Expérimentations complémentaires sur la méthode NLL

Nous menons maintenant quelques expérimentations complémentaires concernant la méthode NLL. Nous examinons tout d’abord l’influence du paramètre m, qui est le nombre de modes utilisés dans le calcul du champ de déformation. Puis, nous observons l’allure des dipôles recalés en regard de la somatotopie attendue. Enfin, nous nous intéressons au comportement de la méthode lorsque la contrainte sillon x est une instance non observée déduite de la variabilité apprise.

Influence du paramètre de régularisation, m

Le paramètre m correspondant au nombre de modes utilisés dans la construction du champ de déformation (−Φmbm), et donc dans la reconstruction du sillon x, peut être interprété comme un paramètre de régularisation comme nous l’avons déjà mentionné. En effet, conserver seulement m modes conduit à une approximation de la forme individuelle originale dont les caractéristiques les moins conformes à l’ensemble d’apprentissage sont rejetées, mais dont la (( forme principale )) est préservée. L’incrément des modes dans la reconstruction (( ré-individualise )) la forme considérée.

La figure 5.7 présente le déterminant de la matrice de covariance des localisations des dipôles recalés par la méthode NLL en fonction du nombre de modes retenus. Notons que le cas m = 0 équivaut à la méthode LR et que le cas m = 17 correspond à la méthode NLL1. La dispersion mesurée par ce déterminant est inversement proportionnelle au nombre de modes utilisés et diminue d’autant plus vite que les valeurs de m sont faibles. Ce résultat généralise les observations réalisées ci-dessus pour le cas m = 5. Il montre ainsi l’intérêt et la pertinence d’une représentation compacte de formes, qui peut s’avérer particulièrement utile pour le traitement de larges bases de données. La question qui se pose alors est celle du choix du nombre de modes, m, à conserver. Le taux d’inertie peut se révéler être un indice utile à la détermination de m. En effet, l’évolution de ce taux est comparable à celle du déterminant. Ainsi, d’après les résultats obtenus au chapitre 2, section 2.7.4, six modes expliquent 74% de la variance totale, neuf modes 86%, 11 modes 90% et 14 modes 96%. Le choix de m pourra donc être induit par le taux d’inertie désiré. En d’autres termes, le recalage des données fonctionnelles sera contraint par un certain (( pourcentage des variations anatomiques totales expliquées )).

Remarque Nous remarquons sur la figure 5.7 que la décroissance du déterminant est très faible entre les modes 3 et 4. Ceci est à mettre en rapport avec l’étude de la capacité de généralisation du modèle statistique du sillon central gauche réalisée en section 2.7.5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5^{x 10} 5

Nombre de composantes principales retenues

Déterminant de la matrice de covariance

Influence du nombre de modes retenus

auriculaire index pouce

Fig. 5.7 – Déterminant de la matrice de covariance des localisations des dipôles recalés par la méthode NLL en fonction du nombre de modes retenus et pour chacun des doigts considérés (auriculaire, index, pouce).

En effet, nous y avions remarqué que le mode 4 se révélait très peu informatif pour la reconstitution du sillon central gauche. Par conséquent, la reconstruction du sillon x avec 3 et 4 modes conduit à deux formes très similaires, ce qui explique le relatif aplat observé sur la figure 5.7.

Somatotopie

La figure 5.8 montre les dipôles correspondant à chaque doigt recalés par la méthode NLL1. Ces dipôles sont correctement localisés par rapport au doigt concerné : l’organisation somatotopique est donc préservée.

Calcul du champ de déformation à partir d’instances synthétisées

Le recalage ne s’effectue plus ici vers la forme moyenne, mais vers une forme synthétisée issue de l’apprentissage. Précisément, le champ est calculé entre x, le sillon central d’un sujet, et xc une forme synthétisée à partir de la modélisation. Ici, nous avons considéré le premier mode et xc s’écrit :

x_c = ¯x+ Φ1b₁ où b₁∈ [−3pλ₁, + 3pλ₁]. (5.9) Pour chaque sujet, un tel champ est calculé puis appliqué aux dipôles associés, ce calcul étant itéré pour un certain nombre de b1 dans l’intervalle [−3^√λ₁, + 3√

λ₁].

La figure 5.9 présente les dipôles ainsi recalés. Il est intéressant d’observer sur cette figure que les dipôles recalés suivent les (( bosses )) du sillon central synthétisé.

