M´ ethodes SAR

2.2. M´ethodes SAR 35 - un dispositif radar permettant d’imager des cibles dans une zone d’espace donn´ee. Dans ce dispositif, on va utiliser un ensemble de sources et de r´ecepteurs localis´es `a diff´erentes positions de l’espace, afin de mieux discriminer les cibles recherch´ees. On parle alors pour ce type de dispositif, de radar `a synth`ese d’ouverture. Parmi ces dispositifs, on peut citer le dispositif a´eroport´e RAMSES d´evelopp´e `a l’ONERA pour la cartographie 2D de zones sur la surface de la terre. Dans ce cas particulier, on dispose de deux antennes radar embarqu´ees sur deux avions. Du fait du d´eplacement des antennes dans l’espace, on peut alors simuler un nombre important de sources et de r´ecepteurs permettant de faire des images tr`es pr´ecises des zones `a ´etudier ;

- le traitement des donn´ees obtenues par le dispositif radar pr´ec´edemment d´ecrit. Pour formaliser celui-ci, il existe plusieurs approches qui consistent soit `a poser un probl`eme de minimisation ou bien encore `a partir de la notion de filtre adapt´e. Dans notre pr´e- sentation, on va choisir d’exprimer le SAR comme la solution approch´ee d’un probl`eme inverse donn´e.

2.2.1

Principe de la m´ethode SAR

Supposons une source e et un ensemble n_r de r´ecepteurs r_i, i = 1, n_r. Pour un ensemble de fr´equences donn´e, on emet un signal en e et on re¸coit sur chaque r´ecepteur r_i un signal E_i(f ) correspondant au champ diffract´e par d’´eventuelles cibles localis´ees dans une zone Ω donn´ee. On fait les hypoth`eses suivantes :

– on se place dans une optique de champ lointain. Dans ce cadre, le champ que re¸coivent les cibles et les r´ecepteurs peut ˆetre d´ecrit par une approche de type onde plane. Supposons qu’un champ d’amplitude 1 soit envoy´e par la source. Si une cible est positionn´ee `a la position x dans Ω, le champ que recevra cette cible sera alors donn´e par e−jkx−xe<sub>o`u x</sub>

eest la position de la source et k = 2πf_c avec f la fr´equence d’´emission

et c la vitesse des ondes dans le milieu ;

– les cibles, sont positionn´ees suffisamment assez loin pour que leur interactions soit n´egligeables. En fait, ce que l’on veut c’est que dans le signal re¸cu par les r´ecepteurs, le champ r´esultant de la multi-diffraction entre les diff´erentes cibles soit n´egligeable. Sous ces hypoth`eses, on ´ecrit que le champ re¸cu sur le r´ecepteur r_i donn´e par la position x_i est : E_i(f ) = Nx  l=1 R_le−jkxl−xe_e−jkxl−xi_{. (2.1)}

Dans cette expression, on d´ecompose le domaine Ω en un ensemble de N_xpoint x_lsur lesquels il peut y avoir une cible potentielle. Le terme R_ld´efinit le terme de diffraction d’une cible au point x_l. Si ce terme est nul, alors il n’y a pas de cible, s’il est non nul alors il y a une cible. En fait, on cherche une cartographie de ces termes dans laquelle on fixe un seuil pour l’exsitence ou pas de cibles. Le probl`eme se pose alors comme un probl`eme de minimisation sur un ensemble de fr´equences entre les valeurs mesur´ees et celles calcul´ees sur chaque r´ecepteur i :

∀f, min Rl Ei(f )− Nx  l=1 R_le−jk(xl−xe+xl−xi)2_{, (2.2)}

sachant que k = 2πf

c et en posant Tl =

xl−xe+xl−xi

c le probl`eme de minimisation se ram`ene

sur chaque r´ecepteur i `a : ∀f, min Rl Ei(f )− Nx  l=1 R_le−2πjfTl2_{. (2.3)}

Dans cette expression, le second terme d´ecrit une transform´ee de Fourier de la distribution R. On peut alors ´ecrire que la distribution R solution de (2.3) sera donn´ee par une transform´ee de Fourier inverse du champ E. Donc

∀l, Rl=



f

E_i(f )e2πjfTl_{. (2.4)}

Par le mˆeme raisonnement, en prenant en compte l’ensemble des recepteurs, on trouve que : ∀l, Rl=  f nr  i=1 E_i(f )ejk(xl−xe+xl−xi) _(2.5)

Lorsque on a plusieurs sources, il suffit de sommer sur l’ensemble des sources.

