Applications
33
34 CHAPITRE 7. 108- PARTIES GÉNÉRATRICES D’UN GROUPE
Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg2010). Peu de candidats voient l’utilité des parties génératrices dans l’analyse des morphismes de groupes.
Question. En parlant de sous-groupes engendrés par une partie deG. Que se passe-t-il si la partie est vide ?
Réponse. Le sous-groupe engendré par la partie vide est{e}.
Question. À propos du P GCD. On peut donner une définition du P GCD qui fait appel à la notion d’anneau principal. Mais peut-on donner une définition du P GCD pour les anneaux non principaux ?
Réponse. Dans le cas d’un anneau non principal, le P GCD est le plus grand di-viseur commun des éléments que l’on considère. On peut faire la relation entre les deux définitions en considérant que le P GCD est le générateur du plus petit sous-groupe qui contient tous les aiZ.
Question. À propos des générateurs de GLn, est-ce que c’est vrai pour tous les corps ? Et dire pourquoi seules les dilatations peuvent engendrerGln.
Réponse. Non, ce n’est pas vrai sur tous les corps, on doit avoir au moins deux éléments. Pour la deuxième question, voire Perrin où c’est bien expliqué.
Question. À propos de la propriété universelle des groupes libres. Pour le produit libre, trouver un morphisme du produit libre dans H.
Réponse. On a :
Question. On peut parler des générateurs de O(q) (dans le théorème de Cartan-Dieudonné notamment), mais que dire des générateurs deSO(n) .
Réponse. On peut les mettre, dans une bonne base, sous la forme
Il s’agit de symétries orthogonales par rapport à des sous-espaces de dimension2.
On peut aussi l’écrire comme produit de deux retournements (mais comment ?)
35 Question. Donner un exemple de groupe cyclique dans un corps quelconque cy-clique.
Réponse. Dans un corps fini, le groupe multiplicatif est cyclique. Les sous-groupes finis de ce groupe multiplicatif sont cycliques.
Question. Quelle est la structure sur Aut(Z/nZ)? Réponse. Il s’agit d’un groupe additif.
Question. Est-ce que D(G)est toujours cyclique ? Réponse. Oui.
Question. Quel est le lien entre les homographies et le groupe linéaire ? Réponse.
P GL2(C) =GL2(C)/{k·Id, k ∈Z}.
Question. Est-ce que les éléments d’ordre 5dans A5 sont tous conjugués ? Réponse. Non, car 24ne divise pas 60.
Question. Dans Sn, combien y-a-il de classes de conjugaison d’ordre 5? Et dans An?
Réponse. Il y a une seule classe de conjugaison d’ordre 5 dans Sn et donc il y en a deux dans An.
Question. Que peut-on dire sur les stabilisateurs de An etSn? Réponse. On a StabAn ⊂StabSn.
Question. À propos des générateurs de An. Faire le lien entre les 3-cycles et les carrés. Donner dans An un élément qui n’est pas un carré. Et dans A5?
Réponse. On a(a, b, c)2 = (a, bc, b). Donc tous les3-cycles deAnsont des carrés. En particulier, tous les éléments de A5 sont des carrés. Et si n est pair, (a1,· · · , an)2 n’est pas un n-cycle si n est pair.
Question. Faire le lien entre homographie et P GL(C).
Réponse. Il faut parler du groupe des déplacements.
Remarque. Les générateurs peuvent servir à fabriquer des morphismes d’un groupe dans un autre. En particulier pour des morphismes à valeurs dans GLn(C) ce qui nous donne la théorie des représentations de groupes.
Développements
Développements proposés : – An est simple, dans Perrin
36 CHAPITRE 7. 108- PARTIES GÉNÉRATRICES D’UN GROUPE – Générateurs de O(E)et SO(E), dans Audin et Perrin
Autres développements possibles :
– Générateurs de SL(E) et GL(E), dans Perrin
– Action de P SL2(Z) sur le demi-plan de Poincaré, dans Alessandri
Idées pour le plan
En introduction, dansTauvel la définition d’un groupe engendré et d’une partie génératrice. Groupes abéliens
– Groupes monogènes et cycliquesdansTauvel la définition d’un groupe mono-gène et d’un groupe cylcique. DansPerrin le théorème qui dit qu’un groupe monogène est isomorphe à Z ou à Z/nZ. Dans Perrin le théorème sur les générateurs de Z/nZ, la définition et les résultats sur la fonction d’Euler et l’application. Enfin, toujours dans Perrin le résultat qui donne ce à quoi est isomorphe le groupe multiplicatif deZ/pZdans le cas où pest premier. Dans Perrin, le théorème sur les groupes d’ordrepq.
– Groupes abéliens finis dans Perrin le lemme chinois puis dans Combes les résultats sur les groupes d’ordre premier et ensuite le théorème de structure des groupes abéliens finis.
– Groupes abéliens de type fini dans Tauvel la définition d’un groupe libre, l’exemple deZet dansCalais la proposition sur les sous-groupes des groupes libres puis dansTauvel la définition des groupes de torsion, et dansCalais le théorème de structure des groupes abéliens de type finis (mais il faut l’écrire avec des produits et pas des sommes directes).
Groupes symétriques et diédraux
– Le groupe symétriquedansTauvel les définitions deAnetSn, les propositions pour les générateurs deSn etAn dans Perrin le théorème qui dit de An est simple (développement), et la définition des groupes dérivés avant de mettre la proposition sur les groupes dérivés. On donne le cas des An pour n≤4.
– Le groupe diédral dans Combes la définition et la caractérisation du produit semi-direct puis dansCalaisla définition des groupes diédraux et leur écriture en termes de générateurs et dans Perrin le théorème qui donne Dn comme un produit semi-direct.
