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66CHAPITRE 15. 116- POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES. CORPS DE RUPTURE
Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg 2010). Les applications ne concernent pas que les corps finis. Il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autre que C. Un polynôme réductible n’admet pas forcément de racines. Il est instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré 2,3,4 surF2.
Question. Est-ce que le polynôme X4+ 1∈R[X] est irréductible ?
Question. À propos de l’algorithme de Berlekamp, est-ce que l’algorithme est iden-tique pour un polynôme à coefficients dansQ?
Réponse. Oui : on passe dans Z puis dans Q.
Question. Soit P ∈Z[X] de degré d≥ 1. On suppose que ∃x1,· · · , x2d+1 ∈Z tels queP(xi) est premier. Montrer queP est irréductible.
Réponse. Si on aP =QR alors pour touti on a P(xi) =Q(xi)R(xi). Donc
∀i∈[1,2d+ 1], Q(xi) =±1 ouR(xi) =±1,
or deg(Q)≤ d−1 et deg(R)≤ d−1. On a le résultat avec le nombre de racines maximal de Q etR.
Question. Soit l’anneau C[X, Y]/(X2−Y3). Montrer qu’il est intègre.
Réponse. Dans un anneau factoriel, premier⇔ irréductible.
Remarque. A factoriel ⇒A[X] factoriel.
Développements
Développements proposés :
– Théorème d’existence et d’unicité des corps finis, caractérisation des sous-corps, dansPerrin etGozard
– Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, dans Gozard Autres développements possibles
– Algorithme de Berlekamp, dans Objectif Agrégation
– Comptage des polynômes irréductibles de Fq, dans Francinou-Gianella ou Gozard
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Idées pour le plan
Attention ! La définition de Gozard des polynômes irréductibles est fausse ! On se place dans le cadre suivant : A est un anneau factoriel et K un corps (tous deux sont supposés commutatifs et unitaires).
Polynômes irréductibles
– Définitions et premiers exemples dans Perrin la définition de l’irréductibi-lité appliquée dans le cas des polynômes à une seule indéterminée puis en remarque le fait que siA est factoriel, alorsA et intègre et A[X]est intègre.
En remarque dans Gozard une première liste d’exemples de polynômes irré-ductibles de K[X]. Dans Gourdon le théorème de d’Alembert Gauss et les irréductibles deR[X], le théorème qui dit que si un polynôme est irréductible sur un anneau, il est irréductible sur tout sous-anneau (mais où ?)
– Critères d’irréductibilité dansPerrin la définition du contenu d’un polynôme, d’un polynôme primitif, le lemme de Gauss, le théorème sur les irréductibles de A[X], le fait que A factoriel entraine A[X] factoriel puis dans Gosard le critère d’Eisenstein et un exemple qui suit immédiatement. Toujours dans Gozard le théorème de réduction modulop, l’explication dans le cas de Z et l’exemple qui suit.
– Éléments algébriques et polynôme minimal dans Gozard la définition de l’idéal annulateur d’un élément, des éléments algébriques. La définition du polynôme minimal et la proposition sur le polynôme minimal et ensuite la définition d’une extension algébrique.
Adjonction de racines
– Corps de rupture d’un polynôme dans Gozard la définition du corps de rup-ture d’un polynôme, et le théorème d’existence et d’unicité à isomorphisme près du corps de rupture. En exemple,CetF4. La proposition sur les racines de P en fonction du degré de l’extension, et celle avec le pgcd du degré de l’extension et du degré du polynôme.
– Corps de décomposition dansGozard la définition du corps de décomposition et le théorème d’isomorphisme. Des exemples. En application, le théorème d’existence et d’unicité des corps finis à isomorphisme près et la caractérisa-tion des sous-corps, dans Perrin etGozard.
– Clôture algébrique d’un corps dans Gozard la définition de la clôture algé-brique d’un corps, des exemples (C est algébriquement clos), la définition de la clôture algébrique d’un corps , le théorème d’existence et d’unicité, un exemple non trivial.
