Description de l'hétérogénéité intraphase, accès aux champs locaux 36

L'hétérogénéité des champs locaux dans les milieux multiphasés est divisée en deux catégories. La première, qualiée d'hétérogénéité interphase, traduit les uctuations des champs d'une phase à une autre. La seconde, appelée hétérogénéité intraphase, désigne les variations des champs au sein même d'une phase. Dans les approches en champs moyens, on utilise des grandeurs moyennes dénies sur chaque phase, si bien que seule la première caté-gorie d'hétérogénéité est transcrite. Cependant, pour les milieux hétérogènes à constituants linéaires, cela ne pose pas de problème puisqu'il n'est pas nécessaire de décrire l'hétérogé-néité intraphase de manière rigoureuse : la connaissance des quantités moyennes par phase sut à élaborer des bornes et des estimations satisfaisantes du comportement homogénéisé [MIC01]. Les techniques d'homogénéisation non linéaire se ramenant le plus souvent à la résolution d'un problème linéarisé particulier, il n'est pas étonnant que les premières tenta-tives réalisées dans le cadre non linéaire aient elles aussi négligé les uctuations intraphases des champs locaux. Les estimations des propriétés macroscopiques se sont alors souvent révélées trop raides, allant jusqu'à violer une borne supérieure (cf. les travaux de Gilormini [GIL96] ou de Bornert [BPC98]). Les quantités moyennes par phase ne susant plus dans le cadre non linéaire, les scientiques ont pris conscience de la nécessité d'introduire dans les modèles des indicateurs permettant de prendre en compte au moins partiellement les uctuations intraphases des champs locaux (voir par exemple [BS01, BM05, MS04b]).

Dans une première mesure, l'approche par motifs mentionnée plus haut (paragraphe 1.5.1) répond à cet enjeu. En eet, la dénition de motifs particuliers permet d'aecter à une seule et même phase réelle des déformations diérentes. Par exemple, on peut décrire un matériau à inclusions comme une combinaison de sphères composites constituées d'un grain entouré de plusieurs couches de matrice (voir gure 1.11) auxquelles on aecte des modules sécants diérents [BOR03]. Ceci permet par exemple de traduire le fait que les interactions entre inclusions et matrice s'estompent au fur et à mesure que l'on s'éloigne de l'interface charge/matrice. La notion de phase est ainsi généralisée : une seule et même phase -la matrice- est décrite par une distribution de modules, ce qui permet de dénir dans une seule et même phase réelle des champs non uniformes.

Un autre moyen consiste à utiliser les moments d'ordre supérieur des champs locaux. On a vu récemment beaucoup d'auteurs utiliser le  moment d'ordre 2  , ou  second moment  (les moments d'ordre supérieur étant dicilement accessibles) pour dénir la déformation de référence à laquelle les modules linéarisés sont évalués (voir paragraphe 1.4). Le second moment est obtenu de manière directe à partir du tenseur des modules homogénéisés Chom, des modules Cr et de la concentration cr de la phase r et de la déformation macroscopique

 :

<  ⊗  >_r= ¹ c_r^{ :}

∂Chom

∂C_r ^{: } (1.8) Cette quantité peut être calculée de manière analytique dans les cas simples, et de manière numérique dans les cas plus complexes. Les termes  diagonaux  de ce tenseur (< 2

ij >_r) renseignent sur l'hétérogénéité locale du champ de déformation dans la phase r dans la mesure où :

< ²_ij >_r≥< _ij >²_r (1.9) l'égalité n'ayant lieu que si la déformation est homogène dans la phase r. Le moment d'ordre deux apporte une indication supplémentaire, par rapport à la déformation moyenne, et as-souplit par conséquent les estimations. Par une analyse numérique détaillée des premier et second moments des champs de déformation estimés par les méthodes sécantes classiques, Moulinec et Suquet ont pu établir le lien entre sous-estimation des moments d'ordre 2 et rigidité excessive des modules macroscopiques [MS03b] (voir aussi [PC02a, RBAZ05]). Enn, la NTFA (voir [MS03a, MS04a]), extension récente de la TFA proposée par [DVO92], permet elle aussi de prendre en compte des hétérogénéités intraphases dans les estimations des propriétés macroscopiques de composites à constituants non linéaires. Cette approche s'appuie sur une décomposition du champ local de déformation anélastique en une somme nie de champs de transformation.