Par ce petit raisonnement, on peut montrer que le SAR n’est autre que la solution du pro- bl`eme inverse pos´e dans le premier paragraphe de ce chapitre, pour lequel on fait certaines hypoth`eses sur la propagation du champ ´electromagn´etique.

2.2.2

Application de la m´ethode SAR `a la d´etection de mines

Dans le cadre de la d´etection de mines, l’utilisation du GPR est tr`es connue et, actuel- lement tr`es utilis´ee sur le terrain. Cette m´ethode repose sur l’emission et la r´eception d’un signal ´electromagn´etique, par un capteur que l’on d´eplace en surface du sol. Par l’analyse temps r´eel du signal re¸cu, on d´etecte, ou on ne d´etecte pas, un echo de r´eflexion signalant la pr´esence d’un corps. Ce type de d´etection est quasi-limit´e `a la verticale du capteur et ne permet pas d’avoir des images tr`es pr´ecises de la cible trouv´ee. La m´ethode SAR, en plus de la possibilit´e de travailler sur des signaux large bande comme le GPR, permet aussi une large excursion en incidence et en r´eception (position des antennes). On a donc la possibilit´e de r´ealiser des images de r´esolution beaucoup plus fine que le GPR, et c’est pourquoi, on a appliqu´e naturellement cette m´ethode `a la d´etection de mines. De fa¸con `a illuster cet avan- tage, on montre ici, sur 2 figures une comparaison entre les deux m´ethodes. Sur un probl`eme 2D, pour un ensemble de mesures donn´e, l’image 2.1 a ´et´e obtenue en mode ”GPR”, alors que l’image 2.2 a ´et´e obtenue en mode ”SAR”. Les mesures utilis´ees pour l’obtention des deux images ont ´et´e effectu´ees sur une plage de fr´equences allant de 0.5GHz `a 5GHz. On voit nettement apparaitre sur la figure 2.2, li´ee au SAR, le contour du plateau sup´erieur de la mine ainsi que sa forme caract´eristique contrairement `a la figure 2.1 li´ee au GPR.

Le traitement SAR, initialement ´etudi´e en 2D sur les applications li´ees `a la d´etection des mines, a aussi ´et´e ´etendu au domaine 3D. Ceci a une importance capitale, puisque, grˆace `a l’ajout d’une troisi`eme coordonn´ee, on peut donner du volume aux objets et donc, arriver plus facilement `a isoler en termes d’image chacun d’eux. La reconnaissance d’une mine ou de tout autre objet est alors plus efficace et, par voie de cons´equence, le nombre de mauvaises

2.2. M´ethodes SAR 37

Fig. 2.1 – Image obtenue par GPR.

Fig. 2.2 – Image obtenue par SAR.

interpr´etations devient faible. Dans ce contexte, l’ONERA a mis au point un banc 3D (voir figure 2.3) permettant de faire des mesures en laboratoire. On peut alors par traitement SAR obtenir des images de coupe dans les trois directions de l’espace.

La figure 2.4 repr´esente un r´esultat SAR 3D pour une mine anti-personnelle de 2cm enfouie `a une profondeur de 5cm dans du sable humide. On note sur cette figure que l’on arrive `a d´eterminer correctement l’objet. Toutefois, dans les exp´eriences men´ees avec le banc, on note que la m´ethode SAR pr´esente des difficult´es pour appr´ecier correctement les cibles dont la dimension est inf´erieure `a 5cm. De plus le coˆut calcul de la m´ethode SAR 3D n’est plus n´egligeable du fait d’avoir `a effectuer une sommation 3D en chaque point de l’espace et pour chaque fr´equence. La r´esolution d’un probl`eme de Maxwell 3D par une ´equation aux d´eriv´ees partielles peut alors ˆetre tout aussi rapide pour ´evaluer, par exemple un gradient topologique spatial, ou bien des valeurs d’´energie ´electromagn´etique dans le cadre de la technique de retournement temporel. On peut alors apporter des informations suppl´ementaires sur le milieu par ces deux nouvelles approches qui devrait permettre d’avoir au final, une image de meilleure d´efinition. Des essais de comparaisons ont ´et´e men´es dans un sens, dans le cadre d’un probl`eme 2D, et seront d´ecrit par la suite.

Fig. 2.3 – Banc de positionnement SAR 3D.

Fig. 2.4 – Images SAR 3D sous forme d’une succession de coupes en profondeur.