Les ´equations de forme (III.5) sont fortement non lin´eaires et n´ecessitent en g´en´eral une r´esolution num´erique. La solution trouv´ee doit satisfaire les conditions de raccord (III.7) ainsi que les conditions `a l’infini.
-10 -5 0 5 10 z 0,9 0,95 1 1,05 1,1 r ∆∼κG = - 0,05 ∆∼κG = 0,05 ∆∼κG = 0,1 ∆∼κG = 0,2
Figure III.11: Rayon en fonction de la position sur l’axe de sym´etrie (z) d’un tube de membrane constitu´e de deux domaines semi-infinis, pour diff´erents ´ecarts de modules de Gauss adimensionn´e ∆˜κG. Les formes ont ´et´e calcul´ees dans l’approximation lin´eaire. Les
deux domaines ont le mˆeme module de flambage ˜κ et la tension de ligne de l’interface est nulle (˜τ = 0). L’interface se trouve en z = 0.
Num´eriquement, la r´esolution se fait sur une longueur finie, aussi il n’est pas possible d’utiliser une condition `a l’infini. Cette difficult´e peut ˆetre contourn´ee si la r´esolution se fait sur des longueurs grandes par rapport `a l’´echelle des variations de rayon du domaine ; le rayon du tube au point d’arrˆet est alors tr`es proche du rayon `a l’infini et la solution peut ˆetre aproxim´ee par la partie convergente de la solution lin´eaire (III.13). La solution lin´eaire montre que l’effet de la jonction s’att´enue exponentiellement avec √2Ri comme
longueur caract´eristique, il faut que la longueur de r´esolution num´erique soit typiquement sup´erieure `a 7 fois le rayon du domaine `a l’infini pour que l’´ecart entre la solution au bord et le rayon `a l’infini soit inf´erieur au pourcent.
La r´esolution des ´equations n´ecessite quatre conditions initiales. La solution analy- tique dans un domaine ne donne que deux conditions car elle comporte deux inconnues (l’amplitude et la phase). Aussi, la r´esolution num´erique du syst`eme n´ecessite d’utiliser les conditions aux deux extr´emit´es : il s’agit d’un probl`eme de valeur limite en deux points. Une m´ethode num´erique adapt´ee `a ce genre de probl`eme est la m´ethode du tir (ou ’shoo- ting’). Le principe consiste `a partir d’une des extr´emit´es, par exemple du point de plus petit z et `a r´esoudre les int´egrales jusqu’`a l’autre extr´emit´e. Les param`etres non connus au point initial sont ajust´es de mani`ere it´erative pour que les conditions aux limites connues `a l’autre extr´emit´e soient satisfaites (voir figure III.12). Cette m´ethode est, en g´en´erale, effi- cace `a la condition que les ’tirs’ soient capables de traverser tout le domaine d’int´egration,
III.3. Fission d’un tube `a deux domaines 59 (1) (3) (2) Méthode du tir Objectif
(conditions ajustées)Point initial
Point initial
(conditions ajustées) (conditions ajustées)Point initial (1) (3) (2) (3) (2) (1) Objectif
Tir vers un point convenable
Figure III.12: Principe de la m´ethode du tir. (a) M´ethode du tir standard. Les ´equations de formes sont int´egr´ees `a partir d’une des extr´emit´es. Les conditions initiales non connues sont ajust´ees de mani`ere it´erative pour se rapprocher puis atteindre l’objectif. (b) M´ethode de tir vers un point convenable. Les ´equations de formes sont int´egr´ees `a partir des deux extr´emit´es, jusqu’`a un point interm´ediaire. Les param`etres non connus aux extr´emit´es sont ajust´es de mani`ere it´erative pour raccorder les deux solutions.
mˆeme aux premi`eres ´etapes du processus de convergence. Pour notre probl`eme, ce n’est pas le cas : la solution loin de l’interface a tendance `a diverger. Ceci peut se comprendre grˆace `a la solution analytique (III.13) : elle contient un terme convergent, qui est celui que nous voulons atteindre, et un terme divergent. Num´eriquement, la solution que nous voulons obtenir est marginale et c’est le terme divergent qui est le plus facile `a trouver, ce qui empˆeche le fonctionnement de la m´ethode de tir.