Il peut parfois arriver que l'assouplissement résultant de la prise en compte de uctua-tions intraphase soit trop important. Rekik et al. considèrent un composite particulaire périodique à constituants non linéaires et observent que les modules macroscopiques esti-més par la procédure du second ordre modiée sont plus souples que ceux donnés par la solution de référence, calculée par la méthode des éléments nis [RABZ07]. Se pose alors la question de la validité de cette  amélioration ... D'autre part, les diérentes techniques d'homogénéisation conduisent parfois à des résultats proches, si bien qu'on ne peut pas clairement privilégier une procédure de linéarisation par rapport à une autre pour résoudre un problème donné. De même, parmi les multiples manières de dénir la déformation de référence, laquelle retenir ? Des éléments de réponses à ces questions peuvent être apportés au travers de l'analyse des réponses locales. Outre des éclairages sur les propriétés homo-généisées et notamment sur l'origine microscopique des performances ou des limites des diérents modèles, l'analyse des réponses locales prévoit d'être un outil essentiel pour la compréhension des phénomènes non linéaires locaux tels que la plasticité ou l'endomma-gement [PCS98, IMPCS06].

Fig. 1.11  Inclusions multicouches [BOR03]

1.5.3 Cas particulier des grandes déformations

Outre la prise en compte d'une information microstructurale riche sur la morphologie initiale du matériau étudié, certains travaux soulignent l'importance de suivre l'évolution de la microstructure au cours du chargement, notamment dans le cas particulier où de grandes déformations sont localement attendues [KPC98, LMM04, LPPC06, PCT00]. En eet, la modication de la taille, de la forme ou encore de l'orientation des charges peut fortement inuencer la réponse macroscopique et parfois même conduire à des phénomènes d'instabilité, déjà mentionnés dans [ZR93]. Dans [KPC98], Kailasam et al. montrent que la réponse d'un composite formé de charges réparties de manière isotrope dans une matrice viscoélastique linéaire est anisotrope et viscoélastique non linéaire. Cette anisotropie et cette non linéarité macroscopiques sont les conséquences directes des changements mor-phologiques dus aux grandes déformations. D'autre part, Lahellec et al. se penchent sur l'évolution de la microstructure pour analyser les phénomènes qu'ils observent sur la ré-ponse macroscopique estimée de composites hyperélastiques périodiques à bres longues [LMM04]. Ainsi, les deux enjeux précédemment cités (paragraphes 1.5.1 et 1.5.2) sont par-ticulièrement manifestes et imbriqués dans le contexte des transformations nies.

Comme nous l'avons déjà mentionné, les diérents modèles micromécaniques ne peuvent prendre en compte qu'une information morphologique partielle et sont bien souvent adap-tés à un type particulier de microstructure (répartition isotrope des constituants pour les bornes de Hashin-Shtrikman (H-S), répartition anisotrope dans l'extension de H-S proposée par Ponte-Castañeda et Willis [PCW95]). Ils ne peuvent par conséquent pas rendre compte des changements microstructuraux apparaissant au cours d'un chargement. Pour pallier à ce problème, Kailasam et al. [KPC98] introduisent des variables internes pour  actualiser 

la microstructure au cours du chargement. L'utilisation des résultats de l'homogénéisation pour alimenter les lois d'évolution des variables internes permet de suivre l'évolution de la microstructure. Dans le cas de comportements hyperélastiques, comme dans les travaux [LMM04, LPPC06], la description du mouvement est naturellement faite dans un cadre Lagrangien ; il n'est pas nécessaire d'ajouter des équations supplémentaires pour suivre les évolutions microstructurales puisqu'elles sont implicitement contenues lors du calcul du comportement homogénéisé. En eet, comme ces auteurs le suggèrent, on peut remonter aux changements microstructuraux par calculs annexes -puisqu'on dispose de tous les in-grédients pour connaître les mouvements de chaque point du composite à un instant donné) et faire des liens avec la réponse macroscopique pour mieux appréhender les phénomènes observés.