SAPT

3.5 M´ethode de la th´eorie des perturbations `a

sym´etrie adapt´ee

Dans la m´ethode SAPT (symmetry adapted perturbation theory), l’Hamiltonien total d’un dim`ere est d´efini par la somme des Hamiltoniens respectifs des monom`eres plus l’op´erateur d’interaction intermol´eculaire des monom`eres. L’Hamiltonien pour les monom`eres A et B s’´ecrit donc :

ˆ

H = ˆH_A+ ˆH_B+ ˆV (3.63)

La m´ethode introduit alors les op´erateurs de perturbation Møller-Plesset, ˆW, comme la diff´erence entre les Hamiltoniens des monom`eres et les op´erateurs de Fock des monom`eres ˆW_A = ˆH_A −F^ˆ_A et ˆW_B = ˆH_B − F^ˆ_B. Si on pose ˆW = ˆW_A+ ˆW_B et

ˆ

F = ˆF_A+ ˆF_B on peut alors r´e´ecrire l’Hamiltonien total du dim`ere comme : ˆ

H = ˆF_A+ ˆF_B+ ˆW_A+ ˆW_B+ ˆV

ˆ

H = ˆF + ˆW + ˆV

(3.64)

L’´energie associ´ee `a cet Hamiltonien, en d´eveloppant au n`eme ordre de la perturba-tion, peut alors ˆetre d´ecompos´ee comme :

E_int=^X

n

E_RSⁿ +E_xⁿ (3.65)

En

RS est appel´ee ´energie de perturbation Rayleigh-Schr¨odinger en r´ef´erence `a l’ap-port de ces deux auteurs sur la th´eorie de la perturbation [49] et En

x l’´energie d’´echange. L’´energie En

RS au premier ordre est associ´ee `a l’´energie ´electrostatique

En

RS =E1

elest. Le second ordre de la correction de l’´energie de perturbation Rayleigh-Scr¨odinger donne l’´energie d’induction et de dispersion, et le second ordre pour l’´energie d’´echange produit l’´energie d’´echange moins l’induction et la dispersion. En d´eveloppant au second ordre l’´energie SAPT, on trouve donc :

E_int⁽²⁾ =E_elest⁽¹⁾ +E_x⁽¹⁾+E_ind⁽²⁾ +E_x⁽²⁾_−ind+E_disp⁽²⁾ +E_x⁽²⁾_−disp (3.66)

L’´energie SAPT est donc d´ecompos´ee en contributions des diff´erents effets phy-siques se produisant dans l’interaction d’un dim`ere. Cette d´ecomposition permet de d´ecoupler l’´energie totale et de calculer chacune des contributions s´epar´ement. La m´ethode SAPT est applicable aux formalismes DFT et CCSD(T) donnant naissance

aux m´ethodes SAPT(DFT) [50, 51] et SAPT(CCSD(T)). Ainsi la fonctionnelle D_as

[48] correspond seulement `a la contribution de l’´energie de dispersion :

D_as=E_disp⁽²⁾ +E_x⁽²⁾_−disp (3.67)

o`u l’´energie de dispersion est d´efinie comme

E_disp⁽²⁾ =^X k X l <|ψA 0ψB 0|V ψA kψB l i|2 EA 0 +EB 0 −EA k −EB l (3.68) avecψX i et EX

i la fonction d’onde et l’´energie du monom`ere X.

La m´ethode SAPT est prolongeable `a N atomes en ajoutant dans la th´eorie les N termes ˆW de la perturbation.

Les m´ethodes qui ont ´et´e d´ecrites ci-dessus sont bien adapt´ees `a la d´etermination de l’´energie ´electronique pour des syst`emes mol´eculaires isol´es ou des syst`emes mol´eculaires en interaction. Les m´ethodes CCSD(T) sont les plus pr´ecises mais elles sont coˆuteuses en temps de calcul et ne peuvent ˆetre appliqu´ees qu’`a des syst`emes r´eduits. A l’heure actuelle, il est exclu de l’utiliser pour ´etudier des solides ´etendus. La DFT permet d’acc´eder `a des r´esultats avec des efforts de calcul plus faibles. Elle peut ˆetre employ´ee pour l’´etude de solides. Il faut cependant quelques adaptations qui sont d´ecrites dans le chapitre suivant.

