Etude de la fréquence de résonance

Dans le chapitre précédent il a été démontré que les anneaux sont assimilables à des circuits

résonants de type LC série. Ce circuit résonant est caractérisé par sa fréquence de résonance.

La fréquence de résonance f

de l’anneau dépend du périmètre déployé L qui lui-même est fixé

par le motif utilisé, le nombre de répétitions du motif autour de l’anneau etc.

Pour caractériser la fréquence de résonance il est possible soit d’utiliser la méthode

développée dans le chapitre II soit de la calculer à l’aide de la Surface Equivalent RADAR

(SER). Le détail de la caractérisation à l’aide de la SER est donné en Annexe 2. Le calcul des

fréquences de résonance à l’aide du circuit électrique équivalent n’est pour le moment pas

généralisé à tous les motifs présentés en partie II.2. Pour cette raison leur caractérisation est

faite dans cette partie à l’aide de la SER.

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Pour illustrer la démarche de sélection des motifs, une étude pour des anneaux avec un rayon

extérieur de 4cm et un rayon intérieur de 3.9 cm est réalisée. Les résultats de la fréquence de

résonance en fonction du périmètre déployé normalisé par λ sont présentés dans la Figure III-10,

où λ est la longueur d'onde associée à la fréquence de résonance d’un anneau sans motif. Dans

cette figure sont présentés les trois premiers ordres des trois fractals introduits en partie II.2.1,

le Von-Koch modifié à l’ordre 1 et le créneau (motif de référence dans cette étude). Pour aider

à l’analyse de ce graphique, les valeurs minimales et maximales des longueurs déployées et des

fréquences de résonance de tous les motifs sont regroupées dans Tableau III-1, où (L

; f

)

est le point de la courbe associé à 10 répétitions du motif et (L

; f

) est le point de la courbe

associé à 100 répétitions du motif. A noter qu’il est possible de répéter plus de 100 fois un motif

autour de l’anneau. Plus le motif est simple (comme celui des fractals du premier ordre par

exemple), plus il est possible de le répéter. Cette limite de 100 répétitions est un compromis qui

permet d’obtenir une bonne dynamique de la fréquence de résonance et de pouvoir simuler le

plus d’anneaux possible dans un temps de simulation raisonnable. La limite de 10 répétitions

est choisie par contrainte géométrique. En effet en dessous de 10 répétitions l’anneau est plus

un polygone qu’un anneau.

Figure III-10: Abaque de la fréquence de résonance en fonction de la longueur déployée normalisée

La Figure III-10 permet de constater plusieurs choses :

1) Toutes les courbes ont une décroissance de type fonction inverse (x 1/x

) excepté la

courbe du motif d’IP d’ordre 3 qui est croissante. Cette inversion de tendance peut

s’expliquer par une prépondérance des effets capacitifs au sein du motif par rapport aux

effets inductifs.

2) L’ensemble des courbes décroit autour d’une courbe moyenne. Cette courbe moyenne

est tracée en Figure III-11. Elle donne l’évolution moyenne de la réduction de la

fréquence de résonance en fonction du périmètre déployé normalisée par rapport à λ.

3) La valeur de la fréquence de résonance est relativement insensible à la forme du motif.

En effet à un périmètre déployé donné l’écart important d’un motif à l’autre n’est pas

significatif. Par exemple pour une longueur de 1.5λ la fréquence de résonance est

d’environ 1.1GHz pour différent motif (VKM, Hilbert ordre 1 & 2, créneau et Peano

Ordre 1). Seuls les anneaux avec motif de Von-Koch ont des fréquences de résonance

plus élevées que les autres motifs étudiés.

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Motifs Ordre L

/λ f

(GHz) L

/ λ f

(GHz)

Créneau - 1 1.234 1.55 1.1

Von-Koch

1 0.97 1.27 1.20 1.20

2 1.28 1.195 1.96 1.068

3 1.73 1.128 2.8 0.958

IH

1 1.05 1.231 1.58 1.082

2 1.31 1.154 2.09 0.994

3 1.67 1.054 2.8 0.905

IP

1 1.07 1.222 1.74 1.085

2 2.12 0.995 3.18 0.881

3 4.23 0.809 4.9 0.888

VKM 1 1.31 1.141 1.98 1.023

Tableau III-1 : Tableau regroupant les valeurs minimales et maximales des longueurs déployées normalisées et des fréquences de résonance des différents motifs étudiés

Figure III-11: Allure générale de l'évolution de la fréquence de résonance en fonction de la longueur déployée normalisée par λ où λ est la longueur d'onde associée à la fréquence basse de fonctionnement

d'une antenne spirale

Ces observations permettent de :

 Valider que la fréquence de résonance est bien dépendante du périmètre déployé des

anneaux.

 Montrer qu’il existe une fréquence de résonance minimale atteignable. En effet pour

un périmètre déployé égal 4λ, un minimum pour la fréquence de résonance est atteint

(cf. Figure III-11). Ce minimum théorique est de l’ordre de 50% mais il n’est pas

atteignable par un des anneaux présentés dans notre étude.

 Confirmer qu’en fonction du motif élémentaire répété autour de l’anneau il est possible

d’atteindre plus ou moins rapidement des fréquences de résonance basses. Le

phénomène se comprend bien avec l’augmentation de l’ordre fractal. En effet par

construction des fractals, le motif élémentaire d’un fractal à l’ordre N+1 possède une

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plus grande longueur déployée que le motif à l’ordre N. Ce qui explique pourquoi dans

le Tableau III-1 pour un même nombre de répétitions autour de l’anneau, les fractals

d’ordre N ont un périmètre déployé inférieur et une fréquence de résonance supérieure

que les fractals à l’ordre N+1. En fonction de la géométrie fractale utilisée, le rapport

des fréquences et des périmètres diffère d’un ordre à l’autre.

Cela permet d’expliquer pourquoi le motif de Von-Koch Modifié atteint des fréquences de

résonance plus basses que les motifs à l’ordre 1 et le motif crénelé. En effet c’est le seul motif

du premier ordre auquel de la longueur électrique est ajoutée à l’aide de la modulation via une

fonction sinusoïdale. En termes de longueur déployée et de fréquence de résonance atteintes il

est très proche du motif d’Hilbert d’ordre 2. La « continuité » de la fréquence en fonction du

périmètre est assurée de 0.88GHz à 1.27 GHz. C’est-à-dire que sur cette bande il est possible

d’associer à chaque fréquence de résonance un anneau à motif.