2.3.1 Schématisation géométrique
Les techniques d'homogénéisation se ramènent le plus souvent à la résolution d'un pro-blème (thermo)élastique ctif, formulé sur un volume dont la constitution est bien souvent éloignée de celle du matériau considéré, excepté dans le cas des approches à motifs morpho-logiques (voir paragraphe 1.5.1). Ici au contraire, la schématisation géométrique proposée par Christoersen permet de travailler sur un volume, certes caricaturé, mais possédant néanmoins un lien étroit avec la microstructure du matériau réel, ce qui contribue à la lisibilité de la méthode. L'approche morphologique prend ainsi en compte, de manière explicite par l'intermédiaire des paramètres morphologiques (cf. paragraphe 2.2.1), une in-formation microstructurale riche allant jusqu'à caractériser les interfaces grains/couches, ce qui constitue un point positif pour qui veut modéliser l'endommagement. D'autre part, Christoersen a montré dans son article que les estimations dépendaient de la texture éventuelle du composite étudié, des irrégularités de forme des grains et d'épaisseurs de couches (i.e. de distances intergranulaires) [CHR83] ; une telle dépendance est conservée en transformations nies. Pour nir, contrairement aux autres approches où l'anisotropie d'un
composite peut poser un problème particulier (voir [PCW95]), la technique proposée par Chrisoersen opère indiéremment des symétries du matériau considéré, les paramètres morphologiques constituant des indicateurs directs d'une anisotropie éventuelle.
En revanche, une telle schématisation, réalisée à partir d'images tomographiques du ma-tériau considéré -avec les contraintes fortes auxquelles elle doit répondre (tel que le paral-lélisme des facettes de grains en regard)- demande à être optimisée. Cette schématisation doit donc être la plus proche possible du matériau réel a n de conférer le maximum de pertinence aux paramètres morphologiques d→α,n→α et hα. Notons qu'une fois les grains polyédrisés, les paramètres précédemment cités sont directement identi ables alors qu'il reste un degré de liberté concernant la dé nition de l'aire projetée Aα. En eet, elle peut être dé nie de diérentes manières : la prendre égale à la moyenne arithmétique des deux surfaces en regard n'est pas la seule possibilité. Nous en reparlerons plus loin (paragraphe 2.4.2). Mentionnons pour nir que pour optimiser la correspondance entre matériau réel et matériau schématisé nous verrons un peu plus loin que la condition de compatibilité est l'un des paramètres dont il faut tenir compte.
2.3.2 Schématisation cinématique
Les hypothèses cinématiques formulées une fois la schématisation géométrique eectuée constituent un point théorique discutable de l'approche morphologique. Cependant, étant donné l'application qu'on lui prévoit, elles sont justi ables de la manière suivante :
L'hypothèse f0 homogène dans un grain est a priori acceptable dans la mesure où les particules sont supposées être quasi-rigides, ou tout au moins avoir des modules beaucoup plus élevés que ceux de la matrice (fort contraste).
Concernant l'hypothèse f0 identique pour tous les grains , c'est le fort taux de charge qui entre ici en ligne de compte. En eet, les particules étant présentes en très forte proportion, on peut s'attendre à ce qu'elles suivent un mouvement d'ensemble en particulier en matière de rotation. Cette hypothèse reste néanmoins à notre avis la plus discutable et sera quantitativement analysée au chapitre 4.
L'hypothèse fα homogène dans la couche α revient quant à elle à considérer un champ de déplacement linéaire par morceaux dans la phase matrice vue comme un assemblage de couches. Cette linéarisation peut au premier abord paraître inadéquate dans un contexte géométriquement non linéaire, mais deux arguments s'opposent à cette idée. D'abord, compte tenu de la faible épaisseur des couches, il est très probable que les champs locaux soient relativement homogènes dans une couche, excepté près des zones médianes. Ensuite, à l'échelle du VER, une couche est un élément si petit que l'hypothèse de linéarité dans cette zone ne doit pas être si contraignante.
encerclées sur la gure 2.2) peut se justi er par le fait que ces zones occupent une place faible dans le volume, compte tenu de la faible épaisseur des couches elle-même conséquente du fort taux de charges des matériaux auxquels l'approche est destinée. Là encore nous reviendrons sur une analyse quantitative de cet aspect dans les chapitres 3 et 4.
