exemple, la matrice
A =
−1 1 0 −1
est-elle dans l’image deexp(M2(R))? Qu’en est-il de la matrice blocs B =
A 0 0 A
?
La décomposition de Dunford multiplicative (décomposition de Jordan) deexp(A) doit être connue. Les groupes à un paramètre peuvent leur place dans cette leçon.
On peut s’interroger si ces sous-groupes constituent des sous-variétés fermées de GLn(R). L’étude du logarithme (quand il est défini) trouve sa place dans cette leçon. Si on traite du cas des matrices nilpotentes, on pourra invoquer le calcul sur les développements limités.
Les applications aux équations différentielles doivent être évoquées sans constituer l’essentiel de la leçon. On pourra par exemple faire le lien entre réduction et com-portement asymptotique.
Les notions d’algèbre de Lie ne sont pas au programme de l’agrégation, on conseille de n’aborder ces sujets qu’à condition d’avoir une certaine solidité.
Question. Tout élément deGLn(C)est une exponentielle. PourGLn(R)c’est faux.
Qu’en est-il des sous-groupes remarquables de GLn(R)? Est-ce que les matrices orthogonales sont des exponentielles ?
Réponse. Pour On c’est clairement non, celles qui ont un déterminant égal à −1 par exemple. PourSOn oui, on réduit sous la forme diagonale par blocs et on a le résultat.
Réponse. Les valeurs propres deM sont(1,1,0). SiM était nilpotente, le polynôme serait P =
97 On remarque que si M n’avait qu’une seule valeur propre λ on pourrait écrire M =λIn+N avec N une matrice nilpotente et donc on aurait
exp(M −λIn) = P(N) = P(M −λIn) avec P le polynôme précédent. Ainsi, on pourrait enfin écrire :
exp(λIn)exp(M −λIn) = exp(M)
=exp(λIn)P(M −λIn).
Ainsi, le polynôme qui convient est Q(X) =P(X−λ)eλ.
Et si on a plusieurs sous-espaces propres, on utilise le théorème chinois. C’est ce qu’on fait pour la matrice M donnée dans l’exercice. On peut tout d’abord écrire son polynôme caractéristique
χM(X) = (X−1)2X.
Par algorithme d’Euclide étendu, on trouve les coefficients de Bezout : X(X − 2)−(X−1)2 = 1. On veut que le polynôme P vérifie le système de congruences suivant :
P ≡1[X]
P ≡eX[X2−1]
car sur le sous-espace caractéristique de0,exp(M) = 1 et sur le sous-espace carac-téristique de 1, exp(M) =e1·[1 + (X−1)] d’après ce qu’on a fait précédemment.
Le polynôme P = (X−1)2 −(X)(X−2)eX convient mais n’est pas unique.
Question. Est-ce que la matrice A=
−1 1 0 −1
est une exponentielle ?
Réponse. Si c’était une exponentielle, ce serait en particulier un carré et donc il existerait N telle que A = N2. On aurait alors Sp(N) ⊂ {±1} et donc N serait diagonalisable et donc Aaussi. Ce qui n’est pas le cas. Comme A n’est même pas un carré, ce n’est pas une exponentielle.
Question. On note Est-ce qu’il s’agit d’une exponentielle sur R?
98 CHAPITRE 23. 127- EXPONENTIELLE DE MATRICES Réponse. On montre tout d’abord que c’est un carré, en effet :
0 A ex-ponentielle si et seulement si A est un carré. Le sens direct est facile : il suffit de remarquer que si A = exp(M) alors A = exp M2 2
. Dans l’autre sens, on suppose queA =N2, avec A etN inversibles, alors
– exp(A)diagonalisable⇔Adiagonalisable, dansObjectif Agrégationou Gour-don etOraux X-ENS algèbre 2
– Surjectivité de l’exponentielle complexe Mn(C)7→GLn(C), dansTauvel Autres développements possibles :
– Codiagonalisation et conséquence, dansGourdon etOraux X-ENS algèbre 2 – Théorème de Liapunov, dans Rouvière
– Théorème de Cartan Von Neumann, dans Mneimé-Testard
Idées pour le plan
Définitions et généralités
– Définitions et premières propriétés dans Gourdon la définition de l’expo-nentielle d’une matrice, l’inégalité qui concerne la norme de l’expol’expo-nentielle, l’inversibilité, l’exponentielle d’une somme de matrices qui commutent, dans Mneimé-Testard l’exponentielle est un polynôme enA, les formulesdet(exp(A)) = exp(T r(A))
– Calcul pratique, réduction dans Gourdon la réduction de Dunford et une ap-plication au calcul de l’exponentielle d’une matrice dans les exercices. Dans Objectif Agrégation le théorème A diagonalisables ⇔exp(A) diagonalisable (développement). Dans Gourdon dans les exercices, le théorème qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que lim
t→∞etM = 0. Ensuite, dans
99 Gourdon,la décomposition de Jordan et on explique que le calcul de l’expo-nentielle peut se faire par blocs.
Propriétés de la fonction exponentielle
– Différentiabilité et inversion locale dansMneimé-Testard le théorème qui dit que l’exponentielle est C1 et même analytique, la valeur de la différentielle en 0, dans Rouvière la différentielle de l’exponentielle en tout point, dans Mneimé-Testard l’application qui dit que GLn(K) n’a pas de sous-groupes arbitrairement petits (et la reformulation), la définition du logarithme, pour-quoi c’est bien défini et les propriétés qui suivent.
– Injectivité, surjectivité dans Oraux X-ENS algèbre 2 la proposition pour la surjectivité de l’exponentielle de Mn(C) −→GLn(C) (développement) avec son lemme et son corollaire. Dans Objectif Agrégation la proposition qui dit que l’image de Mn(R) par l’exponentielle est l’ensemble des matrices qui admettent une racine carrée. On remarque que l’exponentielle n’est pas injective, et on peut redonner le théorème qui constitue le premier dévelop-pement.
Application aux équations différentielles à coefficients constants
– Équations différentielles linéaires à coefficients constants dans Demailly on pose un système différentiel linéaire à coefficients constants, on donne la forme des solutions et le théorème de Liapunov (avec dessins en annexe). On peut évoquer le cas du système linéarisé, mais ça sort du cadre de la leçon.
– Groupe à un paramètre dansMneimé-Testard la définition des sous-groupes à un paramètre et le théorème qui dit qu’ils s’expriment en fonction d’une exponentielle.
Références
– Gourdon, Algèbre
– Mneimé-Testard, Groupes de Lie classiques – Tauvel, Algèbre
– Rouvière, Petit guide de calcul différentiel à l’usage de la licence et de l’agré-gation
– Objectif Agrégation
– Demailly, Analyse numérique et équations différentielles – Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS algèbre 2