Partie V. Applications à la caractérisation de la morphologie 3D
11.2 Etude en utilisant uniquement les landmarks anatomiques
Nous avons décidé de refaire une étude en n’utilisant cette fois que les 41 landmarks anato- miques. Cette étude est motivée par deux raisons : se concentrer uniquement sur ce qui a un vrai sens anatomique et réduire les temps de calculs puisque le nombre total de quadruplets de land- marks passe de¡133
4 ¢ = 12 457 445 à ¡ 41
4¢ = 101 270. Comme précédemment, les landmarks sont en position générale et chaque quadruplet de landmarks forme donc une base.
Nous avons extrait des chirotopes de l’étude précédente, les signes des bases n’utilisant que des landmarks anatomiques. Le nombre de bases fixes est cette fois-ci de 74 665 ce qui représente environ 74% du nombre total de bases. Nous n’effectuerons les calculs suivants en n’utilisant que les bases non-fixes, soit 26 605 bases.
Les résultats que nous allons aborder ici ont été présenté en partie dans [23].
Distance entre les chirotopes. La Figure 11.6 représente la moyenne des distances entre les chiro- topes en fonction des classes définies par les experts. La distance la plus faible entre deux chirotopes est d’environ 12% des bases non-fixes et la distance la plus grande est d’environ 45%.Contrairement à notre étude utilisant tous les landmarks, on remarque cette fois-ci que seulement trois classes se distinguent. En effet, la moyenne des distances entre deux chirotopes de la classe BCS est égale à la moyenne des distances entre un chirotope de la classe RUCS et un chirotope de la classe Unaffec- ted.
11.2. ETUDE EN UTILISANT UNIQUEMENT LES LANDMARKS ANATOMIQUES 171
FIGURE11.6 – Moyenne des distances entre les chirotopes en fonction des classes définies par les
experts (en pourcentage du nombre de bases non-fixes).
Dans Figure 11.7, comme avec les distances moyennes, on remarque que la zone correspondant aux distances entre deux chirotopes BCS ne se démarque pas réellement du tableau.
Classification automatique. Comme dans l’étude précédente, nous avons utilisé l’algorithme des
k-means pour obtenir une partition des chirotopes en quatre clusters. Les clusters fournis par l’al-
gorithme correspondent aux classes des experts à une exception près : le crâne étiqueté “600000”. Ce crâne a les deux cotés de la suture fusionnés (il appartient donc à la classe des BCS) mais il est placé dans la partition contenant tous les crânes LUCS.
Ce crâne est très particulier puisque si on lance l’algorithme des k-means avec les classes des experts comme initialisation des clusters, alors les clusters correspondent aux classes des experts sauf pour le crâne “600000”. Ce crâne appartient cette fois-ci au cluster contenant tous les RUCS.
Nous avons également utilisé l’algorithme des k-medoids afin de partitionner l’ensemble des chirotopes en quatre clusters. Cette fois il y a deux changements par rapport aux classes des experts. En plus du crâne “600000” un autre crâne BCS (étiqueté “600016”) appartient lui aussi au cluster contenant tous les crânes RUCS.
Nous avons étudié ces quatre partitionnements afin de déterminer s’ils créent des clusters ho- mogènes et bien différenciés. Les diamètres des clusters pour les différentes classifications sont répertoriés dans la Table 11.3. Quelle que soit la classification, les diamètres des clusters sont com- pris entre 24, 6% et 33, 5%. On remarque que les diamètres des clusters sont identiques dans les différentes classifications, sauf pour le cluster de la classification provenant des k-medoids conte- nant les chirotopes des RUCS et des crânes “600000” et “600016”. On peut en déduire que le crâne “600000” n’intervient pas dans les calculs des distances maximales au sein des clusters. Par contre, dans la classification provenant des k-medoids, le crâne “600016” intervient dans le calcul du dia- mètre. Ce diamètre étant plus grand que dans les autres classifications, la classification provenant des k-medoids semble moins satisfaisante que les autres.
FIGURE11.7 – Matrice des distances entre les chirotopes. L’échelle de couleur utilisée est la même que celle de la Figure 11.6.
