Exemples.
187
188 CHAPITRE 45. 208-EVN. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
Remarques et questions
Remarque. Remarques du jury d’agrèg
– La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée.
Question. On sait que C([a, b],R,kk˙∞) est complet. Un autre exemple de norme qui rende cet espace complet ?
Réponse. Il n’y a pas de choses évidentes en fait. Comme piste, on peut voir à considérer les fonctions continues comme des opérateurs.
Question. Faire un dessin qui montre qu’en dimension finie toutes les normes sont équivalentes.
Réponse. Comme les boules sont des voisinages de 0 ont peut inclure n’importe quel objet avec un homothétique du premier.
Question. Donner un exemple d’espace avec deux normes pas équivalentes.
Réponse. Il faut, évidemment, se placer en dimension infinie. On peut donner comme exemple :
R[X]. La norme 1 et la norme ∞ ne sont pas équivalentes. En effet : en notant Pn= 1 +· · ·+xn on a :
Question (A propos du théorème de Riesz). On prend un Banach puis son dual.
On prend la topologie faible sur le dual. La boule unité est alors compacte pour tout Banach. Est-ce qu’il s’agit d’une contradiction au théorème de Riesz ? Réponse. Non. En effet, la topologie faible n’est pas associée à une norme.
Question. Donner une idée rapide de la démonstration de (Lp)0 = Lp0. Et que se passe-t-il avec L1 et L∞?
Lp est séparable, saut pour p= ∞. Comment ça se montre ? Pourquoi est-ce-que L∞ n’est pas séparable ?
Réponse. Cf Rudin.
189 Question (A propos des opérateurs compacts). Est-ce qu’on peut parler teurs compacts sur d’autres espaces que les Hilbert ? Donner un exemple d’opéra-teur compact.
Réponse. Oui, mais le théorème spectral est faux. Donc c’est moins intéressant dans le cadre de la leçon.
Les opérateurs à noyau sont des opérateurs compacts. Si K ∈L2([0,1]2, µ⊗µ) et lui-même. On va montrer que la boule unité est envoyée dans un compact pour montrer qu’il s’agit alors d’un opérateur compact. Pour caractériser les compacts des fonctions continues, on utilise le théorème d’Ascoli. D’où vient l’équicontinuité des Kf pour kfk ≤1?
|Kf(x)−Kf(y)| ≤ Z 1
0
|K(x, t)−K(y, t)||f(t)|dt
Et K est uniformément continue sur [0,1]2
≤ Z 1
0
|K(x, t)−K(y, t)|dt Donc K est uniformément continue sur le carré.
Développements
Développements proposés : – Lpest un Banach, dansBrézis
– Banach Steinhaus et existence d’une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point, dans Gourdon, analyse
Autres développements possibles :
– Théorème d’échantillonnage de Shannon (Willem) c’est des probas
Idées pour le plan
Généralités (EVN, applications linéaires continues)
190 CHAPITRE 45. 208-EVN. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES – Espaces vectoriels normés dans Gourdon la définition d’une norme et d’un espace vectoriel normé, des exemples de normes et d’espaces vectoriels nor-més dans Gourdon et Pommelet. Dans Pommelet la définition de normes équivalentes et le théorème qui suit (elles sont équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie), et l’exemple qui suit avec des normes pas équivalentes.
– Applications linéaires continues dans Pommelet les conditions équivalentes pour qu’une application linéaire soit continue et les exemples qui suivent, les deux propositions qui suivent aussi. La définition des normes des appli-cations linéaires continues et des exemples : par exemple les normes sur les espaces de matrices dansMneimé-Testard. Le théorème de prolongement des applications uniformément continues sur des ensembles denses, adapté au cas des applications linéaires continues et les applications (construction de l’intégrale de Riemann et théorème de Plancherel dansRudin) et le théorème de Hahn-Banach dansPommelet.
– Cas particulier de la dimension finie dans Gourdon les propositions sur les espaces vectoriels normés de dimension finie et dans Pommelet le théorème de Riesz.
Espaces de Banach
– Premières propriétés dans Gourdon la définition d’un espace de Banach, le théorème qui dit que les applications linéaires continues à valeurs dans un espace de Banach sont un Banach, en conséquence le théorème qui dit que si la convergence absolue d’une série entraine sa convergence l’espace est complet (un sens est écrit dans Pommelet). Dans Gourdon la définition du dual topologique d’un evn et le fait que c’est un Banach.
– Théorème de Baire et applications dansGourdon le théorème de Baire et les applications dont le théorème de Banach-Steinhaus et l’existence d’une fonc-tion continue dont la série de Fourier diverge en un point (développement).
On peut aussi rajouter le fait qu’un EVN qui admet une base dénombrable n’est pas complet et la densité dansC0([0,1])des fonctions continues partout et dérivables nulle part.
– EspacesLp DansBrézis la définition des espacesLp, l’inégalité de Hölder et, théorème de Riesz-Fischer (développement) et la proposition pour le dual de Lp.
Espaces de Hilbert
– Généralités. Dans Objectif Agrégation la définition d’un espace préhilber-tien et d’un espace de Hilbert. L’inégalité de Cauchy-Schwartz, l’identité du parallélogramme, l’inégalité de Minkowski (l’inégalité triangulaire pour la norme associée au produit scalaire) et des exemples d’espaces de Hilbert.
