2.4 Avantages et limites pour le codage d’ensembles de points
Comme nous l’avons vu précédemment, le codage d’un ensemble de points par un matroïde orienté présente plusieurs avantages. Un premier avantage est que ce codage ne nécessite pas d’étape d’alignement ou de normalisation. On peut donc directement coder un ensemble de points par un matroïde orienté sans avoir à utiliser des méthodes pouvant créer des erreurs de calculs.
Un autre avantage de ce codage est qu’il est combinatoire (en d’autres termes, il utilise un nombre fini de signes contrairement aux codages numériques) ce qui fait qu’on peut stocker sim- plement et de manière exacte ce codage sur un ordinateur. De plus la distance entre matroïde que nous venons de définir se prête bien à une utilisation par ordinateur puisque les valeurs des dis- tances sont des entiers. Dans le calcul et l’utilisation des distances n’y a donc pas de problèmes d’imprécision que l’on rencontre lors de calculs avec des flottants [59].
Par contre ce codage présente également des inconvénients. Un premier inconvénient de ce codage est qu’il peut être sensible à de faibles variations sur la position de points. En effet, si un point est proche d’un ou plusieurs hyperplans formés par les autres points alors un déplacement même très faible peut positionner le point sur l’hyperplan ou le faire basculer de l’autre coté de l’hyperplan. Un tel déplacement aurait pour conséquence respectivement de transformer le signe en 0 ou de l’inverser.
Un autre inconvénient concerne la taille d’un chirotope (c’est-à-dire le nombre de signes). En effet, pour coder un ensemble de n points en dimension d on associe un signe à chaque (d +1)- uplet de points. Le chirotope associé à un tel ensemble de points est alors un vecteur de taille¡ n
d +1¢.
Dans nos applications d sera égal à 3 mais même avec cette valeur pour d , la taille d’un vecteur peut poser problème si n est grand.
Lors de nos premières expérimentations, nous nous sommes aperçu que la majorité des (d +1)- uplets de points ont le même signe pour tous les échantillons. Nous avons choisi d’appeler une
telle base une base fixe. Nous étudierons ces bases fixes dans la Partie II. Dans la Partie III nous base fixe
Partie II. Bases fixes issues d’ordres
sur les coordonnées des points
Dans la seconde partie de cette thèse, nous nous intéressons aux bases fixes. Nous avons vu dans la Section 2.3 qu’une grande partie des bases sont fixes. En fait, nous travaillons avec des points de repère anatomiques ce qui implique des relations entre ces points que nous pouvons for- maliser par des contraintes d’ordre sur leurs coordonnées. Par exemple, si l’on considère les deux oreilles internes (notées OG pour l’oreille interne gauche et OD pour l’oreille interne droite), la pointe du menton (noté M ) et le milieu du front (noté F ) d’un crâne alors OD sera le point le plus à droite et OG sera le point le plus à gauche, et ce, quel que soit le crâne et la variabilité naturelle. En notant x l’axe allant de la droite à la gauche du crâne, ceci se formalise par :
xOD< xM< xOGet xOD< xF< xOG
La question qui se pose alors est : est-ce que ces contraintes d’ordre impliquent que la base (OG OD M F) sera toujours fixe ? Plus généralement, si on prend une des¡n
4¢ bases et si on fixe un ordre entre ses quatre points pour chaque coordonnée, est-ce que cela implique au la base est fixe. On obtient alors trois relations d’ordre et l’on cherche à déterminer s’ils impliquent que la base est fixe ou si cette base peut avoir des signes différents.
Ce problème peut également être posé sous forme de matrices puisque nous avons vu dans la Section 2.1 que le signe d’une base est le signe d’un déterminant d’une matrice formée par les coordonnées des points. Dans ce cas, les ordres sont sur les coefficients de la matrice et chaque ordre est associé à une ligne de la matrice. Le problème est alors de déterminer si pour tous les coefficients respectant ces ordres, le signe du déterminant de la matrice est constant (ce qui est équivalent à ce que le déterminant de la matrice soit non-nul).
Dans cette partie nous nous intéressons à des bases en dimension quelconque pour lesquels, pour chaque coordonnée de l’espace, un ordre est fixé entre les différents sommets. Dans le Cha- pitre 3, nous cherchons à déterminer l’orientation de tels simplexes uniquement à partir des ordres donnés. Nous expliquons qu’il existe des transformations d’ensembles d’ordres tels qu’un en- semble d’ordres e et un ensemble d’ordres e0 obtenu par transformation de e, sont équivalents pour ce problème. En d’autres termes, un ensemble d’ordres e implique qu’une base B est fixe
si et seulement si un ensemble d’ordres e0obtenu par transformation de e implique que B est fixe. Nous proposons un algorithme combinatoire pour les cas en dimension deux et trois, qui permet de savoir si, étant donnée un ensemble d’ordres, le déterminant sera de signe constant quelles que soient les coordonnées des points.