La Table 11.4 répertorie pour chaque classification les distances minimales entre deux clusters. Cette fois-ci, les crânes “600000” et “600016” interviennent dans les calculs de ces distances puisque les valeurs sont différentes d’une classification à une autre. Globalement, ces distances minimales sont comprises entre 15, 7% et 22, 9%. En conclusion, les distances minimales entre les clusters sont plus petites que les diamètres des clusters.
Tous ces résultats nous confirment ce que nous avions remarqué avec les Figures 11.6 et 11.7, c’est-à-dire que contrairement à notre étude portant sur tous les landmarks, il n’y a pas de classifi- cation qui apparaît clairement.
Caractérisation des classes. Bien que lorsque l’on réalise une classification automatique des données on n’obtient pas exactement les classes des experts, nous avons cherché s’il est possible de trouver des sous-ensembles de bases permettant de discriminer les classes des experts. Nous avons trouvé 22 bases totalement discriminantes pour les LUCS et 4 bases totalement discriminantes pour les RUCS. Les quatre bases qui sont totalement discriminantes pour les RUCS contiennent toutes
11.2. ETUDE EN UTILISANT UNIQUEMENT LES LANDMARKS ANATOMIQUES 173 Classe Diamètre RUCS 28, 6% BCS 33, 5% LUCS 26, 8% Unaffected 24, 6% Cluster Diamètre RUCS 28, 6% BCS - “600000” 33, 5% LUCS + “600000” 26, 8% Unaffected 24, 6% Cluster Diamètre RUCS + “600000” 28, 6% BCS - “600000” 33, 5% LUCS 26, 8% Unaffected 24, 6% Cluster Diamètre RUCS + {“600000”,“600016”} 29, 4% BCS - {“600000”,“600016”} 33, 5% LUCS 26, 8% Unaffected 24, 6%
TABLE11.3 – Diamètres (i.e. distances maximales entre deux chirotopes d’une même classe) des
clusters pour les différentes classifications. Il s’agit des classes des experts (en haut à gauche), des meilleurs clusters obtenus par l’algorithme des k-means (en haut à droite), des clusters obtenus par l’algorithme des k-means en initialisant avec les classes des experts (en bas à gauche) et des meilleurs clusters obtenus par l’algorithme des k-medoids (en bas à droite). Les diamètres sont donnés en pourcentage du nombre de bases non-fixes.
deux landmarks anatomiques : le bregma (qui est situé vers le sommet du crâne et correspond à l’intersection des sutures coronale et sagittale) et le lambda (situé vers l’arrière du crâne et cor- respondant à l’intersection des sutures sagittales et lambdoïde). Chacune de ces bases contient un troisième point situé sur le plan médian sagittal. Ce troisième landmark est le nasion (situé entre les yeux, juste au-dessus de l’arête du nez) pour deux de ces bases et le point nasal (racine du nez) pour les deux autres bases. Pour chaque base, le quatrième landmarks est un point de la partie droite de la base du crâne (dans la zone entre le palais et l’orbite de l’œil droit). A noter que pour chacune de ces bases, si l’on remplace le quatrième landmark par son symétrique par rapport au plan médian sagittal, on obtient l’une des 22 bases totalement discriminantes pour les RUCS. La Figure 11.8 re- présente une des quatre bases totalement discriminante pour les RUCS et la base symétrique qui est totalement discriminante pour les LUCS.
Pour les BCS, il n’y a pas de bases totalement discriminantes. Cependant, nous avons trouvé deux bases B1et B2telles qu’un chirotope appartient à la classe BCS si et seulement si le signe de ces deux bases est égal à − (en notant χM ce chirotope, on a alorsχM(B1) = χM(B2) = −).
En reprenant la terminologie de la Section 6.1, cela signifie que nous avons caractérisé cette classe comme étant égale à l’ensemble des chirotopesCD1,x,roùD1= {B1, B2}, r = 0 et x est un point de {−1,1}B(oùB est l’ensemble des bases non-fixes pour ces données) tel que x(B1) = x(B2) = −1. On rappelle qu’en représentant les chirotopes par des points deRB, l’ensembleCD1,x,rest l’en-
semble des chirotopes contenus dans une boule deRBcentrée en x et de rayon r pour la distance
dD.