L’orthogonalité.
191 – Applications linéaires sur un espace de Hilbert dans Objectif Agrégation, la propriété de projection sur un sous-espace fermé. Le théorème de représen-tation de Riesz.
– Bases Hilbertiennes Dans Objectif Agrégation la définition et la caractérisa-tion, tout espace de Hilbert séparable admet une base Hilbertienne et un exemple avec les séries de Fourier et les polynômes orthogonaux.
Références
– Gourdon, Analyse
– Pommelet, Cours d’analyse – Objectif Agrégation
– Mneimé-Testard, Groupes de Lie classiques – Brézis, Analyse fonctionnelle
– Rudin, Analyse réelle et complexe
Chapitre 46
213 - Espaces de Hilbert. Bases Hilbertiennes. Exemples et
applications
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Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg 2010). Il est important de faire la diffé-rence entre base algébrique et base hilbertienne. Il faut connaître quelques critères simples pour qu’une famille orthogonale forme une base hilbertienne. Le théo-rème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. En revanche, la possibi-lité de construire le-dit projeté dans le cas particulier d’un sous-espace vectoriel de dimension finie semble inconnue de nombreux candidats. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formulesx=
∞ les hypothèses sur la famille (en)n∈N et en justifiant la convergence.
Question. Quelles sont les hypothèses du prolongement analytique ?
Réponse. Si deux fonctions analytiques définies sur un ouvert connexeΩsont égales sur un ensemble qui admet un point d’accumulation, alors elles sont égales sur Ω.
Question. Si un* uk·k est-ce qu’on a une inégalité ? Et comment on la démontre ? Est-ce que, muni de cette norme, B1 est un Hilbert ?
Réponse. B1 est un espace vectoriel normé. On introduit le produit scalaire : hψ|φiB1 =hψ|φiL2 +hψ0|φ0iL2 +hxψ|xφiL2.
Est-ce que c’est complet ?
H1 est un Hilbert. Soit (ψn)n≥1 une suite de Cauchy dans B1. Alors (ψn) est une suite de Caulcy dans H1 car kψp−ψqk2H1 ≤ kψp−ψqkB1. Soit ψ ∈ H1 sa limite.
Comme (xψn) est de Cauchy dans L2(R), on note ψ˜ sa limite. On veut montrer que xψ = ˜ψ.
194 CHAPITRE 46. 213- HILBERT ET BASES HILBERTIENNES
– Théorème de Stampacchia, dans Brézis
– Densité des polynômes orthogonaux, dans Objectif Agrégation Autres développements possibles :
– Décomposition spectrale des opérateurs autoadjoints compacts dans un Hil-bert, dansBrézis (chaud)
– Théorème d’échantillonnage de Shannon, dans Willem
– Théorème ergodique de Von Neumann, dansObjectif Agrégation
Idées pour le plan
Généralités (tout est dans objectif agrégation sauf quelques exemples qui sont dans Hirsch-Lacombe)
– Définitions, premières propriétés la définition d’un espace préhibertien et d’un espace de Hilbert. Des exemples d’espaces de Hilbert dans Objectif Agrégationet dansHirsch-Lacombe. L’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’identité du parallélogramme.
– Théorèmes de projection Les théorèmes de projection sur un convexe fermé et sur un sous-espace, en conséquence le théorème de Hahn-Banach géomé-trique dans le cas Hilbert. L’orthogonal d’une partie et les propriétés. En application, un critère de densité.
– Bases Hilbertiennes Définition (on peut citer le procédé d’orthonormalisa-tion), existence de bases hilbertiennes, différence entre une base algébrique et une base hilbertienne, caractérisation des bases hilbertiennes. En applica-tion : les polynômes orthogonaux (développement) et la base de L2 donnée par les séries de Fourier.
Théorème de représentation de Riesz
– Dual d’un espace de Hilbert dans Brézis le théorème de représentation de Riesz, et on écrit qu’on peut donc identifier H et son dual. En application, on définit l’adjoint d’un endomorphisme continu.
195 – Applications du théorème dans Objectif agrégation, on peut parler du dual desLp (mais il faut savoir justifier en quoi ça a sa place), citer le théorème de Hahn-Banach analytique dans le cas Hilbert et les théorèmes de Stampacchia (développement) et Lax-Milgram dans Brézis.
– Convergence faible dans un espace de Hilbert dansHirsch-Lacombe la défini-tion de la convergence faible et le théorème qui dit que de toute suite bornée deH on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.
Applications
– Opérateurs compacts dans Brézis la définition d’un opérateur compact, l’al-ternative de Fredholm et la décomposition spectrale des opérateurs autoad-joints compacts sur les espaces de Hilbert.
– Séries de Fourier Dans Objectif Agrégation on introduit les notations et on enchaine sur le paragraphe sur l’aspect hilbertien des séries de Fourier, et le théorème qui dit que la famille(en)n∈Z est totale dans L2.
Références
– Objectif agrégation
– Hirsch-Lacombe, Éléments d’analyse fonctionnelle – Brézis, Analyse fonctionnelle