Un encadrement

du tableau et l’élément le plus grand dans cet ordre linéaire est à la case d’indice r − 1. Soit <o un

ordre surE . On note ind(j,<o) l’indice d’un élément j dans <o(ind ( j , <o) ∈ {0,··· ,r − 1}).

Dans la suite de ce chapitre, nous utiliserons des permutations. Nous rappelons alors quelques résultats sur les permutations qui nous seront utiles pour la suite.

Une permutation de 1, ··· ,k est une bijection de 1,··· ,k sur lui même. En d’autres termes, une bijection est une application qui pour tout élément i de 1, ··· ,k associe un élément de 1,··· ,k de sorte que deux éléments différents ne soient pas associés à un même élément.

Tout comme pour les ordres, on représentera une permutation de 1, ··· ,k par un tableau de indice d’un élément

dans une

permuta- tion

taille k dont les cases sont numérotés de 0 à k − 1. Ainsi on dira que l’indice de l’élément j dans la

permutation est i (avec i ∈ {0,··· ,k−1} pour signifier que i +1 est associé à j dans cette permutation.

Le nombre de permutations de 1, ··· ,k est égal à k!. De plus, le nombre de permutations de 1, ··· ,k telles que l’indice de l’élément i soit j est de (k − 1)!. En effet, si l’on voit une permutation comme un tableau, il nous reste k − 1 cases du tableau à remplir (les cases d’indice 0,··· , j − 1, j + 1, ··· ,k − 1) à l’aide de k − 1 valeurs (1,··· ,i − 1,i + 1,··· ,k). Ainsi le nombre de permutations de 1, ··· ,k telles que l’indice de l’élément i soit j est égal au nombre de permutations de 1,··· ,k − 1 soit (k − 1)!.

Dans la suite de ce chapitre, nous utiliserons également les ensembles et multi-ensembles. On

rappelle que¡_ks¢ est le nombre de parties à k éléments parmi un ensemble de s éléments. Un multi- multi- ensemble

ensemble est un ensemble dans lequel chaque élément peut apparaitre plusieurs fois (contraire-

ment aux ensembles dans lesquels les éléments sont présents au plus une fois). On note alors¡¡s k

¢¢ le nombre de multi-ensembles de k éléments pris parmi un ensemble de s éléments.

Remarque. Comme dans une configuration les ordres ne sont pas nécessairement tous différents, une configuration est donc un multi-ensemble d’ordres surE .

4.2 Un encadrement

Nous allons voir comment créer un ensemble de configurations linéaires contenant toutes les configurations linéaires à équivalence près. Pour cela, nous avons introduit trois règles :

Règle 4.1. L’ordre <1doit être égal à 1 <12 <1· · · <1r .

Règle 4.2. En notant l1, ··· ,lr −1 les listes associées aux ordres <1, ··· ,<r −1d’une configuration, on

doit avoir l1 ¹ l2 ¹ · · · ¹ lr −1, où ¹ est l’ordre lexicographique.

Règle 4.3. Dans chaque ordre <i, la valeur 1 doit faire parti des§r₂¨ plus petites valeurs. De plus si r

est impair et que 1 est la valeur médiane (s’il y a autant d’éléments plus petits que 1 que d’éléments plus grands que 1 dans l’ordre <i) alors la valeur 2 doit être plus petite que 1 dans cet ordre.

Formellement, cette règle impose que pour tout ordre <ion ait soit ind (1, <i) <§r₂¨, soit ind(1,<i

) =§r

On noteSr l’ensemble des configurations linéaires générées par ces trois règles. Sr

Pour illustrer ces règles on peut reprendre les configurations linéairesC1etC2utilisées dans la Section 4.1. En effetC1etC2respectent ces trois règles.

Remarque. La Règle 4.1 permet qu’il n’y ait pas deux configurations dansSr qui soient égales

uniquement à permutation deE près. La Règle 4.2 permet qu’il n’y ait pas deux configurations dansSrqui soient égales à permutation de <1, ··· ,<r −1près et la Règle 4.3 permet qu’il n’y ait pas

deux configurations dansSrqui soient égales à inversion d’ordres près. Nous pourrions penser que

nous ne pouvons générer uniquement les configurations différentes à équivalence près grâce à ces règles. Malheureusement les configurationsC1etC2de la Section 4.1 nous montre le contraire. En effet ces deux configurations respectent les trois règles tout en étant équivalentes.

