Etude de convergence

Afin de calculer les différents termes de la série il faut calculer les différents produits

scalaires présents dans la série à savoir < 𝑔

|𝑓

>, < 𝑔

|𝑓

> et < 𝑔

|𝑓

>.

Pour rappel nous avons :

𝑔

= 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑒⃗⃗⃗⃗

(II-40)

𝑓𝑘^𝛼

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _{= (𝑓}

𝑘_𝑥^𝛼𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑓𝑘_𝑦^𝛼𝑠𝑖𝑛 (𝜃))𝑒⃗⃗⃗ + (−𝑓𝑟 𝑘_𝑥^𝛼𝑠𝑖𝑛(𝜃) + 𝑓𝑘_𝑦^𝛼𝑐𝑜𝑠 (𝜃)))𝑒⃗⃗⃗⃗ 𝜃

(II-41)

Les produits scalaires à calculer sont donc donnés par :

< 𝑔𝑒|𝑓𝑘^𝛼> = ∫ ∫ (−𝑓𝑘_𝑥^𝛼𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑓𝑘_𝑦^𝛼𝑐𝑜𝑠2 (𝜃))𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝜋 2 ⁄ 𝜃=0 𝑅_𝑚𝑎𝑥 𝑟=𝑅_𝑚𝑖𝑛

(II-42)

Les produits scalaires sont calculés numériquement (sous Matlab). Il est alors possible d’en

déduire la valeur de l’impédance ainsi que la valeur de l’inductance L et de la capacité C

intervenant dans le circuit électrique équivalent.

Pour tester la validité du modèle, nous avons considéré un anneau de rayon extérieur R

=

4cm et de rayon intérieur R

= 3.92cm.

Pour évaluer la convergence numérique des résultats à une fréquence donnée, la fréquence

de résonance de l’anneau est calculée en fonction du nombre de termes dans la série (Figure

II-11).

Figure II-11: Evolution de la fréquence de résonance de l'anneau en fonction du nombre de modes évanescents utilisé dans la série

Sur la Figure II-11, l’évolution de la fréquence de résonance sur les premiers termes de la

série est très rapide. Sa valeur est très éloignée de la valeur simulée (1.27GHz sous FEKO).

Pour un nombre de termes calculés plus conséquent (supérieur à 1000), la valeur de la fréquence

de résonance évolue moins rapidement et converge lentement vers une valeur proche de celle

simulée. Pour 5000 modes, nous avons un écart de 2,3% entre la valeur calculée par le code et

celle simulée.

La capacité C et de l’inductance L sont tracées en fonction de la fréquence sur la Figure

II-12.

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a) b)

Figure II-12: a) Valeur de l'inductance et b) de la capacité équivalentes d'un anneau en fonction de la fréquence

Nous pouvons observer une légère dispersion des éléments L et C ce qui confirme le résultat

attendu, étant donné que les éléments dépendent de la constante de propagation γ, elle-même

fonction de la fréquence. La dispersion est plus importante pour la capacité (4,2% de variation

dans la bande de fréquence considérée) que pour l’inductance (2,5%). Notre circuit électrique

équivalent n’a pas vocation à être ultra large bande. La bande d’étude de la réponse du circuit

se fera autour d’une bande d’intérêt plus étroite. Dans notre exemple, la réponse du résonateur

sera étudiée sur la bande [1GHz ; 1.5GHz]. Si nous calculons la dispersion des éléments sur

cette bande d’étude, nous constatons que nous avons alors une variation de 1,5% pour

l’inductance et de 2,4% pour la capacité. Il est possible de considérer que les composants du

circuit ont des valeurs indépendantes de la fréquence. Leurs valeurs sont fixées à celles

associées à la fréquence au milieu de la bande d’étude.

Les résultats précédents sont calculés à l’aide de la fonction integral2 de Matlab. Toutefois

l’utilisation de cette fonction augmente énormément les temps de calcul. Le gros avantage de

Matlab étant le calcul matriciel, nous avons décidé de discrétiser le calcul des produits scalaires

et donc, du domaine d’intégration. Cette méthode d’intégration entraîne la discrétisation de la

fonction d’essai étendue. La Figure II-13 donne l’exemple de la discrétisation du domaine

d’intégration d’un anneau lisse.

