Notre d´emarche concerne la rupture de tubes de membrane, dans la limite o`u les domaines sont tr`es allong´es par rapport au rayon du tube et r´epartis al´eatoirement sur le tube. Nous supposons alors que les diff´erents interfaces pr´esents sur un tube n’ont pas d’influence les uns sur les autres. Toutefois, ces hypoth`eses ne sont pas forc´ement v´erifi´ees. Ainsi, la figure III.18 montre un tube bi-phasique de grand rayon (donc `a priori stable) pour lequel les domaines semblent avoir des longueurs comparables aux rayons et dont la r´epartition pourrait ˆetre p´eriodique.
L’´etude des effets de taille finie peut nous apporter des informations sur l’interaction entre les interfaces des domaines sur un tube. Elle est aussi une ´etape n´ecessaire pour aborder l’´etude de structures p´eriodiques. Nous donnons ici uniquement le principe de la d´emarche que nous sommes en train de d´evelopper avec Alberto Sicilia.
III.4. Effets de taille finie 69 Tubes bi-phasiques `a trois domaines
Le tube est form´e de deux phases (α et β) r´eparties en αβα, les deux phases α ´etant semi-infinies. Le syst`eme est sym´etrique par rapport au milieu de la phase β, ce qui per- met des simplifications importantes. L’´energie du syst`eme est toujours donn´ee par (III.4) avec une diff´erence importante sur le terme σβ : le domaine β n’est plus connect´e `a un
r´eservoir de lipides et donc sa surface est constante. Aussi, le terme de tension de surface disparaˆıt et doit ˆetre remplac´e par une contrainte de surface ; la fonctionnelle `a minimiser est formellement la mˆeme mais σβ est maintenant un multiplicateur de Lagrange assurant
cette contrainte. Une cons´equence potentiellement importante est que le terme de surface n’intervient plus dans le calcul de l’´energie.
La r´esolution du syst`eme est simplifi´ee par les sym´etries : elles donnent ψ = π/2 et ψ00= 0 au milieu de la phase β. Il y a encore 6 inconnues : les deux param`etres de la solution lin´eaire dans la phase α, r, ψ0 et σβ au milieu de la phase β ainsi que l’abscisse curviligne
de l’interface s1. Une des inconnues est donn´ee par la condition sur l’hamiltonien (H = 0)
au milieu de la phase β. Les autres sont donn´ees par les 5 conditions aux limites connues : deux conditions `a chaque extr´emit´e ainsi que la surface de la phase β. Le syst`eme est alors bien d´efini et nous devrions pouvoir le r´esoudre analytiquement ou num´eriquement.
Tubes p´eriodiques
Le tube est form´e d’une alternance infinie de phases (. . . αβαβ . . .). Si on consid`ere deux domaines voisins, le syst`eme est sym´etrique par rapport au milieu de chaque domaine. La p´eriodicit´e nous permet de r´esoudre le syst`eme uniquement entre les milieux de deux domaines voisins. L’´energie du syst`eme est toujours (III.4) mais avec les σi remplac´es par
des multiplicateurs de Lagrange assurant la conservation de la surface.
La r´esolution du syst`eme est, ici encore, simplifi´ee par les sym´etries, avec l’avantage de ne plus avoir de point `a l’infini. Aux deux bords, nous avons deux variables impos´ees par les sym´etries : ψ = π/2 et ψ00 = 0. Il reste 8 inconnues : r, ψ0 et σ `a chacun des bords ainsi que les abscisses curvilignes des deux bords (sα et sβ). Deux des inconnues
sont donn´ees par les conditions sur l’hamiltonien H au milieu de chaque phase ; les 6 autres sont donn´ees par les conditions aux limites connues : deux au milieu de chaque phase ainsi que les surfaces des deux phases. Ici encore, le syst`eme est bien d´efini et doit pouvoir ˆetre r´esolu analytiquement ou num´eriquement.
III.5
R´esum´e
Les tubes de membrane de petits rayons ne supportent pas la pr´esence de plusieurs phases et se rompent pr´ef´erentiellement `a la jonction entre les diff´erents domaines. L’´etude d’une jonction unique montre qu’il existe une forme d’´equilibre satisfaisant les ´equations de forme du tube. La forme de la jonction est alors d´etermin´ee compl`etement par trois param`etres : le rapport des modules de flambage, la diff´erence des modules de Gauss ainsi que la tension de ligne de l’interface. L’´equilibre m´ecanique impose que le rapport des modules de flambage soit ´egal au rapport des rayons des domaines loin de la jonction ; des domaines de rayon diff´erents, donc de modules de flambage diff´erents, sont fortement courb´es pr`es de l’interface. La diff´erence de module de Gauss tend `a imposer un plissement de la membrane au niveau de l’interface, alors que la tension de ligne favorise le pincement de l’interface. L’apparition de courbures dues `a une diff´erence de param`etre physique tend `
a favoriser la rupture du syst`eme.
Pour mod´eliser la rupture du tube, nous supposons qu’elle se fait par un pincement. Le temps de rupture est alors pilot´e par l’´ecart entre l’´energie de la forme d’´equilibre et celle d’un ´etat de transition, que nous avons approxim´e par l’´energie ´elastique d’un tube compl`etement pinc´e. Ce mod`ele de processus activ´e n’est pas le seul possible mais fournit des r´esultats en bon accord avec les donn´ees exp´erimentales. Toutefois, il faudrait d’autres comparaisons pour valider compl`etement le mod`ele et ´eventuellement l’am´eliorer.
Nous avons pour l’instant travaill´e sur une jonction unique. Il est aussi possible de s’int´eresser `a l’interaction entre plusieurs jonctions, soit due `a la taille finie d’un domaine soit due `a une r´epartition ordonn´ee des domaines.