– Application : polynômes cyclotomiques dans Gozard la définition des po-lynômes cyclotomiques, on en donne quelques uns, les propositions sur les polyômes cyclotomiques, en application : la version faible du théorème de Di-richlet dansOraux X-ENS, algèbre1et le théorème qui dit que les polynômes
68CHAPITRE 15. 116- POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES. CORPS DE RUPTURE cyclotomiques sont irréductibles (développement).
Cas des corps finis
– Polynômes irréductibles sur Fp dans Gozard le pourquoi c’est intéressant d’étudier les polynômes irréductibles de Fp, les exemples de F4 et de F8, le théorème d’existences de polynômes irréductibles de degré n sur Fp et si on veut on définit la fonction de Möbius et on donne le théorème qui permet le dénombrement des polynômes unitaires irréductibles deFq.
– Un algorithme de factorisation dansObjectif Agrégation l’algorithme de Ber-lekamp.
Références
– Perrin, Cours d’algèbre – Gozard, Théorie de Galois – Objectif Agrégation
Chapitre 16
117- Algèbre des polynômes à n indéterminées (n ≥ 2). Aspects théoriques et applications
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70 CHAPITRE 16. 117-POLYNÔMES ÀN INDÉTERMINÉES
Remarques et questions
Remarque (Remarques du jury d’agrèg 2010). La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ni sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés.
Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai surZ, l’algorithme peut être présenté sur un exemple.
Les applications aux quadriques, aux relations coefficients-racines ne doivent pas être négligées. On peut faire agir le groupe GLn(R) sur les polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
Question. Qu’est-ce que ça veut direNoethérien?
Réponse. Ca implique que tout idéal est de type fini. Toute suite d’idéaux stricte-ment croissante est stationnaire à partir d’un certain rang.
Question(À propos des polynômes symétriques). Symétriser le monômeX12X22X3.
Développements
Développements proposés :
– Théorème de Chevalley-Warning, dans Serre
– Théorème de structure des polynômes symétriques, dans Ramis-Deschamps-Odoux, algèbre 1
Autres développements possibles :
– Théorème de Molien, dans Leichtmann
– Comptage de racines de formes quadratiques, dansGantmacher
Idées pour le plan
On prend, comme dans le titre de la leçon, n≥2 et A un anneau commutatif unitaire. K désignera toujours un corps commutatif.
Généralités
– L’algèbre A[X1,· · · , Xn] dans Ramis-Deschamps-Odoux la définition d’un polynôme à n indéterminées, la notation, il s’agit d’une algèbre, on peut aussi la définir par réccurrence, si A est intègre alors A[X1,· · · , Xn] l’est aussi.
– Degré dansRamis-Deschamps-Odoux, la définition du degré partiel et du de-gré total d’un polynôme (et inventer un exemple sur place, c’est pas la mort), le degré du polynôme nul, les propriétés du degré, la définition du poids d’un monôme, et dansSerre le théorème de Chevalley-Warning (développement) et les corollaires.
71 – Polynômes homogènes dans Ramis-Deschamps-Odoux la définition d’un po-lynôme homogène, la propriété pour le produit, tout popo-lynôme est combinai-son linéaire de polynômes homogènes, l’application au degré d’un produit de polynômes dans un anneau intègre.
– Propriété universelle et fonction polynôme dans Goblot la propriété univer-selle, la définition d’une fonction polynôme et l’application au prolongement des identités.
– Propriétés arithmétiques Dans Ramis-Deschamps-Odoux le paragraphe sur les propriétés arithmétiques de K[X1,· · · , Xn].
Applications
– Polynômes symétriques dans Ramis-Deschamps-Odoux la définition des po-lynômes symétriques, des popo-lynômes symétriques élémentaires, le degré du polynôme obtenu en remplaçant les indéterminées par les polynômes symé-triques élémentaires et l’ordre d’un polynôme symétrique. le théorème de structure des polynômes symétriques (développement).
– Résultant dans Szpirglas la définition du résultant et sa valeur en fonction des racines des polynômes.
Références
– Rudin-Deschamps-Odoux, Cours de mathématiques, algèbre 1 – Serre, Cours d’arithmétique
– Gantmacher, Matrix theory, tome II – Tauvel, Algèbre
– Madère, Leçons d’agrégation. Algèbre – Goblot, Algèbre commutative
– Gourdon, Algèbre
– Szpirglas, Mathématiques Algèbre L3