Dans ce chapitre, nous avons tout d'abord rappelé les principales spéci cités et étapes de l'approche morphologique.
Nous avons ensuite discuté des avantages et inconvénients théoriques qu'elle semble présen-ter non seulement vis-à-vis de l'application prévue, mais aussi vis-à-vis des grands enjeux de l'homogénéisation des milieux non linéaires.
Dans une troisième partie, nous avons illustré la capacité de l'approche morphologique à traiter le problème viscohyperélastique. Pour ce faire, nous avons considéré un volume aléatoire généré numériquement, à matrice viscohyperélastique et à grains polyédriques hy-perélastiques. Nous avons soumis ce volume à des glissements simples à diérentes vitesses et calculé la réponse homogénéisée estimée par l'AM. La présentation de l'algorithme dé-veloppé à cet eet a permis d'insister sur le caractère direct de la résolution réalisée dans l'espace-temps réel. Les résultats obtenus semblent qualitativement corrects. Nous avons donc répondu au premier objectif que nous nous étions xé : prouver que l'AM est un outil
théoriquement capable de traiter le problème de l'homogénéisation de milieux à consti-tuants viscohyperélastiques.
Il est maintenant nécessaire d'évaluer quantitativement les performances et points d'amélio-ration de cette approche. Nous allons dans le chapitre qui suit faire un pas dans ce sens en comparant, sur une microstructure périodique simple pour limiter les temps de calcul et pour faciliter les analyses locales, les estimations fournies par l'approche morphologique à des résultats de référence calculés par éléments nis.
Chapitre 3
Evaluation de l'approche morphologique
sur un composite modèle à
Sommaire
3.1 Introduction . . . 73 3.2 Matériau de travail . . . 74 3.2.1 Géométrie . . . 74 3.2.2 Description du matériau dans le modèle EF . . . 75 3.2.3 Description du matériau dans l'approche morphologique . . . 76 3.3 Evaluation en hyperélasticité . . . 77 3.3.1 Description de l'hyperélasticité des phases . . . 77 3.3.2 Chargements . . . 78 3.3.3 Principe d'analyse des résultats . . . 80 3.3.4 Simulation d'une compression ÷dométrique . . . 81 3.3.4.1 Confrontation des résultats macroscopiques . . . 81 3.3.4.2 Confrontation des résultats locaux . . . 82 3.3.5 Simulation d'un glissement simple . . . 87 3.3.5.1 Confrontation des résultats macroscopiques . . . 87 3.3.5.2 Confrontation des résultats locaux . . . 88 3.4 Evaluation en viscohyperélasticité . . . 96 3.4.1 Objectif . . . 96 3.4.2 Comportements des phases . . . 97 3.4.3 Simulations de compressions ÷dométriques . . . 99 3.4.3.1 Chargement . . . 99 3.4.3.2 Résolution dans l'AM . . . 99 3.4.3.3 Confrontation des résultats EF et AM . . . 99 3.5 Conclusion . . . 104
3.1 Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons présenté l'approche morphologique et discuté des points forts et limites théoriques qu'elle semble présenter. L'objectif de ce chapitre est de procéder à une première évaluation quantitative des performances de cette approche, en hyperélasticité puis en viscohyperélasticité, sur un composite modèle à géométrie simple.
L'un des moyens de mener à bien cette évaluation serait de comparer à des courbes expérimentales les résultats donnés par l'AM. Cependant, en procédant de la sorte nous serions confrontés aux problèmes suivants :
Les diérentes sources d'erreur à l'origine des écarts entre réponses estimées par l'AM et courbes obtenues expérimentalement ne seraient pas dissociées. Ainsi, on ne pourrait pas mesurer les in uences respectives de la schématisation géométrique (pas encore optimisée), de la schématisation cinématique, de la description et de l'identi -cation des comportements mécaniques des phases (sans parler d'un endommagement éventuel, non pris en compte dans ces travaux).
La détermination de la taille du VER du matériau non linéaire considéré, étape nécessairement lourde comme nous le verrons au chapitre 5, serait prématurée vis-à-vis de l'objectif (première évaluation) que nous nous xons dans ce chapitre.
En n, l'un des atouts théoriques de l'AM est sa capacité à fournir des estimations des champs locaux. Or, expérimentalement, il est très di cile, voire impossible au-jourd'hui, d'eectuer des mesures locales en particulier in situ [IGM+07] . Une com-paraison à l'expérience ne permettrait donc pas pour l'instant d'évaluer la qualité des estimations locales données par l'AM.
Dans le but d'appréhender une à une les diérentes sources d'erreur possibles, nous commençons par comparer les estimations données par l'AM à des résultats de référence, calculés ici par éléments nis (EF). De nombreux auteurs se sont trouvés face à des pro-blèmes similaires et ont choisi de procéder de la sorte : Michel et al. [MMS99], Inglis et al. [IGM+07], Rekik et al. [RABZ07] qui utilisent les EF, ou encore Moulinec et Suquet [MS04b], Idiart et al. [IMPCS06], Lahellec et Suquet [LS07] qui prennent pour référence la solution calculée par la méthode des transformées de Fourier rapides ([MS98, MS03b]). Cette dernière technique est plus performante que les EF (temps de calculs et lourdeur moindres) puisqu'elle ne nécessite pas de maillage mais n'a pas été développée dans le contexte des grandes déformations.
La comparaison à des résultats numériques est donc aujourd'hui un moyen classique et re-connu intervenant dans l'évaluation d'un modèle d'homogénéisation, bien qu'elle ne consti-tue pas un outil su sant pour valider une approche. En utilisant dans les deux méthodes
(schéma d'homogénéisation à évaluer et technique de calcul de la solution de référence) les mêmes lois de comportement, on annihile une source d'erreur : celle liée à la description du comportement mécanique des phases. Dans notre cas, il est également possible de s'af-franchir des eets de la schématisation géométrique en choisissant comme socle de travail une microstructure satisfaisant d'emblée les critères requis par l'AM (grains polyédriques, parallèlisme des faces en regard). Ainsi, seule la description cinématique est évaluée.
La première partie de ce chapitre s'attache à présenter le matériau retenu et ses représen-tations dans les deux modélisations (EF et AM). La seconde partie concerne l'évaluation des performances de l'AM dans un cadre hyperélastique. Nous commençons par présenter les lois de comportement des deux phases (grain, matrice). Nous détaillons ensuite la mise en ÷uvre des deux approches (notamment en ce qui concerne l'application du chargement), ainsi que la démarche adoptée pour analyser les résultats. Les estimations globales et locales obtenues par les deux approches sont confrontées pour deux types de sollicitation : une compression ÷dométrique et un glissement simple (voir aussi [TNMDF07]). En n, la dernière partie présente une évaluation de l'AM dans un cadre viscohyperélastique. Après avoir présenté la loi de comportement aectée à la matrice du matériau modèle , nous comparons aux deux échelles les estimations de l'AM aux résultats obtenus par calcul EF.