Nous allons montrer, dans un premier temps, que toutes les classes d’équivalence ont un repré- sentant dansSr.

Lemme 4.1. SoitC une configuration linéaire sur E . Si C n’appartient pas à Sr alors il existe une

configuration linéaire équivalente àC qui appartient à Sr.

Preuve. Nous allons voir dans un premier temps comment passer deC à une configuration de Sr.

On commence par appliquer àC la permutation de E qui transforme l’ordre <1deC en 1 <12 <1 · · · <1r . Ensuite pour chaque ordre <o, on inverse <o si ind (1, <i) <§r₂¨ ou si ind(1,<i) =§r₂¨ et

ind (2, <i) < ind(1,<i). Enfin on renumérote les ordres afin que les listes associées aux ordres soient

triées selon l’ordre lexicographique. On noteC0la configuration obtenue.

Cette dernière étape nous assure queC0respecte la Règle 4.2. Le fait de renuméroter les ordres n’a pas eu d’impact sur la position des éléments dans les différents ordres. Ainsi pour tout ordre 1 fait parti des§r₂¨ plus petites valeurs et si r est impair et que 1 est la valeur médiane alors la valeur 2 est plus petite que 1 dans tous les ordres.C0 respecte donc la Règle 4.3. Afin d’obtenirC0, nous avons commencé par transformer l’ordre <1deC en 1 <12 <1· · · <1r .

L’élément 1 étant le plus petit dans l’ordre <1nous n’avons pas inversé l’ordre <1dans l’étape suivante. Ensuite nous avons renuméroté les ordres selon l’ordre lexicographique. Or le plus petit ordre possible selon l’ordre lexicographique étant l’ordre 1 < 2 < ··· < r , après renumérotation des ordres on avait bien pour l’ordre <1, 1 <12 <1· · · <1r . AinsiC0respecte bien la Règle 4.1. DoncC0 appartient àSr.

Nous avons réalisé trois étapes pour passer deC à C0. La première consistait à fixer l’ordre <1 comme étant égale à 1 <12 <1· · · <1r , ce qui revient à faire une permutation deE . La deuxième étape consistait à inverser certains ordres. Enfin la troisième étape consistait à renuméroter les ordres, ce qui revient à faire une permutation de <1, ··· ,<r −1. Ainsi les configurationsC et C0sont

égales, à une permutation deE , une permutation de <1, ··· ,<r −1 et des inversions d’ordres près.

AinsiC possède une configuration équivalente dans Sr.

Or, comme nous l’avons dit dans la remarque précédente, les deux configurations linéairesC1 etC2de la Section 4.1 appartiennent àSr, la taille deSr n’est qu’une borne supérieur au nombre

de configurations linéaires à équivalence près. Pour calculer cette borne supérieure, nous aurons besoin du lemme suivant :

Lemme 4.2. Le nombre de multi-ensembles de k objets pris parmi s est égale au nombre de parties

4.2. UN ENCADREMENT 67

Preuve. Nous allons faire une bijection entre les multi-ensembles et les chemins dans une grille. On

considère la grille G_k+1,scomposée de k + 1 lignes et s colonnes. On numérote les lignes de 0 à k et les colonnes de 1 à s. Un multi-ensemble de k objets pris parmi s est un chemin dans G_k+1,sdu coin inférieur gauche (point (0, 1)) au coin supérieur droit (point (k, s)) en n’autorisant des déplacements uniquement de gauche à droite ou du bas vers le haut.

3 2 3 4 5 0 1 2 4 5 6 7 1

FIGURE 4.1 – Exemple d’une grille G6,7. Le chemin en bleu correspond au multi-ensemble

{{1, 1, 2, 2, 6}} et le chemin en rouge correspond au multi-ensemble {{2, 4, 6, 7, 7}}.

En effet, chaque colonne correspond à un objet et chaque ligne correspond au nombre d’objets pris dans notre multi-ensemble. Dans notre chemin si l’on est au point (i , j ), alors le fait d’aller vers le haut (d’aller au point (i + 1, j )) signifie que l’on rajoute un fois l’élément j à notre multi- ensemble. Par contre le fait d’aller vers la droite (d’aller au point (i , j + 1)) correspond à ne plus rajouter l’élément j à notre multi-ensemble. La Figure 4.1 donne l’exemple d’une grille et de deux chemins correspondant à deux multi-ensembles.