2.3.3 Hétérogénéité dans la phase matrice
L'exploitation de la double schématisation (géométrique et cinématique) a conduit dans un premier temps à la relation (2.1) qui exprime le gradient de transformation de la couche α en fonction du gradient de transformation macroscopique, de celui des grains et des paramètres géométriques propres à la couche α. D'une couche à une autre, ce sont les paramètres géométriques qui vont varier, et par conséquent, le gradient de transformation d'une couche α' sera diérent de celui de la couche α. La double schématisation proposée ore donc un moyen de décrire une certaine hétérogénéité dans la phase matrice repré-sentée par un assemblage de couches aux caractéristiques diérentes, et ce, quel que soit le comportement de la matrice. Ceci constitue un avantage certain de la méthode (voir paragraphe 1.5.2 du chapitre 1).
Cependant, il est important de souligner que cette hétérogénéité est obtenue au prix d'hypo-thèses simpli catrices importantes formulées sur les champs locaux, contribuant au même titre que la schématisation géométrique directe au caractère non classique de l'approche. Même si ces hypothèses ont été justi ées par des arguments théoriques dans le paragraphe précédent, il conviendra de véri er d'un point de vue quantitatif la véracité de nos propos ; ce sera fait au cours des études présentées aux chapitres 3 et 4.
En revanche, on pourrait déplorer le manque d'hétérogénéité dans la phase grain, comme l'impliquent les hypothèses formulées sur f0. Cependant, en ce qui concerne l'application prévue, cela paraît raisonnable : étant donné le fort contraste entre les phases on s'attend à ce que ce soit la matrice qui accomode l'essentiel de la déformation. C'est sur l'aspect rotation que cette hypothèse risque d'être la plus gênante, mais comme avancé au para-graphe 2.3.2 précédent on peut espérer que le fort taux de charges de ces composites joue dans ce sens.
2.3.4 Condition de compatibilité
La compatibilité entre mouvements global et local au sens de la relation de moyenne (2.2) (voir paragraphe 2.2.3) a fait émerger une condition portant sur les paramètres géo-métriques du volume schématisé (cf. (2.3)). Cette dernière, quali ée de condition de com-patibilité (ou condition de cohérence), doit être perçue comme un critère d'applicabilité de
la méthode. En eet, cette relation implique la taille du volume considéré mais aussi des conditions sur les paramètres morphologiques introduits lors de la schématisation géomé-trique, et par conséquent, sur le matériau réel. On peut très bien imaginer que certains matériaux ne puissent pas être schématisés selon la procédure de Christoersen en assurant l'égalité (2.3) et ce, quelle que soit la taille du volume considéré. Pour de tels matériaux, la compatibilité entre mouvements global et local n'est alors pas satisfaite, si bien que l'approche morphologique ne leur est pas applicable.
D'autre part, cette relation est l'un des critères de choix du VER. Il s'ajoute au critère relatif à la stabilisation des propriétés macroscopiques (voir paragraphe 1.3.2). En eet, un volume statistiquement représentatif de la morphologie du matériau réel pourra être consi-déré seulement si, une fois schématisé, ses paramètres morphologiques satisfont la condition de compatibilité (2.3). Ainsi, le VER mécanique associé à la méthode de Christoersen ne coïncide pas nécessairement avec le VER morphologique : il peut a priori être plus grand. Dans le chapitre 5, nous préciserons sur l'exemple d'un composite énergétique spéci que les étapes nécessaires à la détermination du VER relatif à l'AM.
D'un point de vue pratique, le passage du matériau réel au matériau schématisé devra donc concilier représentativité des paramètres morphologiques et respect de (2.3).
2.3.5 Système à résoudre
Le système (2.4) auquel la démarche proposée aboutit mérite d'être détaillé.