Figure II-13: Illustration de la discrétisation du domaine d'intégration d'un anneau lisse

Dans l’exemple de la Figure II-13, chaque petit carré correspond à un sous domaine

d’intégration. Le produit scalaire est calculé sur chacun de ces N sous domaines ou segments.

Les N produits scalaires sont ensuite sommés afin de déterminer la valeur du produit scalaire

sur la surface totale de l’anneau. Les bornes d’intégration de chaque i-domaine sont définies

par les rayons (R

, R

) et les angles (θ

, θ

) associés aux points M

et M

de la Figure II-13

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Nous avons décidé, dans notre cas, de prendre la valeur moyenne des valeurs associées à M

et

M

. Le calcul total du produit scalaire se fait suivant l’équation (II-43), N étant le nombre de

segments avec lequel est divisé l’anneau.

< 𝑔𝑒|𝑓𝑘^𝛼 > = ∑ (−𝑓𝑘_𝑥^𝛼sin(𝜃) 𝑔𝑒(^{𝑠𝑖+1+ 𝑠𝑖} 2 ^{) + 𝑓𝑘}𝑦 𝛼 𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑔_𝑒(^{𝑠𝑖+1+ 𝑠𝑖} 2 ^{)) (} 𝑅_𝑖+1+ 𝑅_𝑖 2 ^{)(𝑅𝑖+1− 𝑅𝑖)(𝜃𝑖+1+ 𝜃𝑖)} 𝑁 𝑖=1

(II-43)

L’inconvénient de cette discrétisation est qu’il faut désormais s’assurer de la convergence

numérique des produits scalaires par rapport au nombre de segments utilisés. En effet, en Figure

II-14, la convergence de la fréquence de résonance d’un anneau est tracée en fonction du

nombre de modes évanescents utilisés dans le calcul. Toutes les courbes présentées sont celles

d’anneaux sans motif et de 4cm de diamètre où nous comparons la convergence dans le cas où

l’intégration des produits scalaires est réalisée sans discrétisation du domaine. Dans le cas du

domaine discrétisé plusieurs cas sont testés avec des anneaux découpés en 20, 30, 40 et 50

segments. La courbe de convergence de la fréquence de résonance, dans le cas où le domaine

d’intégration n’est pas discrétisé, est notre référence.

Figure II-14: Convergence de la fréquence de résonance en fonction du nombre de modes évanescents utilisé dans le calcul de la série pour l’intégration non discrétisée (bleu turquoise), pour un anneau découpé en 20 segments (bleu) en 30 segments (rouge), en 40 segments (vert) et en 50 segments (violet)

La Figure II-14 nous montre que les cas où le domaine d’intégration est divisé en 20, 30 et

40 segments, divergent. En effet, il existe un mode à partir duquel les courbes associées à ces

cas ne suivent plus l’évolution de la référence. Ce mode est aux alentours de 600 pour le cas à

20 segments, de 1800 pour le cas à 30 segments et de 3300 pour le cas à 40 segments. Ce

phénomène, connu dans les méthodes de discrétisation de domaines, est dû à une

non-convergence numérique des produits scalaires pour les modes au-dessus des modes identifiés

précédemment. La convergence des produits scalaires, et a fortiori des résultats, est donc liée à

la discrétisation du domaine d’intégration. Toutefois il n’est pas nécessaire de fortement

discrétiser l’anneau pour avoir une convergence des résultats. Ceci nous permet d’avoir un gain

en temps de calcul substantiel. En effet il passe de 4h35 pour le calcul de 5000 intégrales à

l’aide la fonction Matlab à environ 2 minutes, soit un gain en temps de plus d’un facteur 100.

Sauf indication contraire, les temps de calcul à l’aide de Matlab sont calculés pour un

ordinateur à deux cœurs cadencés à 1.6GHz avec 4Go de RAM.

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