Or un chemin dans G_k+1,spour aller du point (0, 1) au point (k, s) en ne parcourant les segments de la grille que de gauche à droite ou du bas vers le haut correspond à un ensemble de k objets pris parmi s + k − 1. En effet, un tel chemin utilise s + k − 1 segments de la grille dont exactement k sont verticaux. Ainsi dans la Figure 4.1 le chemin bleu correspond à l’ensemble {1, 2, 4, 5, 10} et le chemin rouge correspond à l’ensemble {2, 5, 8, 10, 11}.

Ainsi le nombre de multi-ensembles de k objets pris parmi s est égal au nombre d’ensembles de k objets pris parmi s + k − 1. On a alors :

ÃÃ s k !! = Ã s + k − 1 k !

Nous allons maintenant donner une borne supérieure au nombre de configurations linéaires à équivalence près, qui correspond à la taille de l’ensemble de toutes les configurations respectant les trois règles.

Théorème 4.3. Le nombre de configurations linéaires à équivalence près Cd i f f(r ) admet comme

borne supérieure¡r !

2+(r −2)−1

Preuve. D’après le Lemme 4.1,Srcontient au moins une configuration linéaire pour chaque classe

d’équivalence. Ainsi le cardinal deSrnous donne une borne supérieure pour Cd i f f(r ).

Nous allons calculer le cardinal deSr. Comme les ordres surE sont en bijection avec les per-

mutations de {1, ··· ,r }, il y a au total r ! ordres sur E . Or la Règle 4.3 nous indique que nous n’allons utiliser que la moitié de ces ordres soit un total der !₂ ordres.

Nous avons vu qu’une configuration est un multi-ensemble de r −1 ordres. Or la Règle 4.1 assure que l’ordre <1 est égal à 1 <1 2 <1· · · <1r . Ainsi le cardinal deSr est égal au nombre de multi-

ensembles de r − 2 ordres parmi cesr !₂ ordres. D’après le Lemme 4.2 on a : |Sr| =

Ã_{r !}

2+ (r − 2) − 1

r − 2

!

4.2.2 Une borne inférieure

Nous allons voir que le cardinal de Sr permet également d’obtenir une borne inférieure au

nombre de configurations linéaires à équivalence près.

Théorème 4.4. SoientC et C0deux configurations différentes deSr surE . Soient σ1(<i) etσ2(<i)

les permutations de {1, ··· ,r } qui transforme l’ordre <irespectivement en 1 <i2 <i· · · <ir et en r <i

r − 1 <i· · · <i1.C est équivalente à C0si et seulement si il existe un ordre <i deC tel que l’on puisse

passer deC à C0en appliquant la permutationσ1(<i) ou la permutationσ2(<i) à tous les ordres de

C puis en appliquant les Règles 4.2 et 4.3.

Preuve. ⇐) Les Règles 4.2 et 4.3 correspondent respectivement à une permutation de <1, ··· ,<r et

à des inversions d’ordres. Ainsi les configurationsC et C0sont égales à une permutation deE , une permutation de <1, ··· ,<ret à des inversions d’ordres près, elles sont donc équivalentes.

⇒) Si C et C0sont équivalentes il y a alors deux cas : soit une permutation deE est nécessaire pour passer deC à C0, soit il n’est pas nécessaire de réaliser une permutation deE pour passer de C à C0_.

Supposons dans un premier temps qu’une permutationπ de E soit nécessaire. On note alors Cπla configuration obtenue à partir deC en appliquant la permutation π à tous les ordres de C .

CommeC0respecte la Règle 4.1 l’ordre <1deC0est égal à 1 <12 <1· · · <1r . Ainsi avant application des Règles 4.2 et 4.3, il existe un ordre <ideCπtel que l’on ait 1 <i2 <i· · · <ir ou r <ir −1 <i· · · <i1.

Donc la permutation deE est soit σ1(<i) soitσ2(<i).

Nous allons voir que siC et C0 sont deux configurations équivalentes deSr surE telles que

l’on puisse passer deC à C0sans réaliser de permutation deE alors C et C0sont égales.C respecte la Règle 4.3 donc si l’on inverse le moindre ordre de C , la configuration obtenue ne respectera plus cette règle. Comme le fait de permuter les ordres de la configuration obtenue ne la fera pas respecter cette règle, cela prouve que pour passer deC à C0on n’inverse aucun ordre. OrC respecte la Règle 4.2 donc si l’on fait une permutation d’ordres surC , la configuration obtenue ne respectera plus la Règle 4.2. Ainsi siC et C0sont deux configurations équivalentes deSr surE telles que l’on