Le groupe linéaire
– GL(E) et SL(E) dans Perrin la définition de GL(E) et de SL(E) puis les définitions et caractérisations des dilatations et des transvections avant de montrer les générateurs de Gl(E) et SL(E) et en application, le calcul des centres deGl(E)etSL(E)et la proposition sur les groupes dérivés deGL(E) etSl(E). Dans Tauvel dans le cas d’un corps fini, les cardinaux de ces deux groupes.
37 – P GLn et P SLn [Optionnel] dans Perrin la définition de P GLn et deP SLn. Si on a la foi, parler d’isomorphismes exceptionnels et d’action de P GL2 sur le demi-plan de Poincaré.
– On dans Perrin la définition du groupe orthogonal et du groupe spécial orthogonal. Dans Perrin et Audin le théorème sur les générateurs de O(E) etSO(E)(développement) et en exemple la forme des éléments deO(q)dans l’espace euclidien dans Perrin.
Homographies et groupe circulaire
– À propos des homographies Dans Audin la définition d’une homographie, le fait que les homographies munies de la composition forment un groupe, les générateurs des homographies (les similitudes directes et z 7−→ 1z).
– Le groupe circulaire Dans Audin la définition du groupe circulaire, le fait qu’il est engendré par les inversions et les reflexions, que ses éléments pré-servent les angles non orientés, et que ses éléments sont les transformations qui préservent l’ensemble des cercles ou droites.
Références
– Perrin, Cours d’algèbre – Tauvel, Algèbre
– Calais, Éléments de théorie des groupes – Combes, Algèbre et géométrie
– Audin, Géométrie
Chapitre 8
109- Anneaux Z /n Z . Applications
38
39
Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg2010). Cette leçon classique demande une préparation minutieuse. Tout d’abord n n’est pas forcément un nombre premier.
Il serait bon de connaître les sous-groupes deZ/nZet les morphismes de groupes de Z/nZ dans Z/mZ.
Bien maîtriser le théorème chinois et sa réciproque. Distinguer clairement les pro-priétés de groupes additifs et d’anneaux. Connaître les automorphismes, les nil-potents, les idempotents. Enfin, les candidats sont invités à rendre hommage à Gauss en présentant quelques application arithmétiques des anneaux Z/nZ telles que l’étude de quelques équations diophantiennes bien choisies.
Question. Énoncer le théorème des deux carrés.
Réponse. Soit
siαi pair p quelconque premier
Développements
Développements proposés :
– Forme faible du théorème de progression arithmétique de Dirichlet, dans Oraux X-ENS algèbre 1
– Théorème de Sophie Germain, dans Oraux X-ENS, algèbre 1 Autres développements possibles :
– Irréductibilité des polynômes cyclotomiques dans Z[X], dans Gourdon – Détermination des groupes d’ordre pq avecp < q premiers, dans Perrin – Structure de (Z/pαZ)∗,p premier, dans Perrin etDemazure
– Théorème des deux carrés, dans Gourdon
Idées pour le plan
Généralités
40 CHAPITRE 8. 109- ANNEAUX Z/NZ – Arithmétique dans Z dans Gourdon la définition des classes de congruence modulonet de nZpuis la définition despgcdetppcmet leurs propriétés. les théorèmes de Bezout et de Gauss, en application le fait qu’un entier k soit congru à la somme de ses chiffres modulo9 dans Combes
– L’anneauZ/nZdansCombes la définition de l’anneauZ/nZ, la définition de l’indicatrice d’Euler et quelques propriétés, et les propositions qui suivent : a∈Z/nZ est générateur de Z/nZ si et seulement sia est premier avec n, le nombre de générateurs deZ/nZ, le théorème de Fermat (en contre-exemple à la réciproque, on peut citer les nombres de Carmichael), l’application à kφ(n) et la condition pour que Z/pZ soit un corps. Des exemples qui sont en grand nombre dans les exercices proposés dans Combes. La plupart des théorèmes sont aussi regroupés dansGourdon
Structures de Z/nZ
– Théorème chinois dansGourdon le théorème chinois et les applications. Dans Combes un exemple de résolution d’équation avec le théorème chinois.
– Les automorphismes de Z/nZ dans Perrin tout ce qu’il y a dans le para-graphe du même nom.
Arithmétique
– Nombres premiers dansGourdon le théorème fondamental de l’arithmétique, l’ensemble des premiers est infini et le théorèpe de Wilson (congruence de (p−1)! à −1 modulo p). Dans Demazure, le théorème de Rabin-Miller et dans Oraux X-ENS algèbre 1 la version faible du théorème de Dirichlet (dé-veloppement).
– Irréductibilité des polynômes dansPerrin dansPerrin le critère d’Eisenstein et un exemple dansTauvel
– les carrés dans Z/pZ où p est un premier dans Perrin le propriétés sur les carrés de Fq en prenant q =p, les caractérisations et le corollaire. Puis dans Gourdon le théorème des deux carrés, la définition du symbole de Legendre et des propriétés, aussi d’autres propriétés dansPerrin (toutes ces propriétés sont écrites clairement dansTauvel aussi).
– Équations diophantiennes dans Combes ce qu’il y a écrit sur les équations diophantiennes, un exemple de niveau terminale et le théorème de Sophie Germain dans Oraux X-ENS algèbre 1 (développement).
Cryptographie
– Système RSA dans Gourdon l’explication du système et le pourquoi c’est difficile à casser.
Références
– Perrin, Cours d’algèbre
41 – Gourdon, Algèbre
– Combes, Algèbre et géométrie
– Demazure, Cours d’algèbre, primalité, divisibilité, codes – Tauvel, Algèbre
– Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 1