Couplage du circuit électrique équivalent avec la spirale

A l’aide du code développé, l’objectif du circuit est de faire une première approximation du

coefficient de réflexion de l’antenne spirale d’Archimède couplée à des anneaux empilés

résonants. Pour cela, nous devons modéliser l’impédance de la spirale et extraire le circuit

électrique équivalent du couplage entre notre circuit modélisant les anneaux et le modèle de la

spirale.

IV.1.Modélisation de la spirale

En 2007, Ming Lee et al. [II-4] sont les premiers à proposer une modélisation de

l’impédance de la spirale d’Archimède à l’aide de la théorie des lignes de transmission. Ils

découpent la modélisation de la spirale en deux parties : le comportement en rayonnement et le

comportement en propagation. Pour le comportement en rayonnement, ils modélisent la spirale

comme une suite continue d’antennes boucles de tailles différentes. La résistance en

rayonnement des antennes boucles est bien connue. Pour le comportement en propagation, il

propose de modéliser l’antenne comme une ligne de transmission en forme de spirale. La

publication montre que ce principe permet un très bon accord entre le modèle utilisé et la

simulation. Toutefois la publication ne donne que les grands principes de la modélisation sans

préciser le calcul détaillé des éléments de la ligne de transmission.

Plus récemment, en 2014, Teng-Kai Chen et al. [II-5] ont détaillé les calculs. Pour simplifier

l’analyse de la structure de l’antenne, ils proposent de « dérouler » les bras de la spirale afin

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d’analyser une ligne de transmission droite. Les symétries de la spirale permettent de placer un

mur magnétique perpendiculaire au plan de la spirale (Figure II-30 (a)). L’utilisation de cette

symétrie permet d’étudier la spirale comme une ligne couplée qui est modélisée comme une

ligne de transmission à 3 ports (Figure II-30 (b)).

a) b)

Figure II-30:a) Vue d’une antenne spirale avec deux murs magnétiques perpendiculaires placés au milieu des brins de la spirale b) Modèle utilisée de la spirale déroulée.

La structure proposée en Figure II-30 b) avec les conditions de mur magnétiques peut être

vue comme la moitié d’un guide d’onde coplanaire excité par un mode pair. En considérant

cela, il est possible d’évaluer la capacité et l’inductance linéique de l’antenne spirale à l’aide

des équations (II-64) et (II-65).

𝐶 = 2𝜀

₀

^𝐾(𝑘

^𝑎

⁾

𝐾(𝑘

_𝑎′

) ^(II-64)

𝐿 = ²

𝜇

₀

𝐾(𝑘

_𝑎^′

)

𝐾(𝑘

_𝑎

) ^(II-65)

où

{

𝑘

𝑎^′

= √1 − 𝑘

_𝑎2

𝑘

_𝑎

= 𝑡𝑎𝑛

2

(^𝜋

4^𝜒)

𝜒 = ^𝑊

𝑊 + 𝑆

(II-66)

avec : K l’intégrale complète de première espèce

W la largeur du métal de la spirale

S la largeur de la fente de la spirale

Les pertes par rayonnement de l’antenne sont celles d’une antenne boucle à courant

uniforme. La résistance de rayonnement d’une antenne boucle est bien connue et son expression

peut être trouvée dans [I-1] :

𝑅

_𝑅𝑎𝑑

= ^𝜋(𝑟

^𝑛

^𝜔𝜇

⁰

⁾

2

2𝑍

₀

^{∫ 𝐽}

¹ 2

(𝑘𝑟

_𝑛

sin(𝜃)) sin(𝜃) 𝑑𝜃

𝜋 0

(II-67)

avec: J

1

la fonction de Bessel de premier espèce et du premier ordre

r

n

le rayon de la spirale où est calculé la résistance de rayonnement

k le nombre d’onde

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La résistance linéique s’obtient en normalisant par le périmètre de la boucle associée à la

résistance calculée en (II-68)

𝑅

_{𝑅𝑎𝑑𝑛}

=^𝑅

^𝑅𝑎𝑑

2𝜋𝑟

_𝑛

^(II-68)

Figure II-31: Modèle de la ligne de transmission de la spirale [II-5]

L’impédance de l’antenne s’obtient en calculant le produit des matrices chaînes de N

segments de longueur dx

n

(équation (II-70)). La longueur des N segments est égale à celle des

bras de la spirale. Chaque segment est caractérisé par son impédance caractéristique Z

0n

et sa

constante de propagation γ

n

.

