Les contributions extrinsèques à l'amortissement de Gilbert résultent des divers défauts cris- tallins de l'échantillon considéré : défauts ponctuels, inhomogénéité structurale induite par le substrat, eets d'interface,... Ces imperfections vont induire une variation spatiale des propriétés magnétiques : les uctuations magnétiques à courte portée vont conduire à des diusions à deux magnons, alors que les uctuations magnétiques à longue portée vont conduire à un élargissement de la largeur de raie de résonance magnétique, dû à la superposition de résonances locales. [318] Ces deux cas limites (diusions à deux magnons et résonances locales) ont été respectivement étudiés dans les références [319, 320, 321] et [318].
a) Résonances locales
Dans ce cas limite, où les inhomogénéités magnétiques sont larges et fortes, l'échantillon est considéré comme un ensemble de grains magnétiques décorrélés qui sont simultanément mesurés par FMR. Ces grains vont être soumis au même champ magnétique externe ; cependant, les fréquences de résonance de la précession de l'aimantation vont être légèrement diérentes d'un
grain à l'autre, à cause de la présence aléatoire de défauts locaux dans ces structures magnétiques indépendantes. Il en résulte une dispersion de la fréquence de résonance mesurée qui se traduit, quand le champ eectif appliqué est aligné avec l'aimantation à l'équilibre, par la dépendance linéaire suivante de la largeur à mi-hauteur ∆H de la raie de résonance en fonction de la fréquence de résonance ω :
∆H(ω) = ∆H(0) + 2αω√
3γ (A.3)
∆H(0)est une constante dans cette équation. La variation linéaire de ∆H avec la fréquence de résonance nous permet donc de déterminer le coe cient d'amortissement de Gilbert du sys- tème, mais aussi d'avoir une information sur les contributions extrinsèques. En eet, l'ordonnée à l'origine ∆H(0) n'intervient pas dans la mesure du coe cient d'amortissement de la précession, mais elle est par contre caractéristique de la diusion du champ de résonance due à toutes les inhomogénéités structurelles présentes dans l'échantillon. Un exemple d'extraction de l'amortis- sement est représenté sur la gure A.2.
Figure A.2 a) Courbe lorentzienne obtenue en faisant varier le champs magnétique appliqué B et en gardant la fréquence de résonance ω constante lors d'une expérience de FMR (image issue de la Ref [322]) ; b) Dépendance de la largeur à mi-hauteur de la raie de résonance mesurée en fonction de la fréquence de résonance d'un alliage de Co2MnSi en phase L21 et du même alliage
en phase B2. Dans les deux cas, les mesures sont faites pour une aimantation orientée selon l'axe de di cile et de facile aimantation. L'amortissement de Gilbert α est extrait via l'équation A.3 (image issue de la Ref [243]).
L'hypothèse essentielle du modèle de résonances locales est donc que les régions magnétiques voisines du lm mince interagissent peu. Cette hypothèse peut sembler infondée car des interac- tions d'échange et dipolaires non négligeables sont les caractéristiques intrinsèques d'une couche mince ferromagnétique. Cependant, expérimentalement, la dépendance en fréquence de la largeur du pic de résonance magnétique de nombreuses couches minces est souvent approximativement linéaire, corroborant l'approximation qui vient d'être décrite [323, 324, 325].
b) Diusion à deux magnons
Dans cette sous-section, nous nous intéressons à un échantillon constitué d'un seul domaine magnétique. Dans cet échantillon ferromagnétique, l'interaction d'échange couple fortement les spins proches en leur imposant un alignement parallèle. Lors d'une mesure FMR, les excitations
magnétiques du système vont donc être collectives, à cause du fort couplage entre le spin des élec- trons et non plus une somme d'excitations individuelles. Ces excitations sont appelées magnons et sont les modes normaux du système. Dans un système sans imperfection, ils peuvent être décrits dans l'espace des k grâce à la périodicité du réseau et l'énergie magnétique du système peut s'écrire, en seconde quanti cation, comme une somme sur ces diérents modes :
HM = ¯hω0b0b†0+ ¯h
X
q6=0
ωqbqb†q (A.4)
où bq et b†q sont respectivement les opérateurs d'annihilation et de création d'un magnon, q
est le vecteur d'onde du magnon. Le mode de précession uniforme et celui caractérisé par q = 0. L'hamiltonien présenté en amont (équation A.4) est diagonal en q : il n'autorise donc pas de diusion entre ses diérents modes, car il est dépourvu d'interactions. Nous devons cependant noter qu'il peut exister des modes magnétiques non-uniformes dégénérés avec le mode uniforme. C'est d'ailleurs une condition nécessaire à la diusion à deux magnons [320]. Dans un système réel présentant des inhomogénéités, l'hamiltonien va comporter des éléments non diagonaux :
HM = ¯hω0b0b†0+ ¯h X q6=0 ωqbqb†q+X qp [Mqpb†qbp+ Mqp∗ b†pbq] (A.5) Ces interactions vont donc permettre la diusion entre les diérents modes de même énergie. Les nouveaux états propres de l'hamiltonien sont donc naturellement des combinaisons linéaires des anciens, et le taux de transition d'un mode q vers les autres modes est donné par la règle d'or de Fermi : Wq= 2π ¯ h X p |Mqp|2δ(¯hωq− ¯hωp) (A.6)
Dans la diusion à deux magnons, le mode uniforme n'est donc plus un état propre du système à cause des défauts ponctuels de l'échantillon. Il est en eet diusé et partiellement transformé par les défauts en modes non uniformes de mêmes énergies, qui vont se déphaser entre eux. Il n'y a donc pas ici, à proprement parler, de contribution à l'amortissement de Gilbert puisque qu'aucune énergie n'est transférée hors du système magnétique, elle est simplement transmise du mode uniforme vers d'autres modes magnétiques. Ce type de diusion va néanmoins intervenir dans une mesure FMR puisque cet appareil ne peut mesurer que le mode uniforme. La contribution de la diusion à deux magnons à la largeur à mi-hauteur mesurée par FMR, ∆H, est donnée par le taux de décroissance du mode uniforme :
∆ω = 2π ¯ h X p |M0p|2δ(¯hω 0− ¯hωp) (A.7)
où la fonction de Dirac impose la dégénérescence du mode d'arrivée et du mode uniforme. La valeur des éléments de matrice M0p dépend des composantes de Fourier caractéristiques de l'im-
pureté. Cette contribution peut néanmoins être mesurée et soustraite avec la méthode adéquate, a n d'être sans conséquences sur la mesure du coe cient d'amortissement de Gilbert [326].