Dans le Chapitre 4, nous nous intéressons au nombre d’ensembles d’ordres totaux à transfor- mations près en fonction de la dimension. Nous expliquons comment fonctionne le programme qui nous a permis de calculer le nombre d’ensemble d’ordres totaux à transformations près lorsque la dimension est inférieure ou égale à six.
CHAPITRE
3
Characterization in dimension 2 and
3 and conjecture in higher
dimensions
Ce chapitre reprend l’Article [21] qui a été soumis à la revue Linear Algebra and its
Applications en mai 2013.
In this chapter, we address the problem of testing when orderings on coordinates of n points in an (n − 1)-dimensional affine space, one ordering for each coordinate, suffice to determine if these points are the vertices of a simplex (i.e. are affinely independent), and the orientation of this sim- plex, independently of the real values of the coordinates. In other words, we want to know when the sign (or the non-nullity) of the determinant of a matrix whose columns correspond to affine points is determined by orderings given on the values on each row. We completely solve the problem in dimensions 2 and 3, providing a direct combinatorial characterization, together with a formal cal- culus method, that can be seen also as a decision algorithm, and which relies on testing the exis- tence of a suitable inductive cofactor expansion of the determinant. We conjecture that the method we use generalizes in higher dimensions. A motivation for this work is to be part of a study on how oriented matroids encode shapes of 3-dimensional objects, with applications in particular to the analysis of anatomical data for physical anthropology and clinical research.
Introduction
We consider n points in an (n − 1)-dimensional real affine space. For each of the n − 1 coordi- nates, an ordering is given, applied on the n values of the points with respect to this coordinate. We address the problem of testing if these points are the vertices of a simplex (i.e. are affinely in- dependent, i.e. do not belong to a same hyperplane), and of determining the orientation of this simplex, assuming only that their coordinates satisfy the given orderings, independently of their real values.
More formally, we consider the following generic matrix (where each ei is the label of a point
and each biis the index of a coordinate) ME ,B= 1 1 . . . 1 xe1,b1 xe2,b1 . . . xen,b1 xe1,b2 xe2,b2 . . . xen,b2 .. . ... ... xe1,bn−1 xe2,bn−1 . . . xen,bn−1
together with orderings given on the values on each row, and we want to know when the sign (or the non-nullity) of its determinant is determined by these orderings only.
Equivalently, we consider the above formal matrix and the affine algebraic variety ofRn×(n−1) whose equation is d et (ME ,B) = 0. Then we look for which (open) regions of Rn×(n−1)delimited by the hyperplanes xei,bk = xej,bk for all 1 ≤ i , j ≤ n and all 1 ≤ k ≤ n −1, have a non-empty intersection with this variety (obviously, regions delimited by these hyperplanes are in canonical bijection with coordinate linear orderings).
In this paper, we completely solve the problem in dimensions 2 (Section 3.3.1) and 3 (Section 3.3.2), providing a direct combinatorial characterization, together with a combinatorial formal cal- culus method, that can be seen also as a decision algorithm, to test if the orientation is determined or not. More precisely, our method relies on testing the existence of a suitable inductive cofactor expansion of the determinant, from which a combinatorial formal calculus is able to determine the sign of the determinant. We conjecture that this formal characterization generalizes in higher dimensions (Section 3.2).
We mention that the problem addressed here is formally close to the classical problem of sign nonsingular matrices (SNS), see [10], but the two problems are quite independent. Let us explain this roughly. The common feature of the two problems relies in the following case. Consider a square n × n matrix N whose entries are signs in {+,−}. To us, such a n × n matrix N can be ob- tained naturally from ME ,Band a linear ordering at each row by subtracting a column - say ei- to
every other column, and replacing entries with their signs w.r.t. the linear orderings ; thus, conver- sely, in our setting, the sign data in such a matrix N is interpreted as an ordering relation at each row of type : (the set of −) < (the set of +), corresponding to : (a set A ⊂ E ) < ei < (a set B ⊂ E ).
The question, in both settings, is : is this matrix N invertible for every possible real values chosen as entries of the matrix, provided these values have same signs as the signs in the matrix ? To this particular question, the answer is always NO, whatever are the signs (unless n ≤ 2). But, in more ge- neral settings, the answer can be YES. The SNS setting and ours consist in two different variants of this question, in which this question is non-trivial, and provides interesting classes of sign patterns. In the SNS setting, the refinment is to consider the same question with signs in {+,−,0} instead of {+,−}. In our setting, the refinment is to consider the same question, with signs in {+,−}, but with the available real values restricted to values satisfying more involved ordering relations at each row (between all elements and not only between two subsets A and B ). There seem to be no obvious connection between those two problems since the zeros in the SNS setting and the linear orderings in our setting yield constraints of quite different natures to the sets of real values to be tested.
Finally, we point out that a motivation for this work is to be part of a general study on how oriented matroids [5] encode shapes of 3-dimensional objects, with applications in particular to the analysis of anatomical data for physical anthropology and clinical research [24][23]. In these