[^𝑉

^𝑖𝑛

𝐼

_𝑖𝑛

^{] = [}

𝐴

₁

𝐵

₁

𝐶

₁

𝐷

₁

^{] ⋯ [}

𝐴

_𝑛

𝐵

_𝑛

𝐶

_𝑛

𝐷

_𝑛

^{] ⋯ [}

𝐴

_𝑁

𝐵

_𝑁

𝐶

_𝑁

𝐷

_𝑁

^{] [}

1

0^{] (II-69)}

[^𝐴

^𝑛

^𝐵

^𝑛

𝐶

_𝑛

𝐷

_𝑛

^{] = [}

𝑐ℎ(𝛾

_0𝑛

𝑑𝑥

_𝑛

) 𝑍

_0𝑛

𝑠ℎ(𝛾

_0𝑛

𝑑𝑥

_𝑛

)

𝑌

_0𝑛

𝑠ℎ(𝛾

_0𝑛

𝑑𝑥

_𝑛

) 𝑐ℎ(𝛾

_0𝑛

𝑑𝑥

_𝑛

) ^{] (II-70)}

Avec : 𝑍

_0𝑛

= √

^𝑅𝑅𝑎𝑑𝑛+𝑗𝐿𝜔 𝐺+𝑗𝐶𝜔

𝛾

_0𝑛

= √(𝑅

_{𝑅𝑎𝑑𝑛}

+ 𝑗𝐿𝜔)(𝐺 + 𝑗𝐶𝜔) et 𝑑𝑥

_𝑛

= 𝑟

_𝑛

𝑑𝜃

Le calcul de l’impédance est donc obtenu par discrétisation le long de l’anneau. La taille

des cellules élémentaires dx

n

de la ligne de transmission dépend du rayon. La taille de ces

cellules augmente avec le rayon r

n

. Pour que le calcul reste valable il faut s’assurer que la

longueur dx

n

est très petite devant la longueur d’onde de la fréquence minimum calculée,

typiquement dx

n

<< λ/10 (λ longueur d’onde associée à la fréquence minimum que l’on souhaite

calculer). En tenant compte de cela, nous pouvons fixer un critère sur le nombre de segments

pour lequel la discrétisation est suffisante.

𝑁

_{𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡}

≫¹⁰

λ ^{×2𝜋×𝑅}

^𝑚𝑎𝑥

^×𝑁

^{𝑡𝑜𝑢𝑟}

^(II-71)

Avec R

max

le rayon extérieur de la spirale et N

tour

le nombre de tours de la spirale.

Toutefois, les contraintes géométriques sont plus importantes que ce critère. En effet, les

brins de la spirale ne devant pas se chevaucher, il est nécessaire de discrétiser environ 5 fois

plus que ce que le critère propose.

La Figure II-32 présente les parties réelle et imaginaire de l’impédance d’entrée d’une

spirale d’Archimède. La spirale a un rayon de 8cm et 10 tours. La bande de fréquence sur

laquelle est calculée la réponse de l’antenne est [0.8GHz ; 3GHz]. Son impédance est comparée

à celle calculée par FEKO.

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a) b)

Figure II-32: Partie réelle a) et partie imaginaire b) de l'impédance d'entrée de la spirale calculée à l'aide de la théorie des lignes de transmissions (bleu) et de la simulation FEKO (orange)

Le calcul de l’impédance d’entrée de la spirale à l’aide du modèle proposée par [II-5] est

très proche de celle obtenue par la simulation FEKO. Le modèle proposé est donc un bon choix

pour le couplage avec le circuit électrique équivalent utilisé pour les anneaux. L’erreur sur la

partie réelle est d’environ 5% lorsque l’impédance d’entrée de l’antenne est stable en fréquence,

c’est-à-dire pour des fréquences supérieures à 2 GHz.

IV.2. Circuit électrique équivalent du couplage anneaux-spirale

Les travaux visant à élaborer le circuit électrique équivalent d’une antenne spirale chargée

par de multiples anneaux résonnants n’ont pas abouti. Ils devraient permettre de réduire

considérablement les temps de calcul pour simuler et concevoir des antennes spirales chargées

par des anneaux résonnants couplés.

Cependant, comme nous le verrons dans le Chapitre III, une méthodologie originale de

conception basée uniquement sur le circuit électrique équivalent présenté dans la section III du

présent chapitre semble permettre la conception et l’optimisation d’une antenne spirale chargée

par des anneaux résonnants couplés et à motifs.

Dans le document Miniaturisation d'antennes très large bande pour applications spatiales (Page 94-97)