Bien que n’étant pas totalement discriminantes, ces deux bases ont un taux de discriminabilité élevé puisque l’on aτ(B1,C ,C ) = 0,91 et τ(B2,C ,C ) = 0,89 où C est la classe BCS et C est son complémentaire. Ces deux bases ont deux landmarks en commun. Nous allons noter B1= {1234}
RUCS BCS LUCS BCS 17, 7% LUCS 22, 9% 19, 6% Unaffected 15, 7% 18, 2% 18, 1% RUCS BCS - “600000” LUCS + “600000” BCS - “600000” 19, 6% LUCS + “600000” 17, 7% 16, 8% Unaffected 15, 7% 21, 6% 18, 1% RUCS + “600000” BCS - “600000” LUCS BCS - “600000” 15, 9% LUCS 20, 7% 19, 6% Unaffected 15, 7% 21, 6% 18, 1% RUCS + {“600000”,“600016”} BCS - {“600000”,“600016”} LUCS BCS - {“600000”,“600016”} 16, 8% LUCS 19, 6% 21, 6% Unaffected 15, 7% 21, 6% 18, 1%
TABLE11.4 – Distances minimales (en pourcentage du nombre de bases non-fixes) entre les chi- rotopes des clusters pour les différentes classifications. De haut en bas, ces classifications sont : classes des experts, meilleurs clusters obtenus par l’algorithme des k-means, clusters obtenus par l’algorithme des k-means en initialisant avec les classes des experts et meilleurs clusters obtenus par l’algorithme des k-medoids.
FIGURE11.8 – Une des quatre bases totalement discriminantes pour les RUCS (à gauche et au mi-
11.2. ETUDE EN UTILISANT UNIQUEMENT LES LANDMARKS ANATOMIQUES 175
et B2= {1256}. La Figure 11.9 représente la position des bases B1et B2dans un crâne de BCS. La Figure 11.10 détaille la position de ces bases pour la classe BCS et la Figure 11.11 représente les autres possibilités qui correspondent à des crânes n’appartenant pas à la classe BCS.
FIGURE11.9 – Représentation des deux bases (B1en rouge et B2en bleu) nous donnant une carac-
térisation des crânes BCS.
1 2
3 4 5
6
1. anterior clinoid process L 2. asterion L
3. sutura fronto zygomatic R 4. sutura fronto zygomatic L 5. anterior nasal spine 6. auriculare L
FIGURE11.10 – Représentation des bases B1(rouge) et B2 (bleu) telle que l’orientation des deux
bases soit −, ce qui correspond à une caractérisation des crânes BCS.
FIGURE11.11 – Les autres orientations possibles [−,+], [+,−] et [+,+] (de gauche à droite), corres-
pondant à des crânes n’appartenant pas à la classe BCS.
Les caractérisations des classes que nous venons de voir nous donnent une caractérisation in- directe de la classe Unaffected. En effet, un chirotope appartient à la classe Unaffected s’il n’appar- tient à aucune des trois autres classes. Nous avons tout de même cherché s’il existe une caractéri- sation directe de la classe Unaffected qui utiliserait un sous-ensemble de bases. Comme il n’existe pas de bases totalement discriminantes pour la classe Unaffected, nous avons essayé d’obtenir une caractérisation forte de cette classe (voir Section 6.2.2).
Nous avons trouvé un sous-ensembleD2de cinq bases (dont les taux de discriminabilité sont compris entre 0, 85 et 0, 875) et deux points y et y de {−1,1}B nous donnant une caractérisation forte de la classe Unaffected. En notantC la classe Unaffected et C son complémentaire, on a alors C = CD2,y,2 etC = CD2,y,2. Ainsi, un chirotope appartient à la classe Unaffected si et seulement
si il existe au moins trois bases deD2 telles que pour chacune de ces bases, le signe de la base dans le chirotope soit égal au signe de la coordonnée de y pour cette base. De même, un chirotope appartient au complémentaire de la classe Unaffected si et seulement si il existe au moins trois bases deD2telles que pour chacune de ces bases, le signe de la base dans le chirotope soit égal au signe de la coordonnée dey pour cette base.
En conclusion, les changements de positions relatives des landmarks anatomiques permettent de discriminer les crânes non-affectés des crânes présentant une craniosynostose coronale et per- met également de caractériser les types de craniosynostose coronale (LUCS, RUCS, BCS).