5.16, graphique de gauche), sur le mois d’avril et `a la surface, du phytoplancton pour l’ensemble libre (en bleu) pr´esentent une tr`es faible dispersion pendant les 10 premiers jours. De plus, il y a un biais important entre l’ensemble et les observa-tions `a cette p´eriode. Apr`es plusieurs tests (non montr´es ici), il est apparu qu’il n’est pas possible d’augmenter cette dispersion `a partir des perturbations de l’intensit´e du vent. Hormis `a cette p´eriode l’ensemble est largement dispers´e, particuli´erement entre le jour 10 et le jour 25.
Ces r´esultats sont confirm´es par la comparaison entre les erreurs d’observation et l’intervalle de plus ou moins deux fois l’´ecart-type de l’ensemble (Figure 5.16, graphique de droite).
Obtenir une bonne correction, sur les 10 premiers jours, par assimilation de la couleur de l’eau semble difficile. En revanche, l’assimilation devrait permettre de fortement am´eliorer la dispersion de l’ensemble sur le reste du mois d’avril.
Figure 5.16 – Graphique de gauche : S´eries temporelles, sur le mois d’avril et `a la surface, du phytoplancton pour l’ensemble libre (en bleu) et pour la v´erit´e (en rouge) ainsi que les observations de couleur de l’eau (croix vertes). Graphique de droite : Erreurs d’observation couleur de l’eau (en bleu) et intervalle [2σens,−2σens] (en noir) avec σensl’´ecart-type de l’ensemble, sur la phytoplancton de surface en fonction du temps.
5.4 Etude qualitative de la propagation des incertitudes´
La section pr´ec´edante nous a permis de constater le comportement de l’ensemble sans assimilation en le comparant de mani`ere statistique avec la v´erit´e et avec les observations. Nous cherchons `a pr´esent `a comprendre, par des consid´erationsphy-siques, l’origine de ce comportement en ´etudiant la propagation des incertitudes et leurs impacts sur l’´evolution de l’ensemble.
5.4.1 Evolution des incertitudes `´ a travers la dynamique
Les premi`eres questions, qu’il est l´egitime de poser en abordant un probl`eme d’as-similation de donn´ees, concernent la nature du mod`ele en lui-mˆeme. En effet les syst`emes consid´er´es en g´eoscience font tous intervenir de nombreuses non-lin´earit´es. En particulier, les ´equations d’un mod`ele de biog´eochimie font intervenir de nom-breuses et fortes non-lin´earit´es telles que des ph´enom`enes de seuil.
Ces non-lin´earit´es de degr´es plus ou moins importants, vont notamment jouer un rˆole sur la propagation des incertitudes dans le mod`ele. Dans ce cas de figure, l’hypoth`ese de Gaussianit´e qui sera ´eventuellement faite par l’assimilation de donn´ees a de forts risques d’ˆetre erron´ee et donc p´enalisante.
Dans cette section, nous ´etudions la propagation des incertitudes de mani`ere qua-litative.Nous consid´erons particuli`erement les effets non-lin´eaires du syst`eme et la non-Gaussianit´e des incertitudes qui s’y propagent.
`
A l’aide d’une compr´ehension physique des ph´enom`enes en jeu, nous pouvons anticiper la propagation des incertitudes depuis le for¸cage du vent jusqu’aux quantit´es qui nous int´eressent (e.g. les variables de contrˆole). Nous pouvons ´egalement ´evaluer qualitativement les degr´es de non-lin´earit´e qui accompagnent cette propagation.
Figure 5.17 – Fonction conceptuelle de transfert des incertitudes `a travers les principales relations entre variables dans le mod`ele coupl´e dynamique-biog´eochimie marine.
La figure 5.17 sch´ematise les principaux trajets de propagation des incertitudes dans le mod`ele ModECOGeL. Le for¸cage de l’intensit´e du vent (Wind forcings), qui est dans nos probl`emes d’estimation la source des perturbations, va impacter la dynamique du mod`ele. Cette dynamique agira `a son tour sur la biog´eochimie du syst`eme, avec principalement les d´eplacements de la profondeur de couche de m´elange (MLD). Les deux paragraphes qui suivent rentrent dans le d´etail de ce d´ecoupage conceptuel en deux ´etapes de la propagation des incertitudes.
Comme on l’a vu lors de la validation et l’´etude de la v´erit´e au chapitre pr´ec´edent (Section 5.1.3), de fortes intensit´es de vent provoquent des incursions verticales
5.4. ´Etude qualitative de la propagation des incertitudes 139
Figure 5.18 – S´eries temporelles sur le mois d’avril, `a 60 m`etres, de l’´energie cin´etique turbulente TKE (graphique de gauche) et de la temp´erature T (graphique de droite) pour les 50 membres de l’ensemble libre en bleu et la v´erit´e en rouge.
d’´energie cin´etique turbulente (TKE). Les perturbations relatives appliqu´ees `a l’in-tensit´e de vent auront donc une grande variabilit´e lors de ces ´episodes de fortes intensit´es. L’effet principal de ce ph´enom`ene est la variation d’intensit´e de ces in-cursions de TKE d’un membre de l’ensemble `a l’autre. En regardant l’´equation des flux d’´energie cin´etique de surface, on constate que les variations d’´energie cin´etique turbulente d´ependent non-lin´eairement de l’intensit´e du vent par un degr´e 3 :
˜ ν ∂k ∂z Surf ace = 3C010−3||Vwind||3, (5.13) avec k l’´energie cin´etique turbulente, ˜ν la viscosit´e turbulente verticale et C0 = 0.63× 10−6.