156 5.4 Expérimentations et résultats

- a - - b - c

-Fig. 5.8 – Illustration de l’organisation somatotopique des dipôles recalés par la méthode NLL1. Les dipôles correspondant à chaque doigt sont ordonnés. (a) les dipôles recalés correspondant à l’auriculaire ; (b) les dipôles recalés correspondant à l’index ; (c) les dipôles recalés correspondant au pouce.

Fig. 5.9 – Dipôles correspondant à une activation de l’index recalés par la méthode NLL en utilisant une instance synthétisée xc comme sillon cible dans le calcul du champ de déformation. Le sillon x_c est représenté en rouge sur chacune des figures. On a : x_c = ¯

158 5.5 Conclusion

5.5 Conclusion

Dans le contexte de l’étude de la variabilité anatomo-fonctionnelle, nous avons proposé une méthode pour construire un atlas probabiliste anatomique et fonctionnel local. Cette méthode est une méthode de recalage fonctionnel inter-individuel locale et non linéaire, basée sur les amers anatomiques que sont les sillons corticaux. Elle suppose qu’une part de la variabilité fonctionnelle inter-individuelle est encodée sur la variabilité anatomique, l’autre part en étant décorrélée et donc irréductible par normalisation anatomique. Elle introduit alors une connaissance statistique d’ordre anatomique dans le recalage fonction-nel inter-individuel, via l’exploitation de la modélisation statistique des sillons corticaux proposée au chapitre 2.

Comparée à des méthodes de recalage inter-individuel globales plus classiques, elle s’est avérée capable de réduire la variabilité fonctionnelle inter-sujets observée au travers des données MEG. Par contre, la méthode NLL proposée ici ne fournit pas de transformation bijective. Bien que ce soit également le cas de la plupart des méthodes de recalage glo-bales non linéaires denses, certains travaux récents s’attachent à introduire des contraintes spécifiques dans la formulation du recalage afin de forcer la bijectivité [Christensen 01].

Par ailleurs, on peut se demander ce que devrait être le volume d’intérêt à associer à un sillon. Nous avons considéré que les dipôles étudiés, étant supposés être localisés dans le gyrus postcentral, sont (( suffisamment proches )) du sillon central pour appartenir à sa zone d’influence. Toutefois, nous avons proposé un moyen de définir explicitement ce voisinage, spécification incombant à l’utilisateur selon l’application envisagée. Si sommairement on peut considérer que le voisinage d’un sillon s’étend à ses gyri adjacents, une meilleure com-préhension des processus cérébraux, tant anatomiques que fonctionnels et physiologiques, est nécessaire pour répondre rigoureusement à ce type de question.

Une extension intéressante et quasi-immédiate de la méthode consisterait à intégrer une double contrainte dans le recalage. En effet, si l’on considère que nos dipôles MEG sont sous l’influence du sillon central, il semble également raisonnable de penser qu’ils sont également sous l’influence du sillon postcentral. Considérant que la paire (sillon central, sillon postcentral) modélise le gyrus postcentral, nous pourrions fusionner les activations fonctionnelles dans un repère lié au gyrus postcentral moyen. Cette extension fait directe-ment appel à la modélisation statistique des couples de sillons présentée au chapitre 3. Le recalage pourra alors être modulé selon le nombre de modes retenus à la fois pour définir la position et l’orientation relative du couple et pour définir la forme des sillons.

Signalons enfin que le recalage proposé ici n’est pas spécifique aux dipôles MEG et peut s’appliquer à d’autres modalités d’imagerie fonctionnelle, telle que l’IRMf par exemple.

Chapitre 6

Modélisation statistique de formes

pour l’investigation du système

visuel humain

Dans ce chapitre, nous présentons une application de la modélisation statistique de formes à des frontières fonctionnelles délinéant les aires visuelles rétinotopiques chez l’hom-me. Les données étudiées nous ont été fournies par Michel Dojat de l’unité Inserm U438 de Grenoble. Dans le cadre de l’investigation du système visuel humain, cette équipe s’intéresse à deux aspects particuliers de la vision humaine : la localisation et le rôle des aires visuelles de bas niveau, qu’elle explore au moyen d’études en IRMf.

Après avoir introduit le contexte de cette application, nous décrivons brièvement le procédé de délinéation des aires visuelles développé au sein de l’unité Inserm U438. Nous proposons alors une modélisation statistique des données extraites.

6.1 Contexte

Cette section vise à donner quelques éléments permettant de situer le contexte de cette application. Elle n’a donc rien d’exhaustif et nous renvoyons le lecteur à [Dojat 99], [Warnking 02a] pour un état de l’art détaillé et une exposition des problématiques et méthodes mises en jeu dans ce domaine.