dimension finie)
117
118 CHAPITRE 28. 133-ENDOMORPHISMES REMARQUABLES
Remarques et questions
Question. Quand-est-ce qu’une matrice normale réelle admet un logarithme ? Réponse. Pour répondre à la question, on utilise la réduction des matrices normales.
Remarque. A propos de la décomposition des endomorphismes normaux, il y a unicité à permutation des blocs près (on peut le montrer en liant les blocs aux valeurs propres complexes).
Développements
Développements proposés :
– Générateurs de O(E)et SO(E), dans Audin et Perrin – Réduction des endomorphismes normaux, dansGourdon Autres développements possibles :
– Détermination de l’enveloppe convexe de O(E)
– Réduction des endomorphismes symétriques, dans Gourdon
– l’exponentielle réalise un homéomorphisme de Sn(R) dans Sn++(R), dans Mneimé-Testard
– SO3 est un groupe simple, dansOraux X-ENS algèbre 3
Idées pour le plan
On se place dans un espace vectoriel E réel muni d’un produit scalaire h·|·i et de la norme associéek · k. On note n sa dimension.
Endomorphismes adjoints
– Définitions et propriétés dans Grifone la définition de l’adjoint et les pro-priétés.
– VocabulairedansGourdon la définition d’un endomorphisme normal, et dans Grifone la définition des endomorphismes autoadjoints et orthogonaux.
Endomorphismes normaux
– Premiers résultats dans Gourdon les lemmes qui servent à la réduction des endomorphismes normaux.
– Réduction des endomorphismes normaux dans Gourdon le dernier lemme et le théorème de réduction dans le cas réel (développement). On dit que les endomorphismes symétriques et orthogonaux sont normaux et donc vérifient ce théorème.
Endomorphismes symétriques ou autoadjoints
119 – Premières propriétés et réduction dansGourdon le fait queMn(K)est somme directe des matrices symétriques et antisymétriques, la définition d’une ma-trice positive et définie positive (pareil pour les endomorphismes). Dans Gourdon le théorème de réduction des endomorphismes symétriques (et on précise bien que les valeurs propres sont toutes réelles). En application, le fait qu’un endomorphisme est positif si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
– Applications de la réduction le théorème de pseudo-réduction simultanée et en application la log-convexité du déterminant et l’ellipsoïde de John-Loewner, dansOraux X-ENS algèbre3, dansGrifone l’obtention de la signa-ture d’une forme bilinéaire symétrique. Dans Oraux X-ENS, algèbre 2 l’ex-ponentielle induit un homéomorphisme de Sn(R) sur Sn++(R). Dans Oraux X-ENS algèbre 3le théorème du minmax de Courant-Fischer et le théorème qui donne la racine carrée d’un automorphisme auto-adjoint positif. Si on veut, on peut parler de la réduction des matrices antisymétriques, mais c’est pas obligé.
– Décomposition dans Oraux X-ENS algèbre 3 la décomposition polaire puis dansMneimé-Testard des applications à la topologie des groupes de matrices.
Endomorphismes orthogonaux
– Premières propriétés dansGourdon la définition du groupe orthogonal, c’est un groupe, la caractérisation matricielle, le groupe spécial orthogonal, c’est un sous-groupe distingué du groupe orthogonal. dansTauvel la définition des réflexions et retournements et dansAudin etPerrin les générateurs de 0(E) et SO(E) (développement).
– Propriétés topologiques dansMneimé-Testard le fait queOn(R)est compact, le groupeSOn est connexe par arcs et On a deux composantes connexes ho-méomorphes. La décomposition polaire est un homéomorphisme. DansOraux X-ENS algèbre 3 la simplicité de SO3.
– RéductiondansGourdon le théorème de réduction des isométries d’un espace euclidien. L’application aux cas du plan et de l’espace.
Références
– Audin, Géométrie – Perrin, Cours d’algèbre – Gourdon, Algèbre
– Grifone, Algèbre linéaire
– Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 2 – Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 3 – Mneimé-Testard, Groupes de Lie classiques
120 CHAPITRE 28. 133-ENDOMORPHISMES REMARQUABLES – Tauvel, Géométrie
Chapitre 29
135- Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Forme réduite. Applications en dimensions 2 et 3
121
122 CHAPITRE 29. 135- ISOMÉTRIES
Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg 2010). La classification des isométries en dimension2ou3est exigible ainsi que le théorème de décomposition commutative.