Tout d'abord, il est important de noter que la première équation (voir (2.4)1) constitue une relation de moyenne classique (adaptée toutefois au contexte simpli é considéré) tandis que la seconde, (2.4)2, est une relation propre à la démarche de Christoersen exploitant le caractère granulaire du matériau. Elle traduit le fait que la transmission des eorts au sein de l'agrégat se fait uniquement au travers des interfaces grains/couches (voir illustration sur la gure 2.4), les couches jouant le rôle de zones de contact entre les grains. Les eets dans les zones médianes n'étant pas décrits, aucune transmission d'une couche à une autre n'est directement possible. Cette dernière est décrite via les grains comme le montre aussi la présence de f0 dans (2.1). Ceci constitue naturellement un point discutable de l'approche.
Fig. 2.4 Transmission des eets au sein de l'agrégat dans l'approche de Christoersen
Une deuxième remarque concerne la formulation unique à laquelle on arrive, quel que soit le comportement des constituants, linéaire ou non. On a vu que les approches d'ho-mogénéisation classiques étaient fondées sur une linéarisation du problème non linéaire initial et que la diversité des procédures de linéarisation et des dé nitions des modules linéarisés pouvait constituer une di culté pour l'utilisateur, dans la mesure où les dié-rentes techniques ne sont pas encore hiérarchisées (voir paragraphe 1.5.2). De même, le choix d'un schéma d'homogénéisation linéaire est problématique : il peut s'avérer que ses hypothèses de base, satisfaites en début de chargement, ne soient plus véri ées à mesure que le chargement progresse (voir par exemple [IMPCS06] où l'hypothèse implicite de pe-tites uctuations des champs locaux dans la procédure d'Hashin-Shtrikman est rapidement mise à défaut pour des comportements fortement non linéaires). L'approche morphologique s'aranchit quant à elle de toute procédure de linéarisation, ce qui contribue à son carac-tère direct et par suite à une lisibilité globale certaine et à une simplicité d'utilisation. C'est alors la complexité des modèles retenus pour décrire le comportement des diérentes phases qui peut constituer l'une des limites de l'approche morphologique. En eet, une loi de comportement locale très aboutie in uera directement sur la di culté de résolution de l'équation (2.5). Nous verrons cependant dans la section suivante que le problème peut être résolu dans le cadre très ardu de la viscohyperélasticité.
On peut également souligner le fait que la résolution de l'équation (2.5) aboutit à la connaissance du gradient de transformation dans le composite (la détermination de f0
implique la connaissance du gradient de transformation dans n'importe quelle couche du composite via (2.1)). On a ainsi accès à des informations concernant les déformations mais aussi les rotations locales. D'autre part, il est possible de remonter à n'importe quelle me-sure de déformation ou de contrainte à partir du gradient de transformation (voir annexe
A).
En n, on attire l'attention du lecteur sur le fait que le chargement est piloté par le gradient de transformation macroscopique F (donnée du problème) et que les conditions aux limites en contraintes homogènes ne sont utilisées que d'un point de vue théorique pour la mise en place du sytème (2.4) depuis l'écriture du principe de macrohomogénéité. Ce dernier est formulé pour des champs de contraintes et de déformations respectivement statiquement et cinématiquement admissibles (voir paragraphe 1.3.5). Dans le cas considéré, il est clair que le champ de contraintes estimé à l'issue de la résolution de (2.5) n'est pas statique-ment admissible. En eet, l'homogénéité par morceaux du gradient de transformation local engendre l'homogénéité par morceaux du champ de contraintes local dès lors que les pro-priétés mécaniques des grains et de la matrice sont homogènes. Nous n'avons en particulier pas réciprocité des contraintes à l'interface grain/couche α. Ensuite, le champ de déforma-tion n'est pas non plus cinématiquement admissible. En eet, si la continuité du champ de déplacement est assurée aux interfaces grains/couches, elle ne l'est pas d'une couche à une autre puisque les eets dans les zones médianes ne sont pas décrits. En revanche, f0 est calculé de manière à satisfaire le système (2.4), si bien que le champ de contrainte obtenu véri e néanmoins la relation fondamentale < s : f >V0= S : F avec S =< s >V0.