Dans un milieu stratifi´e ou en cours de restratification, ces fortes variations de TKE (d’un membre `a l’autre) provoquent des r´eponses non-lin´eaires en temp´erature. C’est ce qui se produit notamment au 10`eme jour du mois d’avril avec une incursion de TKE jusqu’`a 80m et un m´elange en temp´erature `a cette p´eriode.
La Figure 5.18 illustre ce dernier ph´enom`ene, en pr´esentant une s´erie temporelle sur le mois d’avril `a 60m de profondeur de la TKE (graphique de gauche) et de la temp´erature (graphique de droite) pour la v´erit´e (en rouge) et l’ensemble libre de 50 membres (en bleu). Les incursions de TKE au 10`eme jour `a 60m sont tr`es va-riables selon les membres de l’ensemble (voires inexistantes pour certains membres). La r´eponse en temp´erature varie en cons´equence. `A noter que suite `a cet ´ev´enement, la distribution de l’ensemble en temp´erature est modifi´ee et n’est plus Gaussienne `a partir du 10`eme jour. Il faudra attendre une restratification progressive par la sur-face pour que la distribution se renormalise. Ce raisonnement sera confirm´e dans la
sous partie suivante en diagnostiquant la normalit´e de l’ensemble sur la variable de temp´erature (Fig. 6.2).
5.4.2 Les processus dominant la concentration de phytoplancton
La biog´eochimie d’un syst`eme coupl´e d´epend de la dynamique oc´eanique par diff´erents ph´enom`enes. Mˆeme dans une repr´esentation 1D, ces d´ependances sont com-plexes et font intervenir de fortes non-lin´earit´es (L´evy et al., 1998; Magri et al., 2005; Perruche et al., 2010).
En particulier, les variations de la concentration du phytoplancton (Qphyto) sont r´egies par des ´equations de la forme :
∂tQphyto = C− E, (5.14)
avec C la croissance et E l’extinction du phytoplancton. La croissance C d´epend de la quantit´e de nutriments (NO3 et NH4) et de la quantit´e de lumi`ere disponibles. L’extinction E d´epend de la mortalit´e et de l’ingestion par des pr´edateurs (e.g. le zooplancton).
Le phytoplancton est concentr´e dans la couche de m´elange. C’est pourquoi il est important de regarder les conditions impactant la couche de m´elange qui influent sur le d´eveloppement du phytoplancton. La quantit´e de nutriment et la lumi`ere p´en´etrant dans la couche de m´elange modifieront donc fortement le terme de croissance C.
Lorsque la couche de m´elange (MLD) est peu profonde, le phytoplancton est bien ´eclair´e, il y a une accel´eration de la croissance. En revanche, une MLD profonde ne permettra pas l’´eclairement du phytoplancton au bas de la couche de m´elange mais permettra l’approvisionnement en nutriment par les couches inf´erieures. Ce qui peut se traduire ´egalement par une accel´eration de la croissance. Ces deux ph´enom`enes aux causes antagonistes auront `a tour de rˆole un impact dominant sur la croissance du phytoplancton. Cette alternance de ph´enom`enes dominants constitue une relation `a seuils tr`es non-lin´eaire entre la profondeur de la couche de m´elange (MLD) et la concentration de phytoplancton. Cette relation d´egradera `a son tour les densit´es de probabilit´e en densit´es non-Gaussiennes.
5.4.3 Du vent au phytoplancton
La complexit´e des relations que l’on vient de d´ecrire, allant du for¸cage par l’in-tensit´e du vent au phytoplancton, peut s’observer `a travers les diff´erentes ´evolutions des membres d’ensemble.
Par exemple, la Figure 5.19 repr´esente les diagrammes de dispersion (nuages de points ou scatterplots) de l’ensemble entre la MLD et le phytoplancton total de la colonne d’eau, au jour 0, au jour 10 et au jour 15. Deux membres de l’ensemble sont mis en ´evidence, le membre 28 (rond bleu) et le membre 44 (rond rouge).
5.4. ´Etude qualitative de la propagation des incertitudes 141
Figure 5.19 – Diagrammes de dispersion entre la MLD et le phytoplancton (somm´e sur la colonne d’eau) au jour 0 (diagramme de gauche), au jour 10 (diagramme du centre) et au jour 15 (diagramme de droite) des 50 membres de l’ensemble (ronds verts) et de la v´erit´e (triangle rouge). Deux membres sont mis en ´evidence : le membre 28 (rond bleu) et le membre 44 (rond rouge).
Figure 5.20 – S´eries temporelles de l’intensit´e du vent (haute fr´equence simul´ee) sur la premi`ere moiti´e du mois d’avril pour les membres d’ensemble 28 (bleu) et 44 (rouge).
En s’int´eressant `a l’´evolution de ces deux membres au cours du temps, la Figure 5.19 nous permet de constater les non-lin´earit´es r´egissant ce syst`eme et provoquant des bifurcations de trajectoire.
Au jour 0, les deux membres pr´esentent une faible MLD, avec une concentration de phytoplancton l´eg`erement plus forte du membre 44 (rond rouge). Apr`es l’´episode
fort de vent du 10`eme jour, les MLD des deux membres sont approfondies. Le membre 44 (avec une plus forte concentration de phytoplancton au jour 0) re¸coit, par for¸cage, une plus grande intensit´e de vent autour du jour 10 (que l’on peut observer sur les s´eries temporelles d’intensit´e du vent pr´esent´ees en Fig. 5.20), ce qui approfondit sa MLD de 5m de plus que le membre 28. Cette diff´erence de 5m conduit cinq jours plus tard, au jour 15, `a la pr´esence de deux membres d’ensemble avec la mˆeme MLD mais avec une concentration de phytoplancton 1.5 fois sup´erieure pour le membre 28 `a celle du membre 44.