linéaire des autres. Précisément, nous avons : ψRB = −ψRA, φRB = −φRA, ψOb = ψOa− π, φOb = −φOa. (3.19)
D’autre part, les taux d’inertie obtenus indiquent une bonne qualité de la représentation modale par un faible nombre de paramètres. Si cet aspect de compacité de la modélisa-tion est important pour des applicamodélisa-tions particulières, nous sommes également intéressés par l’observation de la variabilité inter-individuelle des relations géométriques entre deux sillons. Les variations des amplitudes modales de déformation relatives aux trois premiers modes dans l’intervalle [−2√λ, + 2√
λ] génèrent des exemplaires présentés sur la figure 3.9. La variabilité observée à partir de la population d’apprentissage indique une stabilité de l’orientation relative et met en évidence une variabilité de position relative plus importante. Il est vrai que les sillons considérés sont d’ailleurs a priori (( quasi-parallèles )).
La modélisation de la variabilité des paires de sillons que nous avons considérés est per-tinente par elle-même puisque ces sillons quasi-parallèles modélisent des gyri. Par exemple, les sillons central et postcentral bordent le gyrus postcentral, et modéliser leur interaction est une façon de modéliser la variabilité du gyrus. En ce qui concerne les autres arcs, étant donné qu’ils correspondent à des plis de passage, leur modélisation trouve plutôt son intérêt dans l’étude du graphe complet.
3.8 Du couple au graphe
Nous avons développé ci-dessus l’analyse d’un couple de sillons afin de modéliser la variabilité inter-individuelle sulcale en termes de position et d’orientation relatives. L’ex-tension directe de notre approche à l’étude du graphe entier n’a pas été menée. Nous exposons quels objectifs elle vise et à quelles difficultés elle se heurte.
Plaçons-nous dans un cas simplifié et considérons un graphe à trois nœuds A, B et C, et deux arcs : (A,B) et (B,C), tel que celui présenté sur la figure 3.10. Le nœud B est donc commun aux couples (A,B) et (B,C). L’objectif est de modéliser la variabilité intrinsèque du triplet (A,B,C) en termes de position et d’orientation.
L’approche présentée ci-dessus permet l’analyse du couple (A,B) d’un côté et du couple (B,C) de l’autre. Le problème qui se pose est de (( fusionner )) ces deux analyses afin de saisir la variabilité intrinsèque du triplet (A,B,C). En d’autres termes, il s’agit de forma-liser l’influence du nœud C sur l’interaction (A,B) (et vice-versa, du nœud A sur (B,C)). Cette influence peut par exemple se traduire ainsi : une configuration du couple (A,B), synthétisée à partir de la variabilité apprise sur ce couple, devient impossible du fait d’un positionnement donné du nœud C relativement au nœud B. Si l’on se place au nœud com-mun B, cela revient à dire que l’on peut modéliser le positionnement de B relativement à celui de A et, indépendamment, relativement à celui de C. La question qui se pose est alors : (( Comment modéliser le positionnement de B relativement à celui de A et de C
- a - - b - c
-- d -- - e - f
-- g -- - h - i
-Fig. 3.9 – Effets des variations des amplitudes modales de déformation sur la position et l’orientation relatives des paires de sillons (A,B) considérées. Pour toutes les figures, le code des couleurs est le suivant : en blanc : repère local médian au couple (A,B), en bleu : repère local moyen du sillon A, en rouge : repère local moyen du sillon B, en vert : repères locaux synthétisés correspondant au sillon A et en jaune : repères locaux synthétisés corres-pondant au sillon B.
(a-c)génération de couples (A,B) autour de l’observation moyenne selon le premier mode : −2√λ1≤ f1 ≤ +2√λ1; (d-f) selon le deuxième mode : −2√λ2 ≤ f2 ≤ +2√λ2; (g-i) : se-lon le troisième mode : −2√λ3 ≤ f3≤ +2√λ3. Les paires (A,B) considérées sont : (a,d,g) le couple (C, PréC) ; (b,e,h) le couple (C, PostC) ; (c,f,i) le couple (L, TS).
112 3.8 Du couple au graphe
A B C
Fig.3.10 – Graphe composé de trois nœuds A, B et C, et deux arcs : (A,B) et (B,C).
simultanément? )).
L’analyse d’un couple telle que nous l’avons proposée ne peut pas être exploitée pour résoudre ce problème. En effet, les deux vecteurs aléatoires représentant les couples (A,B) et (B,C) respectivement, sont par définition relatifs à deux repères différents qui sont les repères locaux médians de chacun des couples. Ils ne peuvent donc être analysés de manière jointe. Par conséquent, les relations (A,B) et (B,C) sont à définir dans un même et unique repère, soit Rc. L’analyse dépend alors complètement du choix de Rc. Comme nous l’avons souligné en section 3.4, un référencement extrinsèque du graphe ne peut pas convenir pour effectuer l’analyse désirée. Considérons alors la définition d’un repère intrinsèque au graphe. Pour un couple, le repère intrinsèque est satisfaisant, mais sa définition ne permet pas l’extension de l’analyse à un nœud supplémentaire. La construction d’un repère propre à trois nœuds, quatre nœuds, . . . , n nœuds peut être envisagée. Cependant, cette solution ne paraît ni très attractive, ni vraiment satisfaisante. En effet, la définition de ces repères peut s’avérer délicate géométriquement. De plus, cela induit un graphe très spécifique, peu évolutif et dont la gestion s’avère lourde. Si l’on considère un unique repère Rcintrinsèque à tout le graphe, il nous faut également en imaginer une construction pertinente. Par ailleurs, ce repère intrinsèque au graphe demeure en quelque sorte extrinsèque aux relations entre deux sillons. Par exemple, pour l’analyse d’un couple, ce repère sera forcément un peu moins bien ajusté que le repère médian, puisque non spécifique au couple. L’idéal serait de pouvoir définir une distance qui soit pour chaque arc du graphe indépendante d’un quelconque repère.
Le recours à une référence extrinsèque au graphe est bien sûr possible, mais dans ce cas nous abordons l’analyse présentée comme analyse de niveau 3 dans l’introduction. Cette analyse porte sur la position et l’orientation de l’ensemble de sillons considérés dans ce repère et ne modélise pas spécifiquement les interactions entre les sillons.
À titre d’illustration, nous proposons de réaliser cette modélisation dans un repère commun global, repère image d’un sujet de la base choisi comme référence. L’ensemble des observations est alors recalé sur ce repère. Nous avons retenu un recalage global basé intensité et consistant à maximiser l’information mutuelle [Collignon 95], [Viola 95]. Dans ce repère, la position et l’orientation de chaque sillon du graphe est représentée par les paramètres de la transformation amenant le repère local du sillon exprimé dans Rc sur Rc. Ces paramètres sont calculés comme décrit en section 3.5.2. Le vecteur d’observation représentant la position et l’orientation d’un sillon dans Rc est donc :
es = (ds,ψOs,φOs,ψRs,φRs,θRs). (3.20) Le vecteur d’observation à analyser pour la modélisation du graphe résulte de la
conca-ténation des vecteurs d’observation correspondant à chacun des sillons considérés dans le graphe. Dans notre cas, cela produit un vecteur d’observation à p = 36 composantes. L’analyse statistique se déroule alors de façon tout à fait analogue à celle réalisée sur le couple.
La figure 3.11 présente les taux d’inertie obtenus selon le nombre de modes retenus. La figure 3.12 montre les effets des variations des amplitudes modales le long du premier mode. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 0 10 20