Chapitre 4

Calculs ´electroniques dans les

solides

4.1 Structure ´electronique des solides

Dans le mod`ele de l’´electron quasi-libre, le th´eor`eme de Bloch permet de r´esoudre l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps pour des ´electrons dans un po-tentiel p´eriodique. Les ´electrons dans le crystal parfait infini sont dans cet ´etat de figure et par extension les solides p´eriodiques et l’´etat solide en g´en´eral. L’Hamilto-nien commute avec les op´erateurs de translation du r´eseau p´eriodique. Les fonctions propres sont alors des ondes de Bloch :

ψ(~r) = ψ_n,k(~r) = e^i~k~ru_n,~k(r) (4.1) avec~k le pseudo-moment de l’´electron, n l’indice de bande et u_n~k(r) une fonction de p´eriode ´egale `a celle du r´eseau p´eriodique. On introduit donc l’espace r´eciproque qui contient les fonctions d’onde par transform´ee de Fourier des fonctions d’onde de l’espace ”r´eel” (appel´e couramment espace direct), c’est l’espace des moments~k qui ob´eissent `a la condition ei~k~r = 1. On peut donc d´ecomposer la fonction d’ondeψ(~r) en une somme d’ondes planes dans l’espace r´eciproque :

ψ(~r) =^X

k

a_ke^i~k~r (4.2)

On applique l’´equation de Schr¨odinger avec le potentiel p´eriodiqueU(~r) =P

GU_Gei ~G~r

avecG^~ un vecteur du r´eseau r´eciproque qui ram`ene tout pseudo-moment~k dans la premi`ere zone de Brillouin. La premi`ere zone de Brillouin est construite comme la cellule de Wigner-Seitz dans l’espace r´eciproque, la cellule est compos´ee des points les plus proches du noeud `a l’origine que des autres noeuds dans l’espace r´eciproque.

Tous les vecteurs~k des fonctions d’onde solutions de l’´equation de Schr¨odinger sont des vecteurs pointant sur des points de l’espace r´eciproque. Mais le th´eor`eme de Bloch implique que r´esoudre l’´equation dans la premi`ere zone de Brillouin est suffi-sant pour d´ecrire toutes les fonctions d’onde :

(E_k⁰ −E)ak+^X

G

UGak−G = 0 (4.3)

avec E_k⁰ = ^h_4mπ^2k2 l’´energie de l’´electron libre. Il s’agit simplement de l’´equation de Schr¨odinger dans l’espace r´eciproque. Pour les calculs ´electroniques sur des ´etats solides, il est donc plus simple d’int´egrer les ´equations de Kohn-Sham dans l’espace r´eciproque. Les fonctions d’onde sont alors de la forme :

ψ_n,k=^X G a_n,k−Ge^(i~k−G~~r) (4.4) On en d´eduit l’´energie de ψ_n,k : E_n,k =^X G a²_n,k−G|~k+G^~|² (4.5)

L’´energie est donc ´egalement p´eriodique puisque l’int´egration dans la premi`ere zone de Brillouin est suffisante :

E_n,k+G =E_n,k (4.6)

Pour chaque valeur de k dans la premi`ere zone de Brillouin, il y a donc plusieurs solutions indiqu´ees par l’indice de banden.nest un nombre quantique repr´esentant la n`eme bande, l’´energie de ces bandes ´evolue en fonction du pseudo-moment de la fonction d’onde de l’´electron. Cette distribution de l’´energie m`ene `a la structure de bande du solide. Les bandes d’´energie interdites r´esultant de la r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger, et qui marquent la distance plus ou moins ´elev´ee entre deux bandes d’´energies permises se nomment ”gap”. L’´etat ´electronique du solide est donc d´efini compl`etement par les fonctions d’ondeψ_nk et les ´energiesE_n,kde celles-ci.

Pour une base d’ondes planes, on peut introduire la limite d’´energie intrins`eque pour les ondes planes composant la base `a partir de la forme de l’´energie (4.5) :

|~k+G^~|2

6E_{cutof f} (4.7)

Nous avons consid´er´e dans cette th`ese le mod`ele de l’´electron quasi-libre car c’est le mod`ele utilis´e par le code VASP dans lequel les ondes planes servent `a d´ecrire

4.2. PROPRI ´ET ´E ´ELECTRONIQUE DES SOLIDES 39