Aussi, nous avons utilis´e une m´ethode de tir modifi´ee : le tir vers un point convenable (’shooting to a fitting point’). Le principe est le mˆeme que pour la m´ethode de tir sauf que, au lieu d’int´egrer d’une extr´emit´e `a l’autre, nous partons simultan´ement des deux extr´emit´es jusqu’`a un point interm´ediaire, situ´e `a l’´ecart des singularit´es et donc conve- nable. L’ensemble des param`etres non connus aux deux extr´emit´es est ajust´e pour obtenir la continuit´e de l’ensemble des fonctions au point convenable (voir figure III.12).
Notre syst`eme peut pr´esenter un troisi`eme point instable : le point o`u la membrane est pinc´ee. En effet, les ´equations d’Euler-Lagrange (III.5) sont divergentes quand r → 0. Cette difficult´e concerne principalement les premi`eres it´erations, lorsque les formes changent fortement et sont loin de la solution finale. Bien qu’il aurait ´et´e probablement encore possible de modifier la m´ethode de tir pour contourner cette difficult´e, nous avons choisi plutˆot d’utiliser des param`etres de tirs bien choisis : nous partons du tube homog`ene puis nous modifions progressivement ˜κ, ∆˜κG et ˜τ jusqu’`a arriver aux valeurs d´esir´ees. Aussi,
nous pouvons partir d’une forme proche de celle recherch´ee, ce qui diminue le risque de divergence. De plus, nous avons ´evit´e de placer le point ’convenable’ juste au niveau du pincement : le bruit num´erique y plus important, ce qui peut empˆecher la convergence des it´erations.
L’algorithme int`egre les ´equations de forme (III.5) ainsi que la relation g´eom´etrique z0 = − sin ψ en fonction du param`etre s. L’ensemble du syst`eme est adimensionn´e en utilisant κα et Rα comme ´echelles d’´energie et de longueur : nous prenons κα = 1 et
Rα = 1. La r´esolution se fait dans chaque domaine sur 7 fois le rayon du domaine (entre
z = −7 et z = 7˜κ), ce qui assure un fonctionnement optimal de l’algorithme : il permet un raccord avec la solution lin´eaire avec des U ' 0, 01 ; un intervalle plus petit peut rendre l’approximation lin´eaire fausse alors qu’un intervalle plus grand peut rendre les amplitudes des solutions lin´eaires trop petites, favorisant le bruit num´erique. La valeur 7 du rapport d’aspect est empirique et l’utilisation d’une valeur proche, comme 10, est aussi adapt´ee, `a part pour de tr`es forts pincements.
Il faut cinq conditions aux limites, donn´ees par les quatre inconnues des deux extr´emit´es (Aβ, Bα, θ
(1) β , θ
(2)
α ) ainsi que le point d’arrˆet de l’int´egration s2 : si on fixe l’intervalle sur
z, il faut pouvoir changer l’intervalle sur l’abscisse curviligne. L’int´egration se faisant des z positifs vers les z n´egatifs (pour des s croissants), l’intervalle est pris en compte au premier point calcul´e ayant un z ≤ 0, en rajoutant les conditions (III.7) aux solutions calcul´ees. Le point ’adapt´e’ est plac´e empiriquement entre 0, 55s2 et 0, 65s2 suivant ce qui favorise
le plus la convergence.
L’int´egration des ´equations a ´et´e faite par une m´ethode de Runge-Kutta du quatri`eme ordre `a pas constant. L’utilisation d’un pas adaptatif rend plus complexe la prise en compte de l’interface et n’am´eliore pas la r´esolution num´erique : il n’y a pas de zones o`u le rayon varie faiblement sur de grandes longueurs. Les algorithmes (pour la m´ethode de Runge- Kutta et pour la m´ethode de tir) sont ceux des Numerical Recipes. Il aurait ´et´e possible de raffiner davantage l’algorithme ou d’utiliser d’autres m´ethodes de r´esolution pour am´eliorer la convergence du code. La m´ethode choisie, tout comme les d´etails du code, sont un compromis entre le temps requis par le d´eveloppement et les r´esultats obtenus. Notre m´ethode nous permet d’avoir des r´esultats satisfaisants et suffisants.