En dimension3: déplacements (translation, rotations, vissage) ; antidéplacements (symétries planes, symétries glissées, et isométries négatives à point fixe unique).
Remarque. Si on parle de polygones réguliers, en donner une définition qui est vraie.
Question. Les isométries du plan affine euclidien s’écrivent z 7−→az+b
z 7−→a¯z+b
avec|a|= 1. Comment reconnaît-on les symétries et les symétries glissées ? Réponse. Une symétrie est une isométrie indirecte, donc de la forme :z 7−→az¯+b.
On cherche les conditions sur a et b pour qu’il s’agisse d’une symétrie axiale non glissée. On veut donc l’existence de points fixes z1 etz−2 tels que
z1 =az¯1+b z2 =az¯2+b
donc z1 = a(¯az¯¯1 + ¯b) +b soit a¯b+b = 0. Si b = 0 alors l’isométrie devient une symétrie axiale de la forme z 7−→a¯z et si b6= 0 alors a=−¯bb.
Développements
Développements proposés :
– SO3 est un groupe simple, dansOraux X-ENS, algèbre 3 – Générateurs de O(E)et SO(E), dans Audin et Perrin Autres développements possibles :
– Isométries préservant le cube et le tétraèdre, dans Alessandri – Sous-groupes finis de SO3 dans Oraux X-ENS algèbre
Idées pour le plan
On se place dans un espace affine euclidien(, E)de dimension finien. On note h·|·ile produit scalaire sur E etk · k la norme associée.
Généralités
123 – Définitions dans Mercier la définition d’une application affine, la définition d’une isométrie, les groupes des déplacements et antidéplacements de l’espace affine. On rajoute des exemples qui sont dans Mercier etAudin. Dans Mer-cier le théorème qui dit que toute isométrie s’écrit de façon unique comme composée d’une translation et d’une isométrie qui a un point fixe.
– Exemples et propriétés dans Mercier quelques exemples simples et on dé-finit l’ensemble des points invariants de l’application affine et on donne la décomposition commutative. Un peu plus loin dansMercier le théorème qui dit que les isométries affines sont uniquement déterminées par la donnée de l’image den+ 1points affinement indépendants, en application des résultats sur les triangles isométriques.
Étude de O(E)
– Réduction et générateurs dans Audin le théorème de réduction des éléments de O(E) avec aussi la forme matricielle et ensuite les générateurs de O(E) et SO(E) (la fin est dans Perrin).
– Lien avec les isométries affines dans Audin le théorème qui donne les géné-rateurs des isométries de l’espace affine .
Classification des isométries du plan et de l’espace
– Dans le plan dansMercier la définition d’une rotation, dans le plan elle n’a qu’un seul point invariant qui est son centre,puis dans la définition d’une sy-métrie glissée (composition d’une reflexion et d’une translation) et le fait que les isométries du plan affine sont les translations, les rotations, les reflexions et les symétries glissées. On fait un tableau avec des schémas et l’ensemble invariant (plan, droite, point, vide). Dans Combes les dessins et les formes matricielles.
– Dans l’espace dans Mercier la définition d’une rotation affine, d’un vissage d’une reflexion glissée et d’une symétrie rotation. Ensuite, on fait le tableau qui donne la nature de l’isométrie en fonction de ses points invariants. Dans Combes les dessins et les formes matricielles. Dans Oraux X-ENS algèbre 3 le fait que SO3 est un groupe simple (développement).
Isométries conservant une partie
– Le groupe diédral dansMercier la définition d’un polygone et d’un polygone régulier. Quelques théorèmes qui suivent pour caractériser la rotation qui laisse invariant le polygone régulier. Ensuite on donne Is+(Pn) et Is−(Pn) puis la définition du groupe diédral et ses propriétés.
– Isométries préservant les polyèdres réguliers dans Mercier le groupe d’iso-métries du cube : la liste des choses conservées, la définition du cube, la liste des rotations qui laissent le cube invariant, la liste des antidéplacements qui laissent le cube invariant et dans Alessandri le fait que c’est isomorphe à S4 ×Z/2Z. Ensuite dans Mercier la définition du tétraèdre régulier, son
124 CHAPITRE 29. 135- ISOMÉTRIES groupe des isométries est isomorphe à S4 et la liste des rotations et retour-nements.
Références
– Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS, algèbre 3 – Audin, Géométrie
– Perrin, Cours d’algèbre – Mercier, Cours de géométrie – Combes, Algèbre et géométrie